Octobre 2018, 2e défi

Le 12 octobre 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 41

Déterminer l’entier $n$ le plus petit pour lequel
\[(2^2-1)(3^2-1)(4^2-1)\cdots (n^2-1)\]
est le carré d’un nombre entier.

Solution du 1er défi d’octobre :

Enoncé

La réponse est : $8\,cm$.

Soient $a$ et $b$ les longueurs des côtés du triangle en
centimètres. On applique le théorème de
Pythagore, sachant que son hypoténuse mesure
$\sqrt{a^2+b^2}$. Par conséquent, la somme des carrés des trois
côtés est égale à $2a^2+2b^2=578$, et $a^2+b^2=289=17^2$.

L’hypoténuse du triangle mesure donc $17\,cm$. Comme le
périmètre mesure $40\,cm$, on obtient que $a+b+17=40\,cm$, soit $a+b=23\,cm$. Alors, $2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=23^2-289=240$,
d’où $ab=120$.

On en déduit que \[ \begin{eqnarray} a(23-a) & = & 120\\ a^2-23a+120 & = & 0\\ (a-8)(a-15) & = & 0. \end{eqnarray} \]

Par conséquent, les côtés du triangle mesurent $8\,cm$ et $15\,cm$. Le plus petit côté du triangle mesure $8\,cm$.

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Octobre 2018, 2e défi

le 12 octobre 2018 à 14:21, par Niak

En utilisant l’identité $k^2-1 = (k-1)(k+1)$, on obtient $P_n = \prod_{k=2}^n k^2-1 = 2 \cdot (\prod_{k=3}^{n-1} k)^2 \cdot n \cdot (n+1)$ (ou encore) et l’on en déduit que $P_n$ est un carré si et seulement si $2n(n+1)$ en est un aussi.
Or en utilisant l’identité $n(n+1)=(n+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$, on transforme $2n(n+1)=m^2$ en $(2n+1)^2 - 2m^2 = 1$, soit $N^2-2m^2 = 1$ pour $N= 2n+1$ impair. C’est une équation de Pell (et c’est même la plus simple possible) dont (je passe sur la résolution et les multiples moyens d’exprimer les solutions) les solutions en $N$ sont les suivantes et les $n$ associés les suivants. La plus petite solution $\geq2$ est en effet $8$.
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