Un défi par semaine

Octobre, 4ème défi

Le 24 octobre 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 43 :

Les racines de l’équation quadratique $x^2+px+q=0$ sont entières. Si $p+q=198$, quelles sont les valeurs possibles de la paire $(p,q)$ ?

Solution du 3ème défi d’Octobre

Enoncé

La réponse est $~659$, $660$, $661$, $662$, $663$ et $~664$.

Comme aucun des six entiers positifs consécutifs n’est divisible par $7$, ceux-ci sont de la forme $7n+1$, $7n+2$, $\dots$, $7n+6$, avec $n$ un entier positif quelconque. Leur somme est $S=42n+21=21(2n+1)$. Pour que $S$ soit un carré parfait, on doit
avoir $2n+1=21k^2$ où $k$ est un nombre impair. Pour que $S$ soit un nombre à quatre chiffres, on doit avoir les inégalités suivantes $1000\leq 21^2k^2\leq 9999$, d’où $2 < k^2 < 23$. Ceci n’est possible que si $k^2=9$. Donc $2n+1=21k^2=189$ et $n=94$.

Par conséquent, les nombres recherchés sont : $659$, $660$, $661$, $662$, $663$ et $664$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre, 4ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Un polytope de Schläfli, par Jos Leys.

Commentaire sur l'article

  • Octobre, 4ème défi

    le 24 octobre 2014 à 07:58, par Lina

  • Octobre, 4ème défi

    le 24 octobre 2014 à 10:38, par Lina

    Erreur de ma part : il existe un deuxième cas

    Solution complète

    (198 ;0) (-202 ;400)

    Répondre à ce message
    • Octobre, 4ème défi

      le 25 octobre 2014 à 11:13, par Creux

      La réponse de Lina est correcte pour la contrainte donnée (p+q=198).

      En revanche le problème ne semble pas très « intéressant » en l’état.

      Peut-être madame Rechtman a-t-elle fait une faute de frappe et la contrainte doit-elle être « p+q=189 » ?

      Dans ce cas, il y aurait 8 solutions valables.

      Répondre à ce message
  • Octobre, 4ème défi

    le 25 octobre 2014 à 17:07, par Ana Rechtman

    Je n’ai pas fait de faute de frappe, mais vous pouvez changer la contrainte p+q. Bien sur, si p+q+1 n’est pas un nombre premier (comme dans le problème original) vous trouverez plus de solutions. Est-ce-que le problème change vraiment ? Ou, s’agit il seulement de ressoudre plus de systèmes d’équations linéaires...

    Répondre à ce message
    • Octobre, 4ème défi

      le 25 octobre 2014 à 18:39, par Lina

      J’allais proposer la contrainte p+q=143 avec 30 solutions possibles comme contre-exemple de « l’inintérêt » du problème. Personnellement, je ne vois pas en quoi la multiplicité des solutions augmente l’intérêt du problème. Après tout , une fois comprise la méthode, il n’est plus nécessaire que de chercher les diviseurs de 144.

      Démonstration

      x et y sont les racines de l’équation. il vient x+y=-p et xy=q.
      p+q+1=xy-x-y+1=(x-1)(y-1). x-1 et y-1 sont des diviseurs de p+q+1 etc...

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    • Octobre, 4ème défi

      le 25 octobre 2014 à 23:03, par Creux

      Si mon commentaire a été perçu comme une attaque, je vous prie de m’en excuser, ce n’était pas ma volonté. D’où les guillemets.

      Je trouvais les solutions « triviales » pour le cas présenté.
      Mais, bien entendu, cette impression est subjective.

      Répondre à ce message
      • Octobre, 4ème défi

        le 26 octobre 2014 à 17:29, par Lina

        Vous êtes largement excusé, et même , à mes yeux, il était inutile de présenter vos excuses. Je compare nos échanges aux discussions autour d’une machine à café.

        Je précise le contenu de ma réponse : même s’il existe une réponse triviale, démontrer qu’elle est unique est en soit intéressant.

        PS : la trivialité de la solution (-202 ;400) ne m’apparaît pas. Pourriez-vous m’éclairer sur ce point ?

        Répondre à ce message
        • Octobre, 4ème défi

          le 26 octobre 2014 à 21:15, par Creux

          J’ai fait comme vous, j’ai trouvé le couple (-202, 400) par le calcul. Mais, rétrospectivement, je me suis dit que ça aurait pu être retrouvé de tête, sans trop de tâtonnements. (Oui, je le concède : décréter la trivialité après coup, c’est un peu facile...)

          Quoi qu’il en soit, mon premier commentaire était très maladroit.

          Répondre à ce message

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