Ondes en milieu aléatoire

Le 15 octobre 2006  - Ecrit par  Josselin Garnier Voir les commentaires

Un milieu naturel tel que la croûte terrestre a souvent des propriétés physiques possédant
des variations spatiales compliquées ou partiellement connues. Il peut alors être modélisé comme une réalisation d’un milieu aléatoire.
Lorsqu’une onde se propage dans un tel milieu, on ne peut souvent donner qu’une description statistique de l’onde. Mais parfois, on peut trouver un résultat
de nature déterministe : la quantité observée au cours d’une expérience ne dépend que de la statistique du milieu, et pas de la réalisation particulière.
Une telle quantité est dite auto-moyennisée, et sa stabilité statistique la rend très attractive pour des applications en imagerie notamment.
Un tel phénomène est possible lorsque plusieurs échelles distinctes et bien séparées sont présentes : longueur d’onde, taille des inhomogénéités,
distance de propagation.

La propagation d’une onde dans un milieu inhomogène
est un problème complexe, dont l’étude passe par une
modélisation stochastique du milieu et la détermination des échelles
caractéristiques du problème.

Milieu aléatoire.
On modélise un milieu inhomogène comme une réalisation
d’un milieu aléatoire. Cela veut dire que l’évolution des paramètres physiques
du milieu en fonction de l’espace sont décrits par
des processus aléatoires.
La propagation d’une onde dans un tel milieu est modélisée
par une équation aux dérivées partielles à coefficients aléatoires.
Cette approche stochastique peut être justifiée
a priori par les arguments suivants :

1)
En certaines circonstances, comme par exemple en géophysique,
on ne dispose que de données partielles sur le milieu (la
croûte terrestre) dans lequel les ondes se propagent.
Dans ce cas, l’approche stochastique
vise à modéliser le manque d’information.
La modélisation stochastique prend en compte
les données disponibles (moyennes, spectres, ...)
et complète ces données en utilisant une description statistique.

2)
En d’autres circonstances, on pourrait
disposer d’une description complète du milieu
mais celle-ci serait si compliquée et ferait intervenir
tellement d’échelles différentes
qu’il serait impossible de résoudre le problème
complet, de manière analytique ou numérique.
La modélisation d’un tel milieu comme une réalisation
d’un milieu aléatoire peut simplifier énormément l’analyse
par l’application de théorèmes limites
pour des équations à coefficients aléatoires.

Enfin, l’approche stochastique peut se justifier a posteriori
par la pertinence des résultats qu’elle permet d’obtenir.
En particulier, on verra qu’on peut exhiber des quantités
auto-moyennisées, dont le comportement est statistiquement
stable dans le sens où il dépend
seulement de la statistique du milieu, et pas
de la réalisation particulière du milieu.

Echelles.
Un point essentiel de l’étude consiste à appréhender les
différentes échelles caractéristiques du problème,
c’est-à-dire les distances typiques
sur lesquelles varient les coefficients qui interviennent.
Quand on pousse à la limite les rapports entre ces
échelles, on peut obtenir un régime asymptotique remarquable.
Ainsi le travail se décompose en trois tâches intimement liées.
Tout d’abord vient la phase de modélisation, puis des théorèmes
limites entrent en jeu.
Enfin on tente d’identifier la limite de la manière la plus simple possible,
souvent à travers des lois de processus de diffusion.

Propagation d’ondes dans un milieu inhomogène

On peut distinguer trois échelles de longueur dans un problème
de propagation d’ondes en milieu aléatoire :
la longueur d’onde $\lambda$ (i.e. la largeur du support initial
de l’onde),
la distance de propagation $L$, et la taille des
inhomogénéités
$l_c$.
L’échelle $L$ peut aussi être l’échelle
des variations macroscopiques du milieu
(les couches géologiques en géophysique).
L’identification de $l_c$ n’est pas toujours facile,
mais dans la modélisation stochastique on peut définir $l_c$
précisément comme une longueur de corrélation.
Je vais me concentrer ici sur le régime le plus
couramment rencontré en géophysique.
Si on prend les chiffres donnés dans [A1],
la longueur d’onde $\lambda \sim 100$ m est petite
comparée à la taille des
couches géologiques $L\sim 1$-$50$ km,
mais grande comparée à la longueur de corrélation du milieu
$l_c \sim 2$ m.
On se trouve donc dans le régime où
$l_c \ll \lambda \ll L$.
C’est un régime particulièrement intéressant
d’un point de vue mathématique
car c’est une limite haute fréquence par rapport
à la distance de propagation, mais c’est une limite basse
fréquence par rapport aux fluctuations du milieu.

