Enoncé

La réponse est : $112$.

Observons que :

\[ \begin{eqnarray*} (a+1)(b+1)(c+1)& = & abc + ab + bc + ac+a+b+c+1 \\ & = & abc + ab + bc + ac + 13. \end{eqnarray*} \]

Nous avons donc $abc+ab+bc+ac=(a+1)(b+1)(c+1)-13$.

Voyons maintenant comment obtenir la valeur la plus grande de $(a+1)(b+1)(c+1)$.

En utilisant l’inégalité entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique pour les nombres positifs $a+1$, $b+1$ et $c+1$, nous avons :
\[ 5=\frac{(a+1)+(b+1)+(c+1)}{3} \geq \sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}. \]

Ainsi, la valeur maximale de $(a+1)(b+1)(c+1)$ est égale à $125$, ce qui correspond à $a=b=c=4$.
Nous avons donc :
\[ abc + ab + bc + ac = 125-13 = 112. \]