Un desafío por semana

Octubre 2014, cuarto desafío

El 24 octubre 2014  - Escrito por  Ana Rechtman
El 27 octubre 2014
Artículo original : Octobre 2014, 4ème défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 43:

Las raíces de la ecuación cuadrática $x^2+px+q=0$ son números naturales. Si $p+q=198$, ¿cuáles son los posibles valores del par $(p,q)$?

Solución del tercer desafío de octubre

Enunciado

La respuesta es $~659$, $~660$, $~661$, $~662$, $~663~$ y $~664$.

Como ninguno de los seis naturales positivos consecutivos es divisible por $~7$, ellos son de la forma $7n+1$, $7n+2$, $\ldots$, $7n+6$, con $~n~$ un natural positivo cualquiera. Su suma es $S=42n+21=21(2n+1)$. Para que $~S~$ sea un cuadrado perfecto, se debe tener $~2n+1=21k^2$, con $~k~$ un número impar. Para que $~S~$ sea un número de cuatro cifras, se debe tener las siguientes desigualdades: $1000\leq 21^2~ k^2\leq 9999$, de donde $~2 < k^2 < 23$. Esto solo es posible si $~k^2=9$. Por lo tanto $~2n+1=21k^2=189$ y $n=94$.

En consecuencia, los números buscados son: $659$, $660$, $661$, $662$, $663~$ y $~664$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Étienne Ghys - Ilustraciones: Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Octubre 2014, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ’’Un politopo de Schläfli’’, por Jos Leys.

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