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• Octobre 2018, 3e défi

  le 19 octobre 2018 à 08:10, par Al_louarn

  \[659+660+661+662+663+664 = 3969 = 63^2\]

  $n^2 = (7k+1) + ... + (7k+6) = 42k + 21 = 21(2k+1)$
  Donc $n$ est le produit de $21$ par un nombre impair $m$.
  $m=1$ est trop petit car $21^2 \times 1^2=441$ (3 chiffres)
  $m=5$ est trop grand car $441 \times 5^2 = 11025$ (5 chiffres)
  Seul $m=3$ convient car $441 \times 3^2 = 3969$
  Alors $2k+1 = 21 \times 9 = 189$, d’où $k=94$

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• Octobre 2018, 3e défi

  le 19 octobre 2018 à 09:23, par ROUX

  6 entiers consécutifs : n à n+5.
  Leur somme fait 6*n+15.
  Aucun de ces 6 entiers n’est multiple de 7 donc nécessairement, n=7*k+1.
  Leur somme fait donc 42*k+6+15=42*k+21=21*(2*k+1).
  Cette somme doit être un carré d’un entier donc (2*k+1)=21*q^2 avec q impair et la somme vaut alors (21*q)^2.
  2*k=21*q^2-1 ou k=(21*q^2-1)/2 et alors n=7/2*(21*q^2-1)/2+1.

  Et un nombre à... 5 chiffres ?
  De 10000 à 99999 ?
  10000/21^2=22,6 (à 5% près) donc q=5.
  99999/21^2=226 (à 5% près, j’ai fait *10, hein ;-)) donc q=15.

  Donc, 6 valeurs de n.

  Alors par exemple, avec q=11, la somme vaut 231^2 et on a n=8891 donc 231^2=8891+8892+8893+8894+8895+8896

  Cool :-)

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• Octobre 2018, 3e défi

  le 23 décembre 2018 à 05:16, par fabevrard

  Le calcul du 1er nombre N =7*K+1 est simple (vulgaire expression arithmétique), les solutions découlent de l’encadrement qu’on est capable de faire à propos de H (ci-dessous) :

  36 ?- between(1,1,H), N is 7*(((441*(2*H+1)^2)/21-1)/2)+1.
  H = 1,
  N = 659.

  37 ?- between(2,7,H), N is 7*(((441*(2*H+1)^2)/21-1)/2)+1.
  H = 2,
  N = 1835 ;
  H = 3,
  N = 3599 ;
  H = 4,
  N = 5951 ;
  H = 5,
  N = 8891 ;
  H = 6,
  N = 12419 ;
  H = 7,
  N = 16535.
  La 1ère chose à faire c’est encadrer S (facile puisque S s’écrit avec 4 chiffres), ensuite on encadre Q (sachant que S=441*Q), puis C tel que (Q=C*C), enfin H tel que (C=2*H+1).
  Grâce à S=42*K+21, on calcule K et donc N.
  Ci-dessus on a trouvé une solution pour une somme S à 4 chiffres, on en a trouvé 6 pour S à 5 chiffres. Ci-dessous 16 solutions pour S à 6 chiffres (on a listé le 1er nombre N et la somme S) :
  46 ?- forall((between(8,23,H), S is 441*(2*H+1)^2, N is 7*((S/21-1)/2)+1),writeln((N,’ ’,S))).
  21239, ,127449
  26531, ,159201
  32411, ,194481
  38879, ,233289
  45935, ,275625
  53579, ,321489
  61811, ,370881
  70631, ,423801
  80039, ,480249
  90035, ,540225
  100619, ,603729
  111791, ,670761
  123551, ,741321
  135899, ,815409
  148835, ,893025
  162359, ,974169
  true.
  On en trouve 51 pour S à 7 chiffres, etc etc.

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