Un défi par semaine

Octobre 2018, 3e défi

Le 19 octobre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 42

Trouver six nombres entiers positifs consécutifs non
divisibles par $7$ dont la somme soit un nombre de quatre chiffres et
le carré d’un nombre entier.

Solution du 2e défi d’octobre :

Enoncé

La réponse est : $n=8$.

On sait que $x^2-1=(x-1)(x+1)$ pour tout nombre $x$. On
applique cette factorisation pour obtenir
\[(2^2-1)(3^2-1)(4^2-1)\cdots (n^2-1)=(1\cdot 3)(2\cdot 4)(3\cdot 5)\cdots [(n-1)(n+1)].\]

Pour que ce produit soit un carré, chaque nombre premier du produit
doit apparaître un nombre pair de fois. En comptant le nombre d’apparitions de chaque nombre premier dans la factorisation, il est facile de voir que le premier carré obtenu est :
\[(1\cdot 3)(2\cdot 4)(3\cdot 5)(4\cdot 6)(5\cdot 7)(6\cdot 8)(7\cdot 9)=(2^5\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7)^2.\]
Ceci correspond à $n=8$.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2018, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • Octobre 2018, 3e défi

    le 23 décembre 2018 à 05:16, par fabevrard

    Le calcul du 1er nombre N =7*K+1 est simple (vulgaire expression arithmétique), les solutions découlent de l’encadrement qu’on est capable de faire à propos de H (ci-dessous) :

    36 ?- between(1,1,H), N is 7*(((441*(2*H+1)^2)/21-1)/2)+1.
    H = 1,
    N = 659.

    37 ?- between(2,7,H), N is 7*(((441*(2*H+1)^2)/21-1)/2)+1.
    H = 2,
    N = 1835 ;
    H = 3,
    N = 3599 ;
    H = 4,
    N = 5951 ;
    H = 5,
    N = 8891 ;
    H = 6,
    N = 12419 ;
    H = 7,
    N = 16535.
    La 1ère chose à faire c’est encadrer S (facile puisque S s’écrit avec 4 chiffres), ensuite on encadre Q (sachant que S=441*Q), puis C tel que (Q=C*C), enfin H tel que (C=2*H+1).
    Grâce à S=42*K+21, on calcule K et donc N.
    Ci-dessus on a trouvé une solution pour une somme S à 4 chiffres, on en a trouvé 6 pour S à 5 chiffres. Ci-dessous 16 solutions pour S à 6 chiffres (on a listé le 1er nombre N et la somme S) :
    46 ?- forall((between(8,23,H), S is 441*(2*H+1)^2, N is 7*((S/21-1)/2)+1),writeln((N,’ ’,S))).
    21239, ,127449
    26531, ,159201
    32411, ,194481
    38879, ,233289
    45935, ,275625
    53579, ,321489
    61811, ,370881
    70631, ,423801
    80039, ,480249
    90035, ,540225
    100619, ,603729
    111791, ,670761
    123551, ,741321
    135899, ,815409
    148835, ,893025
    162359, ,974169
    true.
    On en trouve 51 pour S à 7 chiffres, etc etc.

    Répondre à ce message

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