Un défi par semaine

Octobre 2021, 5e défi

El 29 octubre 2021  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : «Le ciel dans tous ses états».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 43

Avec huit couleurs différentes, de combien de manières peut-on colorier les huit sommets d’un cube?
Chaque sommet doit avoir une couleur différente, toutes les configurations qui sont équivalentes par rotation du cube ne seront comptées qu’une seule fois.

Solution du 4e défi d’octobre :

Enoncé

La réponse est : $112$.

Observons que :

\[ \begin{eqnarray*} (a+1)(b+1)(c+1)& = & abc + ab + bc + ac+a+b+c+1 \\ & = & abc + ab + bc + ac + 13. \end{eqnarray*} \]

Nous avons donc $abc+ab+bc+ac=(a+1)(b+1)(c+1)-13$.

Voyons maintenant comment obtenir la valeur la plus grande de $(a+1)(b+1)(c+1)$.

En utilisant l’inégalité entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique pour les nombres positifs $a+1$, $b+1$ et $c+1$, nous avons :
\[ 5=\frac{(a+1)+(b+1)+(c+1)}{3} \geq \sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}. \]

Ainsi, la valeur maximale de $(a+1)(b+1)(c+1)$ est égale à $125$, ce qui correspond à $a=b=c=4$.
Nous avons donc :
\[ abc + ab + bc + ac = 125-13 = 112. \]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Octobre 2021, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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  • Octobre 2021, 5e défi

    le 29 de octubre de 2021 à 11:41, par Mihaela J

    Je prends un peu le problème depuis la fin. J’ai deux cubes avec les coins colorés dans des couleurs distinctes, est-ce que la coloration des cubes est identique (modulo des rotations) ?

    Je choisis une couleur (qui me plait le plus, par exemple) et je l’appelle $couleur_1$, puis j’ordonne le reste $couleur_2$, $couleur_3$, .. $couleur_8$.
    Je prends les cubes et je les places comme suit :
    $*$ le sommet de $couleur_1$ en bas, vers moi, coin à gauche
    $*$ par max deux rotations en gardant le sommet de $couleur_1$ sur la table, je place en bas vers moi l’arrête $(couleur_1, couleur_i)$ avec $couleur_i$ la plus petite parmi les 3 couleurs voisines du coin de $couleur_1$

    Les deux cubes étant placés selon le même procédé je regarde si les couleurs sont identiques coin par coin pour les 7 autres coins.


    Si je numérote maintenant les coins du cube comme dans la figure (ce qui m’importe est la numérotation des 4 premiers coins), je peux mieux compter les colorations possibles.


    Je peux me dire que la coloration d’un cube est une permutation de \[\sigma : \{1,2, \ldots 8\} \rightarrow \{1,2, \ldots 8 \}\] avec $ \sigma(1) = 1$, $\sigma(2) < \sigma (3)$ et $\sigma(2) < \sigma (4)$.

    Si j’ai les 4 valeurs de $\sigma(1), \ldots \sigma(4)$ fixées, il y $P_4 =4!$ permutations des autres couleurs.

    Pour choisir $\sigma(2),\sigma (3),\sigma (4)$, j’ai $P_2 \times C_7^3$ possibilités : de chaque combinaison de 3 parmi 7 je prends le plus petit élément comme le premier et je place les deux autres au hasard.


    Donc le nombre de colorations recherché est :
    \[ P_2 \times C_7^3 \times P_4 = 2 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 = 1680\]

    Document joint : cube-3.png
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