Un défi par semaine

Octobre 2017, 4e défi

Le 27 octobre 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 43 :

Combien vaut

$\left ( (\sqrt{2} + 1)^7+(\sqrt{2} - 1)^7\right )^2 -\left ( (\sqrt{2} + 1)^7-(\sqrt{2} - 1)^7\right )^2$ ?

Solution du 3e défi de Octobre :

Enoncé

La réponse est Jean.

D’après les règles du jeu, le jeudi, l’enfant dit la vérité. En particulier, il dit la même chose que le lendemain (puisqu’il dit aussi la vérité le vendredi) et le contraire de ce qu’il disait l’avant-veille (puis qu’il ment le mardi). Si l’on observe les réponses qu’il a données, on s’aperçoit alors qu’aucun des jours qui viennent de s’écouler n’a cette double propriété : il n’a jamais donné la même réponse deux jours de suite, donc les cinq premiers jours ne pouvaient pas être des jeudis, et le sixième non plus, puisqu’il a alors dit la même chose qu’au quatrième.

Ainsi, la seule possibilité est que le septième jour soit un jeudi. Il dira alors la vérité, qu’il a déjà dite le vendredi, c’est-à-dire le premier jour : il s’appelle Jean.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2017, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - VRIHU / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Octobre 2017, 4e défi

    le 27 octobre à 08:00, par orion8

    Ce nombre est de la forme $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$, il vaut donc : $4(\sqrt{2}+1)^7(\sqrt{2}-1)^7=4 \left( (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) \right)^7=4(\sqrt{2}^2-1^2)^7=4\times 1^7 = 4$ .

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  • Octobre 2017, 4e défi

    le 27 octobre à 09:13, par Al_louarn

    Si on pose $a=(\sqrt{2}+1)^7$ et $b=(\sqrt{2}-1)^7$ alors le nombre à calculer est
    $x=(a+b)^2-(a-b)^2=((a+b)-(a-b))((a+b)+(a-b))=4ab$
    Or $ab=(\sqrt{2}+1)^7(\sqrt{2}-1)^7=((\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1))^7=(\sqrt{2}^2-1^2)^7=1$
    Donc $x=4$

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    • Octobre 2017, 4e défi

      le 27 octobre à 09:54, par orion8

      Un peu facile, aujourd’hui ! Pour aller un peu plus loin : si on remplace la puissance $7$ par $n$ entier quelconque, le résultat est bien sûr identique. Mais, sous Python, $n=7$ est une des rares valeurs, avec $20$, qui donne $4$ exactement... Sous Excel, ça va jusque $n=9$, puis on a encore $4$ avec $n=12$, $14$ ou $17$, puis rapidement $0$...

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      • Octobre 2017, 4e défi

        le 27 octobre à 10:46, par orion8

        PS. Aucun problème avec Libre Office : donne $4$ pour $n$ quelconque, et même pour des valeurs non entières !

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