Octobre 2018, 1er défi

Le 5 octobre 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 40

Si le périmètre d’un triangle rectangle mesure $40\, cm$
et la somme des carrés des longueurs de ses trois côtés est $578$, combien de centimètres mesure son plus petit côté ?

Solution du 4e défi de septembre :

Enoncé

La réponse est : $10$ entiers.

Observons que $m^2+m-90=(m-9)(m+10)$ et comme $17$ est un nombre premier, alors $17$ divise $m^2+m-90$ si et seulement si $17$ divise $m-9$ ou $17$ divise $m+10$.

Les valeurs de $m$, avec $10\leq m\leq 100$, telles que $m-9$ est multiple de $17$ sont $26, 43, 60, 77$ et $94$.

Les valeurs de $m$ telles que $m+10$ est multiple de $17$ sont $24, 41, 58, 75$ et $92$.

Par conséquent, il y a $10$ valeurs de $m$ pour lesquelles $m^2+m-90$ est multiple de $17$.

Commentaire sur l'article

Octobre 2018, 1er défi

le 5 octobre 2018 à 11:56, par Celem Mene

Son plus petit côté mesure 8 cm.

Parmi les nombres naturels seul le trio 8, 15 et 17 cm remplit les conditions.
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Octobre 2018, 1er défi

le 6 octobre 2018 à 10:39, par drai.david

Et si les côtés ne sont pas a priori entiers ?

Soient $a$ et $b$ les deux côtés de l’angle droit ($a < b$). On a :

$\left\{\begin{matrix} a+b+\sqrt{a^2+b^2}=40\\ a^2+b^2+(a^2+b^2)=578 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=23\\ a^2+b^2=289 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=23-a\\ a^2+(23-a)^2=289 \end{matrix}\right.$

D’où $a^2-23a+120=0$.

Comme la somme et le produit des racines valent respectivement $23$ et $120$, on en déduit :
$(a,b)=(8,15)$.
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