Comentario sobre el artículo

Voir tous les messages - Retourner à l'article

• Octobre 2021, 5e défi

  le 29 de octubre de 2021 à 11:56, par Al_louarn

  Numérotons les couleurs de $1$ à $8$. Soit $k$ la couleur du sommet opposé au sommet de couleur $1$. On peut partitionner l’ensemble des $8$ couleurs en $4$ classes :
  $\left \{ 1 \right\}$
  $\left \{ k \right\}$
  $C_1$ = couleurs des $3$ sommets reliés au sommet de couleur $1$
  $C_k$ = couleurs des $3$ sommets reliés au sommet de couleur $k$
  Le nombre de façons de répartir les couleurs $2$ à $8$ dans les classes $\left \{ k \right\}, C_1, C_k$ est le coefficient trinomial $\dfrac{(1+3+3)!}{1!3!3!}=140$
  Si on regarde le cube depuis le sommet de couleur $1$ dans la direction du sommet de couleur $k$, on voit les $6$ autres sommets sur un cycle alternant les sommets reliés à $1$ et les sommets reliés à $k$. Colorions un des sommets voisins de $1$ avec la plus petite couleur de $C_1$.
  Il y a alors $2!$ façons d’affecter les $2$ autres couleurs de $C_1$ aux voisins de $1$, et $3!$ façons d’affecter les $3$ couleurs de $C_k$ aux voisins de $k$.
  Il y a donc $2!3!=12$ façons de colorier les sommets du cycle.
  Ce qui fait au total $140 \times 12 = 1680$ façons de colorier le cube.

  Répondre à ce message