Un desafío por semana

Octubre 2014, primer desafío

El 3 octubre 2014  - Escrito por  Ana Rechtman
El 2 octubre 2014  - Traducido por  Jimena Royo-Letelier
Artículo original : Octobre 2014, 1er défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 40:
Si cada letra representa una cifra distinta, ¿cuál es el valor de $F$?

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Solución del cuarto desafío de septiembre

Enunciado

La respuesta es $~5$ elementos.

Es fácil ver que el sub-conjunto $\{1,2,3,5,8\}~$ satisface la condición deseada.
Mostremos ahora que $S$ no puede contener más de $5$ elementos. Supongamos, para obtener una contradicción, que $S$ contiene al menos $6$ elementos. Entonces, la más pequeña suma posible de una pareja de números es $~3$ y la mayor suma posible es $8+9=17$, por lo que hay $15$ sumas posibles.
En cambio, con $~6$ números se tiene $\binom{6}{2}=\frac{6\times 5}{2}=15$ parejas de números posibles. Por lo tanto, cada número del $3$ al $17$ debe ser la suma de exactamente una pareja de números. Esto implica que el $1$, el $2$, el $8$ y el $9$ están en $S$. Ahora bien, se tiene $1+9=2+8$, lo que es una contradicción.

En consecuencia, el número máximo de elementos en $S$ es 5.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Étienne Ghys - Ilustraciones : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

Jimena Royo-Letelier — «Octubre 2014, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ’’Un politopo de Schläfli’’, por Jos Leys.

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