Un desafío por semana

Octubre 2020, primer desafío

Le 2 octobre 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 2 octobre 2020
Article original : Octobre 2020, 1er défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México) !

Semana 40

Consideremos la sucesión definida por $t_1 = 1$, $t_2 =1$ y
\[ t_n =\Bigl( \dfrac{n-3}{n-1}\Bigr) t_{n-2}, \]
cuando $n\geq 3$.

¿Cuál es el valor del término $t_{2020}$ ?

Solución del cuarto desafío de septiembre :

Enunciado

Cuadriculemos el cuadrado de $23~\mathrm{cm}$ por lado con líneas y columnas de $1~\mathrm{cm}$ de lado, y coloreemos la líneas de esta cuadrícula alternando dos colores. Por ejemplo, la primera línea de rojo y la segunda de azul, la tercera de rojo y así sucesivamente hasta la línea número $23$, que será roja. De este modo, la diferencia entre el número de cuadrados rojos y el de cuadrados azules es $23$, que es precisamente el número de cuadros de $1\times 1~\mbox{cm}^2$ de una linea completa de la cuadrícula.

Observemos enseguida que si solo ponemos cuadrados de $2\times 2~\mbox{cm}^2$ y $3\times 3~\mbox{cm}^2$, los cuadrados de $2\times 2~\mbox{cm}^2$ cubren la misma cantidad de cuadrados de de cada color, mientras que aquellos de $3\times 3~\mbox{cm}^2$ cubren tres cuadrados de más de uno de los dos colores, esto es, la diferencia debe ser un múltiplo de $3$. Ya que $23$ no es un múltiplo de $3$, no podemos cubrir el cuadrado grande únicamente con cuadrados de $2\times 2~\mbox{cm}^2$ y de $3\times 3~\mbox{cm}^2$. Necesitaremos entonces de al menos un cuadrado de $1\times 1~\mbox{cm}^2$.

Si nos ponemos al centro de un cuadrado de $1\times 1~\mbox{cm}^2$, entonces la superficie restante se puede dividir en cuatro rectángulos iguales de $11\times 12~\mbox{cm}^2$, tal como se indica en la figura de la izquierda. Cada rectángulo se puede cubrir con $6$ cuadrados de $2\times 2~\mbox{cm}^2$ y con $12$ cuadrados de $3\times 3~\mbox{cm}^2$.

La respuesta es : un cuadrado.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Octubre 2020, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - CÉSAR, RENAULT VL 06, 1986 © RMN-GRAND PALAIS / BENJAMIN SOLIGNY / RAPHAËL CHIPAULT / VILLE DE MARSEILLE / SBJ / ADAGP, PARIS, 2019

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