Un défi par semaine

Octobre 2019, 1er défi

Le 4 octobre 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 40

« J’ai toujours eu 45 ans de plus que ton père » dit une grand-mère à son petit-fils.
« Mais aujourd’hui, les deux chiffres de mon âge sont exactement les mêmes que ceux de ton père. Et en plus nos deux âges sont divisibles par 9 ! »
Quel âge a la grand-mère ?

Solution du 4e défi de septembre :

Enoncé

La solution est $19$.

Construisons les premiers termes de la suite :

\[ \begin{eqnarray*} X_3 = \left[X_2,X_1\right]+X_1 & = [95,19]+19= [19\times 5,19]+19=\\ & = 19\times 5+19= 19\times 6, \\ X_4 = \left[X_3,X_2\right]+X_2 & =\left[19\times 6,19\times 5\right]+19\times 5=\\ & =19(6\times5+5)= 19\times35, \\ X_5=\left[X_4,X_3\right]+X_3 & = \left[19\times 35,19\times 6\right]+19\times35=\\ & = 19(35\times6+35)=19\times 245. \end{eqnarray*} \]

Posons $X_n=19Y_n$. On a donc $Y_1=1$ et $Y_2=5$.
Par récurrence, on voit que $Y_n$ et $Y_{n+1}$
sont premiers entre eux.

Nous avons
$\left[Y_n,Y_{n+1}\right]=Y_n\times Y_{n+1}$, donc :

\[ \begin{eqnarray*} X_{n+2} &=&\left[X_{n+1},X_n\right]+X_n=\left[19Y_{n+1},19Y_{n}\right]+19Y_n=\\ &=&19Y_{n}\times Y_{n+1}+19Y_n=19Y_n(Y_{n+1}+1). \end{eqnarray*} \]

Par conséquent, $Y_{n+2}=Y_n(Y_{n+1}+1)$. Donc le plus grand commun
diviseur de $Y_{n+2}$ et $Y_{n+1}$ est
$\left(Y_{n+2},Y_{n+1}\right)=\left(Y_n(Y_{n+1}+1),Y_{n+1}\right)=1$. Donc le plus grand commun diviseur de $X_{2018}$ et $X_{2019}$ est 19.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2019, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - REDPIXEL.PL / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Octobre 2019, 1er défi

    le 4 octobre à 13:01, par Niak

    Comme les deux âges sont divisibles par 9 : x + y = 9

    Pour être complet, $9$ divise $x+y$, donc on pourrait également avoir $x+y=18$ (je passe sur $0$...), mais évidemment la seule possibilité $x=y=9$ est alors vite écartée.

    Répondre à ce message

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