Enunciado

La respuesta es : $659$, $660$, $661$, $662$, $663$ y $664$.

Como ninguno de los enteros consecutivos es divisible por $7$, estos son de la forma $7n+1$, $7n+2$, $\dots$, $7n+6$, con $n$ un entero positivo cualquiera. Su suma es
$S=42n+21=21(2n+1)$.

Para que $S$ sea el cuadrado de un número entero, debemos tener $2n+1=21k^2$ donde $k$ es un número impar.

Para que $S$ sea un número de cuatro dígitos, debemos tener las siguientes desigualdades : $1000\leq 21^2k^2\leq 9999$, de donde $2 < k^2 < 23$.

Esto solo es posible si $k^2=9$. Luego $2n+1=21k^2=189$ y $n=94$. Por lo tanto, los números buscados son : $659$, $660$, $661$, $662$, $663$ y $664$.