Un défi par semaine

Octobre 2020, 5e défi

Le 30 octobre 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 44
Quel est le plus petit nombre entier positif à trois chiffres vérifiant que la somme de ce nombre avec le nombre obtenu en inversant l’ordre de ses chiffres, soit un nombre composé uniquement de chiffres impairs ?

Solution du 4e défi d’octobre :

Enoncé

La réponse est $x=5$.

Si $x$ est une solution des $2$ équations, alors :
\[ \begin{eqnarray*} (x^3-5x^2+6x-30)-(x^3-6x^2+6x-5)&=&0\\ x^2-25&=&0. \end{eqnarray*} \]

Donc $x=5$ ou $x=-5$.

Réciproquement, $x=5$ est solution de chacune des deux équations : $5^3-6\times 5^2+6\times 5-5=0$ et $5^3-5\times 5^2+6\times 5-30=0$.

Mais $x=-5$ n’est pas solution de la première équation : $(-5)^3-6\times (-5)^2+6\times (-5)-5=-310\neq 0$.

Donc $x=5$ est l’unique solution.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2020, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - CÉSAR, RENAULT VL 06, 1986 © RMN-GRAND PALAIS / BENJAMIN SOLIGNY / RAPHAËL CHIPAULT / VILLE DE MARSEILLE / SBJ / ADAGP, PARIS, 2019

Commentaire sur l'article

  • Octobre 2020, 5e défi

    le 30 octobre à 08:58, par François

    Soit $x = a + 10b + 100c$ le nombre cherché et $y = c + 10b + 100a$.
    La somme $x +y = a + c +20b + 100(a + c)$ doit avoir tous ses chiffres impairs. Comme $20b$ est pair la contribution de $a + c$ au chiffre des dizaines est nécessairement $1$ . Pour des raisons de minimalité de $x$, je prends $a + c = 11$ et $c = 2$ et donc $a = 9$ et pour $b$ la plus petite valeur possible c’est à dire $0$. La solution est, selon moi, $x = 209$ , en effet $209 + 902 = 1111$.

    Répondre à ce message
  • Octobre 2020, 5e défi

    le 30 octobre à 12:37, par ROUX

    abc est le nombre.
    100a+10b+c+100c+10b+a=101*(a+c)+20b.
    Il faut une retenue dans les dizaines avec (a+c) pour contrer la mauvaise parité de 20b.
    Donc (a+c) est au moins égale à 10 mais 101*10=1010 donc non ; tentons (a+c)=11 : 101*11=1111.
    Donc b=0, c=9 et a=2.
    209 est ce nombre.
    Et le prochain est 308...

    Répondre à ce message
    • Octobre 2020, 5e défi

      le 31 octobre à 09:53, par Francois

      D’après mes calculs, le suivant serait plutôt 219 (somme = 1131), puis 229 ,...

      Répondre à ce message
      • Octobre 2020, 5e défi

        le 31 octobre à 23:00, par ROUX

        Oh mais oui !!!
        Quelle étourderie !!!

        Répondre à ce message
  • Octobre 2020, 5e défi

    le 30 octobre à 16:00, par François

    Je pense que le plus grand est $948$.

    Répondre à ce message
  • Octobre 2020, 5e défi

    le 1er novembre à 09:02, par snarkturne

    Je ne sais pas si les réponses non subtiles (ici Python 3) sont accept(ables|ées) :-)

    [ k for k in range(100, 1000) if set(str(int(str(k)[: :-1], 10) + k)) < set(’13579’)]

    me donne :

    [209, 219, 229, 239, 249, 308, 318, 328, 338, 348, 407, 409, 417, 419, 427, 429, 437, 439, 447, 449, 506, 508, 516, 518, 526, 528, 536, 538, 546, 548, 605, 607, 609, 615, 617, 619, 625, 627, 629, 635, 637, 639, 645, 647, 649, 704, 706, 708, 714, 716, 718, 724, 726, 728, 734, 736, 738, 744, 746, 748, 803, 805, 807, 809, 813, 815, 817, 819, 823, 825, 827, 829, 833, 835, 837, 839, 843, 845, 847, 849, 902, 904, 906, 908, 912, 914, 916, 918, 922, 924, 926, 928, 932, 934, 936, 938, 942, 944, 946, 948]

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?