Un défi par semaine

Octobre 2018, 3e défi

Le 19 octobre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 42

Trouver six nombres entiers positifs consécutifs non
divisibles par $7$ dont la somme soit un nombre de quatre chiffres et
le carré d’un nombre entier.

Solution du 2e défi d’octobre :

Enoncé

La réponse est : $n=8$.

On sait que $x^2-1=(x-1)(x+1)$ pour tout nombre $x$. On
applique cette factorisation pour obtenir
\[(2^2-1)(3^2-1)(4^2-1)\cdots (n^2-1)=(1\cdot 3)(2\cdot 4)(3\cdot 5)\cdots [(n-1)(n+1)].\]

Pour que ce produit soit un carré, chaque nombre premier du produit
doit apparaître un nombre pair de fois. En comptant le nombre d’apparitions de chaque nombre premier dans la factorisation, il est facile de voir que le premier carré obtenu est :
\[(1\cdot 3)(2\cdot 4)(3\cdot 5)(4\cdot 6)(5\cdot 7)(6\cdot 8)(7\cdot 9)=(2^5\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7)^2.\]
Ceci correspond à $n=8$.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2018, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Octobre 2018, 3e défi

    le 19 octobre à 08:10, par Al_louarn

    \[659+660+661+662+663+664 = 3969 = 63^2\]

    $n^2 = (7k+1) + ... + (7k+6) = 42k + 21 = 21(2k+1)$
    Donc $n$ est le produit de $21$ par un nombre impair $m$.
    $m=1$ est trop petit car $21^2 \times 1^2=441$ (3 chiffres)
    $m=5$ est trop grand car $441 \times 5^2 = 11025$ (5 chiffres)
    Seul $m=3$ convient car $441 \times 3^2 = 3969$
    Alors $2k+1 = 21 \times 9 = 189$, d’où $k=94$

    Répondre à ce message
  • Octobre 2018, 3e défi

    le 19 octobre à 09:23, par ROUX

    6 entiers consécutifs : n à n+5.
    Leur somme fait 6*n+15.
    Aucun de ces 6 entiers n’est multiple de 7 donc nécessairement, n=7*k+1.
    Leur somme fait donc 42*k+6+15=42*k+21=21*(2*k+1).
    Cette somme doit être un carré d’un entier donc (2*k+1)=21*q^2 avec q impair et la somme vaut alors (21*q)^2.
    2*k=21*q^2-1 ou k=(21*q^2-1)/2 et alors n=7/2*(21*q^2-1)/2+1.

    Et un nombre à... 5 chiffres ?
    De 10000 à 99999 ?
    10000/21^2=22,6 (à 5% près) donc q=5.
    99999/21^2=226 (à 5% près, j’ai fait *10, hein ;-)) donc q=15.

    Donc, 6 valeurs de n.

    Alors par exemple, avec q=11, la somme vaut 231^2 et on a n=8891 donc 231^2=8891+8892+8893+8894+8895+8896

    Cool :-)

    Répondre à ce message

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