Un desafío por semana

Octubre 2014, tercer desafío

Le 17 octobre 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 22 octobre 2014
Article original : Octobre 2014, 3ème défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 42 :

Encontrar seis números naturales positivos consecutivos no divisibles por $7$ cuya suma sea un cuadrado perfecto de cuatro cifras.

Solución del segundo desafío de octubre

Enunciado

La respuesta es $~8$ cm.

Sean $a~$ y $~b$ las longitudes de los catetos del triángulo en centímetros. Aplicando el teorema de Pitágoras se sabe que su hipotenusa mide $\sqrt{a^2+b^2}$. En consecuencia, la suma de los cuadrados de los tres lados es igual a $~2a^2+2b^2=578$, y $~a^2+b^2=289=17^2$. La hipotenusa del triángulo mide por lo tanto $17\,cm$. Como el perímetro mide $40\,cm$, se obtiene que $~a+b+17=40$, es decir, $~a+b=23$. Entonces, $~2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=23^2-289=240$, de donde $~ab=120$. De esto se deduce que

$a(23-a) = 120,$

$a^2-23a+120 = 0,$

$(a-8)(a-15) = 0$.

En consecuencia, los catetos del triángulo miden $~8\,cm$ y $~15\, cm$, y el lado más pequeño del triángulo mide $~8 \, cm$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Étienne Ghys - Ilustraciones : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Octubre 2014, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - ’’Un politopo de Schläfli’’, por Jos Leys.

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