Un desafío por semana

Octubre 2015, quinto desafío

Le 30 octobre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 30 octobre 2015
Article original : Octobre 2015, 5e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 44 :

En el cuadrilátero $ABCD$ se tiene $AC = BC + CD$. El ángulo $\widehat{BCD}$ mide $120^{\circ}$ y su bisectriz es $AC$.

Determinar la longitud de $BD$.

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Solución del cuarto desafío de octubre :

Enunciado

La respuesta es $(1,1,60)$, $(1,60,1)$, $(60,1,1)$.

Sumemos $1$ en ambos lados de la ecuación para obtener

$ xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1 = 244$

$(x+1)(y+1)(z+1) = 244.$

Como la descomposición en factores primos de $244$ es $244 = 2^2\times 61$, deducimos que $(x+1, y+1, z+1)$ es uno de los tríos $(2, 2, 61)$, $(2, 61, 2)$ o $(61, 2, 2)$. Por lo tanto, los tríos buscados son $(1, 1, 60)$, $(1, 60, 1)$ y $(60, 1, 1)$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Octubre 2015, quinto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - LOSTMOUNTAINSTUDIO / SHUTTERSTOCK

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