Un défi par semaine

Octobre 2021, 2e défi

Le 8 octobre 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 40

On place un carré de $6\times 6$ cm sur un triangle ; la surface de chevauchement correspond à $60\, \%$ de la surface du triangle, mais aussi à $\dfrac{2}{3}$ de la surface du carré. Quelle est la surface, en centimètres carrés, du triangle ?

Solution du 1er défi d’octobre :

Enoncé

La réponse est : $12$ cm.

Considérons le diamètre du cercle qui passe par les centres des petits cercles. Cela est possible grâce à la symétrie de la figure :

PNG - 74.7 ko

Nous avons $AD=16$ cm, puisque c’est le diamètre du grand cercle. $AB=CD=2$ cm, puisque cela correspond aux rayons des petits cercles. Donc $BC=16-2-2=12$ cm.

Pourquoi $A$ et $D$ sont-ils les points de tangence entre les petits cercles et le grand cercle respectivement ? Prenons par exemple $A$ : une droite $\ell$ tangente au grand cercle en $A$ est aussi tangente au petit cercle. La perpendiculaire à $\ell$ par $A$ doit donc passer par les centres du petit et du grand cercles. Il s’agit donc de la droite $(AD)$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2021, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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