Un défi par semaine

Octobre 2014, 2ème défi

Le 10 octobre 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 41 :

Si le périmètre d’un triangle rectangle mesure $40\, cm$ et la somme des carrés des longueurs de ses trois côtés est $578$, combien de centimètres mesure son plus petit côté ?

Solution du 1er défi d’Octobre

Enoncé

La réponse est $F=2$.

Observons que $E=1$, puisque $ABCD\times E=ABCD.$ De plus, $D$ vérifie que $D^{2}$ se termine par le même chiffre que $D$. Ceci implique que $D$ est égal à $0$, $1$, $5$ ou $6$. Si $D=0$ on a $ABCD\times D=0$ ce qui n’est pas possible. Comme $E=1$, $D\neq 1$. Si $D=5$, $5C+2$ doit se terminer par $1$, ce qui est impossible. Donc $D=6,$ et on sait que $6C+3$ se termine par $1$, ce qui implique que $C$ est égal à $3$ ou $8$. Par ailleurs, $I=D+E=7$.

Si $C=8$, on a $6C+3=51$. Dans la colonne suivante on obtient $6B+5$ qui se termine par $6$, ce qui est impossible. Donc, $C=3$, ce qui implique que $H=9$. Finalement, comme $6B+2$ se termine par $6$, $B$ est égal à $4$ ou $9$, et comme le $9$ a déjà été utilisé, $B=4$. Par conséquent, $A=5$, $F=2$ et $G=8$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2014, 2ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Un polytope de Schläfli, par Jos Leys.

Commentaire sur l'article

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  • Octobre, 2ème défi

    le 14 octobre 2014 à 08:46, par Daniate

    Bonjour, je doute fortement qu’il existe une construction géométrique pure, mais avec quelques calculs préalables et un repère orthonormal on peut construire le triangle cherché.

    Soient x < y les mesures des côtés de l’angle droit . On arrive, grâce à notre vieux camarade Pythagore à x²+y²=17² (équation d’un cercle de centre l’origine et de rayon 17) puis à x+y=23 (équation d’une droite passant par (23,0) et par (0,23).

    Le point A d’intersection le plus proche de l’axe des ordonnées donne la solution. Il reste à le projeter orthogonalement sur l’axe des abscisses en B . Le triangle OAB est le triangle cherché.

    Sur la figure on "voit" que x=8 mais il reste à le démontrer. Il suffit de vérifier que x=8 et y=15 est bien solution (simple calcul sans équation). L’unicité est assurée car une droite et un cercle ont au maximum 2 points d’intersection, or pour l’autre point on a x>y .

    Il n’en reste pas moins que se lancer dans une équation du second degré est la méthode la plus rapide.

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