Pour fixer les choses, nous allons étudier
ici l’équation qui régit la propagation
des ondes acoustiques en milieu uni-dimensionnel :
\[ {\partial_t^2 p(t,z)} - \partial_z \left[ K(z) \rho^{-1}(z) \partial_z u(t,z)\right] = 0 \, . \]
Une onde acoustique est caractérisée
par un champ de pression $p$.
Le milieu est caractérisé par deux paramètres :
la densité $\rho$ et le module d’incompressibilité $K$.
Dans le cas d’un milieu homogène, les paramètres du milieu
$\rho$ et $K$ sont constants.
On est alors ramené à l’équation
$\partial_t^2 {p} - {c}^2 \partial_z^2 {p} =0$,
qui est l’équation d’ondes standard
avec la vitesse de propagation (ou vitesse du son)
${c} = \sqrt{{K}/{\rho}}$.
La solution générale, connue sous le nom de solution de
d’Alembert, est de la forme $p(t,z) = a(z-ct)+b(z+ct)$.
Cela veut dire qu’une condition initiale arbitraire donne
naissance à deux ondes, une qui se propage vers la droite ($a$), et une
qui se propage vers la gauche ($b$) avec la vitesse $c$.
En choisissant bien les conditions initiales, on peut générer
une onde pure qui se propage vers la droite, sans déformation
et à vitesse constante.

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Figure 1. Propagation d’une impulsion de forme initiale
gaussienne (en bleu en bas) dans une couche de milieu aléatoire
qui occupe l’intervalle $[0,L]$, $L=600$.
Le profil de densité est dessiné en bas,
il résulte d’une alternance de couches d’épaisseurs variables et de densité $1 \pm \Delta \rho$ .
Les profils spatiaux du champ de pression sont dessinés pour une suite d’instants multiples
de $40$
(la vitesse moyenne est $1$).

Dans un milieu inhomogène, les deux paramètres
du milieu $\rho$ et $K$
sont fonctions de la coordonnée spatiale $z$.
Ceci change énormément la propagation d’une onde.
La figure 1 est le résultat
d’une simulation numérique de propagation d’une onde
dans une couche de milieu aléatoire.
A chaque instant, le tracé du signal montre
qu’on peut distinguer deux parties :

1) un front cohérent, d’amplitude importante
et de support étroit, qui garde plus ou moins la forme
de l’onde originale,

2) des ondes incohérentes (appelées coda en géophysique),
de faible amplitude mais dont le support
s’accroît au cours du temps, qui sont le résultat
de l’interaction de l’onde avec les inhomogénéités du milieu.

Au tout début de la propagation, le front est nettement dominant et il
se propage sans changement notable,
en émettant un petit train d’ondes qu’on peut pour un temps
négliger.
En fait, le front se propage comme s’il était dans un milieu
homogène. Le calcul des paramètres homogénéisés
de ce milieu fictif, et en particulier de la vitesse du son
homogénéisée,
est discutée section 2

Au fur et à mesure de sa propagation,
le front s’atténue et s’étale.
On verra dans la section 3 que cette déformation
est parfaitement prévisible et
calculable dans le sens où elle ne dépend pas de la réalisation
du milieu, mais seulement de ses propriétés moyennes statistiques.
C’est le premier phénomène statistiquement stable que nous
rencontrerons.

