Un défi par semaine

Octobre 2018, 3e défi

Le 19 octobre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 42

Trouver six nombres entiers positifs consécutifs non
divisibles par $7$ dont la somme soit un nombre de quatre chiffres et
le carré d’un nombre entier.

Solution du 2e défi d’octobre :

Enoncé

La réponse est : $n=8$.

On sait que $x^2-1=(x-1)(x+1)$ pour tout nombre $x$. On
applique cette factorisation pour obtenir
\[(2^2-1)(3^2-1)(4^2-1)\cdots (n^2-1)=(1\cdot 3)(2\cdot 4)(3\cdot 5)\cdots [(n-1)(n+1)].\]

Pour que ce produit soit un carré, chaque nombre premier du produit
doit apparaître un nombre pair de fois. En comptant le nombre d’apparitions de chaque nombre premier dans la factorisation, il est facile de voir que le premier carré obtenu est :
\[(1\cdot 3)(2\cdot 4)(3\cdot 5)(4\cdot 6)(5\cdot 7)(6\cdot 8)(7\cdot 9)=(2^5\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7)^2.\]
Ceci correspond à $n=8$.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2018, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Octobre 2018, 3e défi

    le 19 octobre 2018 à 08:10, par Al_louarn

    \[659+660+661+662+663+664 = 3969 = 63^2\]

    $n^2 = (7k+1) + ... + (7k+6) = 42k + 21 = 21(2k+1)$
    Donc $n$ est le produit de $21$ par un nombre impair $m$.
    $m=1$ est trop petit car $21^2 \times 1^2=441$ (3 chiffres)
    $m=5$ est trop grand car $441 \times 5^2 = 11025$ (5 chiffres)
    Seul $m=3$ convient car $441 \times 3^2 = 3969$
    Alors $2k+1 = 21 \times 9 = 189$, d’où $k=94$

    Répondre à ce message
  • Octobre 2018, 3e défi

    le 19 octobre 2018 à 09:23, par ROUX

    6 entiers consécutifs : n à n+5.
    Leur somme fait 6*n+15.
    Aucun de ces 6 entiers n’est multiple de 7 donc nécessairement, n=7*k+1.
    Leur somme fait donc 42*k+6+15=42*k+21=21*(2*k+1).
    Cette somme doit être un carré d’un entier donc (2*k+1)=21*q^2 avec q impair et la somme vaut alors (21*q)^2.
    2*k=21*q^2-1 ou k=(21*q^2-1)/2 et alors n=7/2*(21*q^2-1)/2+1.

    Et un nombre à... 5 chiffres ?
    De 10000 à 99999 ?
    10000/21^2=22,6 (à 5% près) donc q=5.
    99999/21^2=226 (à 5% près, j’ai fait *10, hein ;-)) donc q=15.

    Donc, 6 valeurs de n.

    Alors par exemple, avec q=11, la somme vaut 231^2 et on a n=8891 donc 231^2=8891+8892+8893+8894+8895+8896

    Cool :-)

    Répondre à ce message
  • Octobre 2018, 3e défi

    le 23 décembre 2018 à 05:16, par fabevrard

    Le calcul du 1er nombre N =7*K+1 est simple (vulgaire expression arithmétique), les solutions découlent de l’encadrement qu’on est capable de faire à propos de H (ci-dessous) :

    36 ?- between(1,1,H), N is 7*(((441*(2*H+1)^2)/21-1)/2)+1.
    H = 1,
    N = 659.

    37 ?- between(2,7,H), N is 7*(((441*(2*H+1)^2)/21-1)/2)+1.
    H = 2,
    N = 1835 ;
    H = 3,
    N = 3599 ;
    H = 4,
    N = 5951 ;
    H = 5,
    N = 8891 ;
    H = 6,
    N = 12419 ;
    H = 7,
    N = 16535.
    La 1ère chose à faire c’est encadrer S (facile puisque S s’écrit avec 4 chiffres), ensuite on encadre Q (sachant que S=441*Q), puis C tel que (Q=C*C), enfin H tel que (C=2*H+1).
    Grâce à S=42*K+21, on calcule K et donc N.
    Ci-dessus on a trouvé une solution pour une somme S à 4 chiffres, on en a trouvé 6 pour S à 5 chiffres. Ci-dessous 16 solutions pour S à 6 chiffres (on a listé le 1er nombre N et la somme S) :
    46 ?- forall((between(8,23,H), S is 441*(2*H+1)^2, N is 7*((S/21-1)/2)+1),writeln((N,’ ’,S))).
    21239, ,127449
    26531, ,159201
    32411, ,194481
    38879, ,233289
    45935, ,275625
    53579, ,321489
    61811, ,370881
    70631, ,423801
    80039, ,480249
    90035, ,540225
    100619, ,603729
    111791, ,670761
    123551, ,741321
    135899, ,815409
    148835, ,893025
    162359, ,974169
    true.
    On en trouve 51 pour S à 7 chiffres, etc etc.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?