Un défi par semaine

Octobre 2014, 2ème défi

Le 10 octobre 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 41 :

Si le périmètre d’un triangle rectangle mesure $40\, cm$ et la somme des carrés des longueurs de ses trois côtés est $578$, combien de centimètres mesure son plus petit côté ?

Solution du 1er défi d’Octobre

Enoncé

La réponse est $F=2$.

Observons que $E=1$, puisque $ABCD\times E=ABCD.$ De plus, $D$ vérifie que $D^{2}$ se termine par le même chiffre que $D$. Ceci implique que $D$ est égal à $0$, $1$, $5$ ou $6$. Si $D=0$ on a $ABCD\times D=0$ ce qui n’est pas possible. Comme $E=1$, $D\neq 1$. Si $D=5$, $5C+2$ doit se terminer par $1$, ce qui est impossible. Donc $D=6,$ et on sait que $6C+3$ se termine par $1$, ce qui implique que $C$ est égal à $3$ ou $8$. Par ailleurs, $I=D+E=7$.

Si $C=8$, on a $6C+3=51$. Dans la colonne suivante on obtient $6B+5$ qui se termine par $6$, ce qui est impossible. Donc, $C=3$, ce qui implique que $H=9$. Finalement, comme $6B+2$ se termine par $6$, $B$ est égal à $4$ ou $9$, et comme le $9$ a déjà été utilisé, $B=4$. Par conséquent, $A=5$, $F=2$ et $G=8$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2014, 2ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Un polytope de Schläfli, par Jos Leys.

Commentaire sur l'article

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  • Octobre, 2ème défi

    le 14 octobre 2014 à 09:23, par ROUX

    Merci beaucoup !

    Comme je ne recherche pas la rapidité mais le contrepié (licence poétique pour assurer une rime audio-visuelle) qui consiste à résoudre un problème de calculs avec des tracés et un problème de tracés avec des calculs, et bien votre solution me ravit !!!

    Encore merci (et donc, toujours gourmand de vous lire !!!).

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