Par conservation de l’énergie totale de l’onde,
l’atténuation du front est concominante
avec une augmentation de l’énergie des
petites ondes incohérentes.
On donnera la description statistique des
ondes incohérentes en section 4

Enfin, on expliquera un autre phénomène statistiquement
stable dans la section 5 :
la refocalisation de l’onde retournée temporellement.
En effet, même si les petites ondes incohérentes
semblent avoir perdu toute trace de cohérence et ne pas
pouvoir apporter d’information utile, ni sur la source originale,
ni sur des grandeurs physiques du milieu,
on peut régénérer à partir d’elles
une onde cohérente de laquelle on peut tirer
beaucoup d’information.

Vitesse effective de propagation

Lorsque les inhomogénéités sont de petite taille,
i.e. $l_c \ll \lambda$,
et la distance de propagation pas trop grande,
i.e. $L \sim \lambda$,
le front d’onde est nettement dominant
et se propage comme s’il se propageait dans un milieu homogène,
caractérisé par des coefficients homogénéisés.
En particulier le front se déplace à une vitesse constante,
dont la valeur peut être obtenue par
un théorème d’homogénéisation.
Comme dans l’appendice
où on étude le mouvement d’une particule,
on trouve que l’onde se propage à une vitesse
qui s’obtient par une procédure de moyennisation
des paramètres du milieu aléatoire.
Toute la difficulté réside dans le calcul de ces coefficients
homogénéisés, et l’analyse montre que les bons coefficients
sont $\bar{\rho}=\mathbb{E}[\rho]$ et
$\bar{K}= \left( \mathbb{E}[ K^{-1} ] \right)^{-1}$.
Ainsi, la vitesse effective du front est $\bar{c}=\sqrt{\bar{K}/\bar{\rho}}$.

Exemple : des bulles d’air dans de l’eau.
L’air et l’eau sont caractérisés par les paramètres suivants :

$\rho_a=1.2 \ 10^3$ g/m${}^3$,
$K_a=1.4 \ 10^8$ g/s${}^2$/m,
$c_a=340$ m/s.

$\rho_e=1.0 \ 10^6$ g/m${}^3$,
$K_e=2.0 \ 10^{18}$ g/s${}^2$/m,
$c_e=1425$ m/s.

Considèrons un son audible,
de longueur d’onde typique d’ordre $10$ cm-$100$ m.
Les bulles d’air étant beaucoup plus petites,
le résultat d’homogénéisation peut être appliqué.
Si la proportion volumique d’air dans l’eau est $\phi$,
alors les coefficients homogénéisés sont

\[\bar{\rho} = \mathbb{E}[\rho] = \phi \rho_a + (1-\phi) \rho_e = \left\{ \begin{array}{ll} 9.9 \ 10^5 g/m^3 & \mbox{ si } \phi=1 \% \\ 9 \ 10^5 g/m^3 & \mbox{ si } \phi=10 \% \end{array}\right.\]

\[\bar{K} = \left( \mathbb{E}[K^{-1}] \right)^{-1} = \left( \frac{\phi}{K_a} + \frac{1-\phi}{K_e} \right)^{-1} = \left\{ \begin{array}{ll} 1.4 \ 10^{10} g/s^2/m & \mbox{ si } \phi=1 \% \\ 1.4 \ 10^{9} g/s^2/m & \mbox{ si } \phi=10 \% \end{array}\right.\]

En conséquence
$\bar{c} = 120 m/s$ si $\phi=1\%$
et $\bar{c}=37 m/s$ si $\phi=10\%$.

Cet exemple montre que la vitesse homogénéis\’mathbbE
peut être beaucoup plus petite que le minimum
des vitesses des composants du milieu inhomogène.
L’inverse (dans le cas des ondes acoustiques)
n’est pas possible, dans le sens où
la vitesse homogénéis\’mathbbE ne peut pas être plus grande
que le maximum (ou le sup essentiel)
des vitesses des composants.
En effet
$\mathbb{E}[ c^{-1} ] = \mathbb{E} \left[ K^{-1/2} \rho^{1/2} \right] \leq \mathbb{E} [ K^{-1} ]^{1/2} \mathbb{E}[\rho]^{1/2} = \bar{c}^{-1}$ et donc $\bar{c} \leq \mathbb{E}[c^{-1}]^{-1} \leq {\rm ess \ sup} (c)$.

