Un desafío por semana

Octubre 2018, tercer desafío

Le 19 octobre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 19 octobre 2018
Article original : Octobre 2018, 3e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes, y su solución a la semana siguiente. No habrá edición del calendario 2018 en papel, ¡tendremos que esperar para la edición 2019 !

Semana 42 :

Encontrar seis números enteros positivos consecutivos que no sean divisibles por $7$, cuya suma sea un número de cuatro dígitos y el cuadrado de un número entero.

Solución del segundo desafío de octubre :

Enunciado

La respuesta es : $n=8$.

Sabemos que $x^2-1=(x-1)(x+1)$ para todo número $x$. Aplicamos esta factorización para obtener

\[(2^2-1)(3^2-1)(4^2-1)\cdots (n^2-1)=(1\cdot 3)(2\cdot 4)(3\cdot 5)\cdots [(n-1)(n+1)].\]

Para que el producto sea un cuadrado, cada número primo debe aparecer un número par de veces. Contando el número de veces que aparece cada primo en la factorización, es fácil ver que el primer cuadrado obtenido es
\[(1\cdot 3)(2\cdot 4)(3\cdot 5)(4\cdot 6)(5\cdot 7)(6\cdot 8)(7\cdot 9)=(2^5\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7)^2,\]
el cual corresponde a $n=8$.

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Pour citer cet article :

— «Octubre 2018, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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