Un défi par semaine

Octobre 2018, 4e défi

Le 26 octobre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 43

Les racines de l’équation quadratique
$x^2+px+q=0$ sont entières. Si $p+q=198$, quelles sont les valeurs
possibles de la paire $(p,q)$ ?

Solution du 3e défi d’octobre :

Enoncé

La réponse est : $659$, $660$, $661$, $662$, $663$ et $664$.

Comme aucun des six entiers positifs consécutifs
n’est divisible par $7$, ceux-ci sont de la forme $7n+1$, $7n+2$,
$\dots$, $7n+6$, avec $n$ un entier positif quelconque. Leur somme est
$S=42n+21=21(2n+1)$.

Pour que $S$ soit le carré d’un nombre entier, on doit
avoir $2n+1=21k^2$ où $k$ est un nombre impair.

Pour que $S$ soit un nombre à quatre chiffres, on doit avoir
les inégalités suivantes $1000\leq 21^2k^2\leq 9999$, d’où $2 < k^2 < 23$.

Ceci n’est possible que si
$k^2=9$. Donc $2n+1=21k^2=189$ et $n=94$. Par conséquent,
les nombres recherchés sont : $659$, $660$, $661$, $662$, $663$ et $664$.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2018, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Octobre 2018, 4e défi

    le 26 octobre à 09:24, par mong

    On a
    x2 +px +q = (x -a)(x-b)
    soit x2 +px +q = x2 - x(a+b) +ab
    soit p = -(a +b) et q = ab
    p+q = ab -a -b = (a-1)(b-1) + 1
    => (a - 1) (b - 1) = 198 + 1 = 199
    Or 199 est premier...
    Donc, pas de solution !

    Répondre à ce message
    • Octobre 2018, 4e défi

      le 26 octobre à 09:37, par mong

      oups, réponse un peu rapide...
      (a - 1) (b - 1) = 199 =>
      a - 1 = 1 et b - 1 = 199 ou a - 1 = 199 et b - 1 = 1
      soit a = 2 et b = 200
      soit b = 2 et a = 200

      les relations de p et q à a et b étant symétriques, il reste :
      q = a . b = 400 et p = - 202

      Répondre à ce message
  • Octobre 2018, 4e défi

    le 26 octobre à 09:45, par Mario

    En prenant en compte les racines entières négatives, on obtient également la solution (p,q) = (198,0).

    Répondre à ce message
  • Octobre 2018, 4e défi

    le 26 octobre à 11:42, par ROUX

    J’avais.
    Je mets juste en forme.
    x^2-202x+400=0
    x^2+198x=0

    Répondre à ce message

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