Note. La théorie de l’homogénéisation dépasse largement le cadre discuté ici.
Elle s’applique pour calculer les propriétés effectives des matériaux composites
en mécanique, en élasticité, en électromagnétisme, etc.
On en trouve des versions
valables pour des milieux aléatoires, périodiques ou quasi-périodiques [M4].

Propagation du front cohérent

Le résultat d’homogénéisation prédit
que le front cohérent se propage
à la vitesse constante $\bar{c}$ et sans déformation.
Ce résultat néglige les petites ondes incohérentes
qui sont générées au fur et à mesure de la propagation,
ce qui est valable tant que la distance de propagation
reste de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde typique $L \sim \lambda$.
Pour des distances de propagation plus grandes, $L \gg \lambda$,
l’émission de ces ondes incohérentes
ne peut plus être négligée dans l’analyse de la dynamique du front.
On change alors de régime, et on utilise
des résultats d’approximation-diffusion.
Après une distance de propagation $L$ telle que
$l_c \ll \lambda \ll L$ et $L l_c \sim \lambda^2$,
le profil temporel du front est de la forme

\[\begin{equation}K_L * f(t - T_L )\label{equation_1}\end{equation}\]

  • $T_L$ est un retard temporel aléatoire qui suit une
    loi gaussienne de moyenne $L/\bar{c}$ et de variance $\mathbb{E}[ T_L^2] = \alpha_1 L$ où $\alpha_1$ est proportionnel
    à la longueur de corrélation $l_c$ du milieu et ne dépend que de la fonction de
    covariance du milieu (statistique à deux points).
    On peut voir sur la figure 3 a qu’effectivement,
    deux réalisations différentes du milieu donnent lieu
    à deux fronts qui sont décalés temporellement.
  • $K_L$ est un noyau de convolution gaussien déterministe :

\[\begin{equation}K_L(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi D_L^2}} \exp \left( - \frac{t^2}{2D_L^2}\right)\label{equation_2}\end{equation}\]
où $D_L = \alpha_2 L$ et $\alpha_2$ est proportionnel
à la longueur de corrélation $l_c$ du milieu.
Ainsi la forme du front cohérent
ne dépend pas de la réalisation du milieu,
mais seulement de sa statistique.
On peut vérifier sur la figure 2a qu’effectivement,
la forme du front est parfaitement prédite par la formule
$\ref{equation_1}$.

Note.
La remarquable stabilité du front cohérent
a été mise en évidence
par des géophysiciens, O’Doherty et Anstey, dans les années 1970.
Il a fallu attendre le milieu des années 1990 pour en avoir
une démonstration mathématique [F3].

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a)
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b)

Figure 2. Répétition de la simulation de propagation
de la figure 1 avec deux réalisations différentes du milieu.
Sur la figure a, on dessine les signaux temporels obtenus à la sortie de la couche en $z=L(=600)$. Sur la figure b, après translation temporelle des signaux, on compare les fronts cohérents obtenus avec la formule
théorique

Statistique des ondes incohérentes

L’énergie perdue par le front cohérent se retrouve dans les ondes incohérentes.
Cette partie de l’onde souvent négligée est importante en pratique,
car on n’a pas toujours accès au front d’onde :
ou bien la distance de propagation est si grande que le front
s’est complètement évanoui,
ou bien, comme c’est souvent le cas en géophysique,
on a seulement accès à l’onde réfléchie.
Cette onde est uniquement constituée de fluctuations incohérentes,
comme on peut le voir sur la figure 1
Apparemment, les informations macroscopiques sur le milieu ou sur
la source originale semblent perdues.
Les résultats théoriques montrent que ce n’est
pas tout-à-fait le cas :
on peut trouver dans les propriétés locales du signal réfléchi
de l’information.
Plus précisément, localement autour d’un instant $t_0$
d’ordre $L / \bar{c}$,
et dans l’échelle de temps
de la source originale $t$ d’ordre $\lambda / \bar{c}$,
le signal réfléchi est un processus
gaussien stationnaire de moyenne nulle et
de fonction d’autocorrélation $c_{t_0} (t) = \mathbb{E} [ p(t_0+ t) p(t_0) ]$ donnée par

