Un desafío por semana

Octubre 2014, quinto desafío

Le 31 octobre 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 31 octobre 2014
Article original : Octobre 2014, 5ème défi Voir les commentaires
Lire l'article en  

Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 44 :

El número $3^2$ satisface la siguiente condición : agregándole $2$ y sustrayéndole $2$ se obtiene los números primos $~3^2+2=11$, $~3^2-2=7$. Encontrar el más pequeño número $~n\neq 3~$ tal que $~n^2+2~$ y $~n^2-2~$ sean números primos.

Solución del cuarto desafío de octubre

Enunciado

La respuesta es $~(-202,400)~$ y $~(198,0)$.

Llamemos $~x_1~$ y $~x_2~$ las raíces de la ecuación $~x^2+px+q=0$. Se obtiene

$(x-x_1)(x-x_2) = x^2+px+q,$

$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2 = x^2+px+q,$

es decir, $~x_1+x_2=-p~$ y $~x_1x_2=q$. Como

$~198 = p+q=-(x_1+x_2) + x_1x_2 = (x_1-1) (x_2-1) -1,$

resulta $~(x_1-1) (x_2-1)=199$. Como $~x_1$, $~x_2$, $~x_1-1$, $~x_2-1~$ son números naturales y $~199~$ es primo, se tiene $~x_1-1=\pm 1~$ y $~x_2-1=\pm 199$, o bien $~x_1-1=\pm 199~$ y $~x_2-1=\pm 1$. Las soluciones $~(x_1,x_2)~$ de los sistemas de ecuaciones anteriores son : $(2,200)$, $(0,-198)$, $(-198,0)$ y $(200,2)$. De la primera y la cuarta solución se obtiene que $~p= -2-200= -202$, $~q=2 \cdot 200= 400$, y de la segunda y la tercera solución se obtiene $~p=198$, $~q=0$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Étienne Ghys - Ilustraciones : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

Partager cet article

Pour citer cet article :

— «Octubre 2014, quinto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - ’’Un politopo de Schläfli’’, por Jos Leys.

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?