Un desafío por semana

Octubre 2014, primer desafío

Le 3 octobre 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 2 octobre 2014  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier
Article original : Octobre 2014, 1er défi Voir les commentaires
Lire l'article en  

Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 40 :
Si cada letra representa una cifra distinta, ¿cuál es el valor de $F$ ?

PNG - 16.4 ko

Solución del cuarto desafío de septiembre

Enunciado

La respuesta es $~5$ elementos.

Es fácil ver que el sub-conjunto $\{1,2,3,5,8\}~$ satisface la condición deseada.
Mostremos ahora que $S$ no puede contener más de $5$ elementos. Supongamos, para obtener una contradicción, que $S$ contiene al menos $6$ elementos. Entonces, la más pequeña suma posible de una pareja de números es $~3$ y la mayor suma posible es $8+9=17$, por lo que hay $15$ sumas posibles.
En cambio, con $~6$ números se tiene $\binom{6}{2}=\frac{6\times 5}{2}=15$ parejas de números posibles. Por lo tanto, cada número del $3$ al $17$ debe ser la suma de exactamente una pareja de números. Esto implica que el $1$, el $2$, el $8$ y el $9$ están en $S$. Ahora bien, se tiene $1+9=2+8$, lo que es una contradicción.

En consecuencia, el número máximo de elementos en $S$ es 5.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Étienne Ghys - Ilustraciones : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Jimena Royo-Letelier — «Octubre 2014, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - ’’Un politopo de Schläfli’’, por Jos Leys.

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?