Un défi par semaine

Octobre 2018, 1er défi

Le 5 octobre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 40

Si le périmètre d’un triangle rectangle mesure $40\, cm$
et la somme des carrés des longueurs de ses trois côtés est $578$, combien de centimètres mesure son plus petit côté ?

Solution du 4e défi de septembre :

Enoncé

La réponse est : $10$ entiers.

Observons que $m^2+m-90=(m-9)(m+10)$ et comme $17$ est un nombre premier, alors $17$ divise $m^2+m-90$ si et seulement si $17$ divise $m-9$ ou $17$ divise $m+10$.

Les valeurs de $m$, avec $10\leq m\leq 100$, telles que $m-9$ est multiple de $17$ sont $26, 43, 60, 77$ et $94$.

Les valeurs de $m$ telles que $m+10$ est multiple de $17$ sont $24, 41, 58, 75$ et $92$.

Par conséquent, il y a $10$ valeurs de $m$ pour lesquelles $m^2+m-90$ est multiple de $17$.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2018, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Octobre 2018, 1er défi

    le 5 octobre à 11:56, par Celem Mene

    Son plus petit côté mesure 8 cm.

    Parmi les nombres naturels seul le trio 8, 15 et 17 cm remplit les conditions.

    Répondre à ce message
  • Octobre 2018, 1er défi

    le 6 octobre à 10:39, par drai.david

    Et si les côtés ne sont pas a priori entiers ?

    Soient $a$ et $b$ les deux côtés de l’angle droit ($a < b$). On a :

    $\left\{\begin{matrix} a+b+\sqrt{a^2+b^2}=40\\ a^2+b^2+(a^2+b^2)=578 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=23\\ a^2+b^2=289 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=23-a\\ a^2+(23-a)^2=289 \end{matrix}\right.$

    D’où $a^2-23a+120=0$.

    Comme la somme et le produit des racines valent respectivement $23$ et $120$, on en déduit :
    $(a,b)=(8,15)$.

    Répondre à ce message

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