Enunciado

La respuesta es : $n=8$.

Sabemos que $x^2-1=(x-1)(x+1)$ para todo número $x$. Aplicamos esta factorización para obtener

\[(2^2-1)(3^2-1)(4^2-1)\cdots (n^2-1)=(1\cdot 3)(2\cdot 4)(3\cdot 5)\cdots [(n-1)(n+1)].\]

Para que el producto sea un cuadrado, cada número primo debe aparecer un número par de veces. Contando el número de veces que aparece cada primo en la factorización, es fácil ver que el primer cuadrado obtenido es
\[(1\cdot 3)(2\cdot 4)(3\cdot 5)(4\cdot 6)(5\cdot 7)(6\cdot 8)(7\cdot 9)=(2^5\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7)^2,\]
el cual corresponde a $n=8$.