Un défi par semaine

Octobre 2021, 5e défi

El 29 octubre 2021  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : «Le ciel dans tous ses états».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 43

Avec huit couleurs différentes, de combien de manières peut-on colorier les huit sommets d’un cube?
Chaque sommet doit avoir une couleur différente, toutes les configurations qui sont équivalentes par rotation du cube ne seront comptées qu’une seule fois.

Solution du 4e défi d’octobre :

Enoncé

La réponse est : $112$.

Observons que :

\[ \begin{eqnarray*} (a+1)(b+1)(c+1)& = & abc + ab + bc + ac+a+b+c+1 \\ & = & abc + ab + bc + ac + 13. \end{eqnarray*} \]

Nous avons donc $abc+ab+bc+ac=(a+1)(b+1)(c+1)-13$.

Voyons maintenant comment obtenir la valeur la plus grande de $(a+1)(b+1)(c+1)$.

En utilisant l’inégalité entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique pour les nombres positifs $a+1$, $b+1$ et $c+1$, nous avons :
\[ 5=\frac{(a+1)+(b+1)+(c+1)}{3} \geq \sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}. \]

Ainsi, la valeur maximale de $(a+1)(b+1)(c+1)$ est égale à $125$, ce qui correspond à $a=b=c=4$.
Nous avons donc :
\[ abc + ab + bc + ac = 125-13 = 112. \]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Octobre 2021, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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  • Octobre 2021, 5e défi

    le 29 de octubre de 2021 à 11:56, par Al_louarn

    Numérotons les couleurs de $1$ à $8$. Soit $k$ la couleur du sommet opposé au sommet de couleur $1$. On peut partitionner l’ensemble des $8$ couleurs en $4$ classes :
    $\left \{ 1 \right\}$
    $\left \{ k \right\}$
    $C_1$ = couleurs des $3$ sommets reliés au sommet de couleur $1$
    $C_k$ = couleurs des $3$ sommets reliés au sommet de couleur $k$
    Le nombre de façons de répartir les couleurs $2$ à $8$ dans les classes $\left \{ k \right\}, C_1, C_k$ est le coefficient trinomial $\dfrac{(1+3+3)!}{1!3!3!}=140$
    Si on regarde le cube depuis le sommet de couleur $1$ dans la direction du sommet de couleur $k$, on voit les $6$ autres sommets sur un cycle alternant les sommets reliés à $1$ et les sommets reliés à $k$. Colorions un des sommets voisins de $1$ avec la plus petite couleur de $C_1$.
    Il y a alors $2!$ façons d’affecter les $2$ autres couleurs de $C_1$ aux voisins de $1$, et $3!$ façons d’affecter les $3$ couleurs de $C_k$ aux voisins de $k$.
    Il y a donc $2!3!=12$ façons de colorier les sommets du cycle.
    Ce qui fait au total $140 \times 12 = 1680$ façons de colorier le cube.

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