Un défi par semaine

Octobre 2019, 2e défi

Le 11 octobre 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 41

Calculer la somme de tous les nombres palindromes à 3 chiffres.

Solution du 1er défi d’octobre :

Enoncé

La solution est 72 ans.

Soient $a$ et $b$ les chiffres respectifs des dizaines et des unités de l’âge de la grand-mère ; on a donc
\[10a+b=10b+a+45,\]
d’où $9(a-b)=45$ et $a=b+5$.

De plus, comme $10a+b$ doit être
divisible par 9 et que les deux chiffres ne peuvent pas être tous
les deux égaux à 9, on a
\[9=a+b=2b+5.\]

On en déduit que $b=2$ et $a=7$. La grand-mère a donc $72$ ans.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2019, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - REDPIXEL.PL / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Octobre 2019, 2e défi

    le 13 octobre 2019 à 19:01, par Al_louarn

    On peut généraliser cette idée pour calculer la somme $S(b,n)$ des nombres dont l’écriture en base $b$ est un palindrome à $n$ chiffres (pour $n>1$).
    On commence en haut à gauche du tableau avec $b^{n-1} + 1$ et l’on termine en bas à droite par $b^n - 1$.
    Pour $n$ impair, soit $n=2k+1$, chaque ligne du tableau contient $b$ palindromes identiques sur tous leurs chiffres sauf celui du milieu qui varie de $0$ à $b-1$.
    Pour remplir une colonne on parcourt tous les nombre de $b^{k-1} + 1$ à $b^k - 1$, et pour chaque palindrome on écrit les $k$ chiffres du nombre courant, puis le chiffre central associé à la colonne, puis les $k$ chiffres en ordre inverse.
    Par exemple pour $b=10$ et $k=3$, on obtient :
    $1010101, 1011101, ..., 1019101$
    $1020201, 1021201, ..., 1029201$
    $...$
    $9990999, 9991999, ..., 9999999$

    Le nombre de lignes est donc $b^k - b^{k-1} = b^{k-1}(b-1)$.
    Le nombre total de palindromes est donc $b^k(b-1)$.
    On peut les regrouper par paires dont la somme est toujours égale à la somme du plus grand et du plus petit palindrome :
    $b^{n-1} + 1 + b^n - 1 = b^{n-1}(b+1)$, soit $b^{2k}(b+1)$ pour $n=2k+1$.
    D’où $S(b,2k+1)=\dfrac{b^{3k}(b^2 - 1)}{2}$

    Pour $n$ pair, soit $n=2k$, c’est plus simple car il n’y a pas de chiffre central, donc le tableau se réduit à une seule colonne.
    Le nombre de lignes est toujours $b^{k-1}(b-1)$, qui est donc aussi le nombre total de palindromes.
    Chaque paire a toujours pour somme $b^{n-1}(b+1)$, soit $b^{2k-1}(b+1)$ pour $n=2k$.
    D’où $S(b,2k)=\dfrac{b^{3k-2}(b^2 - 1)}{2}$.

    On peut même rassembler les deux formules :
    si $n=2k+1$, alors $3k=2k+k=n-1+\dfrac{n-1}{2}=\dfrac{3(n-1)}{2}$
    si $n=2k$, alors $3k-2=2k - 1 + k - 1=n-1+\dfrac{n}{2}-1=n-1+\dfrac{n-1}{2} - \dfrac{1}{2}=\dfrac{3(n-1)}{2}- \dfrac{1}{2}=\lfloor\dfrac{3(n-1)}{2}\rfloor$ car $3(n-1)$ est impair.

    Ce qui donne la formule générale : \[S(b,n)=\dfrac{b^{\lfloor\frac{3(n-1)}{2}\rfloor}(b^2 - 1)}{2}\].

    Ou encore $S(b,n)=\dfrac{b^{n-1}b^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor}(b^2 - 1)}{2}$

    Pour $b=10$ on trouve $S(10,n)=\dfrac{10^{n-1} \times 10^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} \times(10^2 - 1)}{2} = 10^{n-2} \times 10^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} \times 495$
    $S(10,2)=495$
    $S(10,3)=49500$ (question initiale du défi)
    $S(10,4)=495000$
    $S(10,5)=49500000$
    $S(10,6)=495000000$
    etc.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?