Un défi par semaine

Octobre 2021, 4e défi

Le 22 octobre 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 42

Soient $a$, $b$ et $c$ des nombres entiers positifs tels que $a+b+c=12$.
Quelle est la valeur maximale de \[abc + ab + bc + ac\,\mbox{?}\]

Solution du 3e défi d’octobre :

Enoncé

La réponse est : $5$.

Puisque une face possède les sommets numérotés $1$, $2$, $6$ et $7$ et qu’une autre les sommets $1$, $2$, $5$ et $8$, les sommets $1$ et $2$ forment une des arêtes du cube. De la même manière, les sommets $1$ et $6$ forment une arête, puisqu’ils font partie des faces $\{1,2,6,7\}$ et
$\{1,4,6,8\}$. Nous avons aussi une arête dont les extrémités sont les sommets $1$ et $8$, puisqu’ils sont dans les faces $\{1,4,6,8\}$ et $\{1,2,5,8\}$.
Nous pouvons donc dessiner, à une rotation ou à une symétrie près, le cube et numéroter les sommets $1$, $2$, $6$ et $8$ de cette manière :

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Puisqu’une face possède les sommets $1$, $2$ et $6$, son dernier sommet est $7$. Pour une autre face, nous avons les sommets $1$, $6$ et $8$, le quatrième sommet est donc $4$. De même, pour la face constituée par les sommets $1$, $2$ et $8$, elle possède également le sommet $5$.

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Nous pouvons ainsi conclure que le numéro du sommet le plus éloigné du $6$ est le $5$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2021, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

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  • Octobre 2021, 4e défi

    le 22 octobre 2021 à 13:05, par Niak

    On a $abc+ab+bc+ac=(a+1)(b+1)(c+1)-13$ et l’on se ramène donc à maximiser le produit. On peut utiliser des méthodes d’analyse comme le suggère François, ou directement invoquer l’inégalité arithmético-géométrique : \[(a+1)(b+1)(c+1)\leq\left(\frac{a+1+b+1+c+1}{3}\right)^3=\left(\frac{12+3}{3}\right)^3=5^3\] borne clairement atteinte pour $a=b=c=4$.

    Répondre à ce message

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