\[\begin{equation}c_{t_0} (t) = \frac{1}{2\pi } \int |\hat{f}(\omega)|^2 \Lambda(t_0,\omega) e^{- i \omega t} d \omega\label{equation_3}\end{equation}\]
Ici la densité de puissance spectrale $\Lambda$
est donnée à travers un système
d’équations de transport hyperbolique déterministe qui ne dépend
que des propriétés macroscopiques et statistiques du milieu [A1].
Ce résultat est obtenu par l’application de plusieurs techniques :
immersion invariante, analyse de Fourier,
analyse stochastique, approximation-diffusion.

Le résultat précédent a des conséquences importantes en imagerie,
lorsqu’on cherche à identifier les variations macroscopiques
du milieu à partir de l’étude des signaux réfléchis.
D’une part,
la qualité gaussienne des ondes réfléchies
montre que toute l’information sur le milieu est contenue dans la fonction
d’autocorrélation, ou de manière équivalente dans la densité
$\Lambda$.
D’autre part, le système d’équations de transport
permet, à partir de la connaissance de $\Lambda$,
de reconstruire les propriétés macroscopiques
du milieu.
Le problème majeur est en fait l’estimation de la fonction
d’autocorrélation, qui s’exprime sous la forme
d’une moyenne statistique, c’est-à-dire une moyenne sur le milieu.
Or on ne dispose bien souvent que d’une seule réalisation
du milieu, et les meilleurs estimateurs statistiques
des covariances locales (par transformé de Fourier à fenêtre
ou par transformée en ondelettes) se révèlent peu performants.
On va voir dans la prochaine section
qu’un remarquable estimateur peut être obtenu
par retournement temporel des ondes.

Note.
Les ondes incohérentes réfléchies
sont l’objet de recherches intenses motivées
par des problèmes de recherche pétrolière. En théorie, en envoyant
un son dans la terre,
et en écoutant le signal réfléchi, on doit pouvoir déterminer
la structure du sous-sol. Il y a encore beaucoup de progrès à faire dans ce domaine,
qui touche l’analyse théorique et numérique, les probabilités et le traitement du signal [A1].

Retournement temporel des ondes

D’un point de vue expérimental,
un miroir à retournement temporel (MRT) est un
réseau de transducteurs reliés chacun à une mémoire.
Chaque transducteur a deux modes de fonctionnement.
Il peut être utilisé comme un microphone,
le signal acoustique reçu étant alors stocké dans
la mémoire associée. Il peut aussi
être utilisé comme un émetteur.
Supposons qu’on
utilise un tel appareil pour enregistrer le signal réfléchi
obtenu lors de la simulation de la figure figure 1
Ce signal est retourné temporellement dans les mémoires,

et le MRT renvoie dans le milieu le signal retourné
figure 3.
On observe alors un phénomène remarquable.
On voit ressortir une onde cohérente
dont la forme est parfaitement calculable :

\[\begin{equation}K_{\rm RT}* f( -t)\label{equation_4}\end{equation}\]

où la transformée de Fourier du noyau de refocalisation déterministe est

\[\begin{equation}\hat{K}_{\rm RT}(\omega) = \int\!\!\int \Lambda(\tau,\omega) G(\tau) e^{-i \omega \tau} d \omega d\tau\label{equation_5}\end{equation}\]

Ici $G$ est la fonction de troncation qui délimite
la fenêtre temporelle d’enregistrement (sur
l’expérience des figures 1 et 3, on a simplement
la fonction indicatrice
$G(t) = {\bf 1}_{[0,640]}(t)$).
Le point important est que cette refocalisation est statistiquement stable :
la forme de l’impulsion refocalisée ne dépend que des propriétés statistiques
du milieu (du noyau $\Lambda$), et pas de la réalisation particulière.
On peut voir figure 4 qu’effectivement, une répétition de l’expérience avec une nouvelle réalisation du milieu
conduit exactement au même résultat. Cette stabilité statistique est très importante pour des problèmes d’imagerie :
en comparant l’impulsion refocalisée à la source originale, pour différentes fonctions de troncation $G$,
on dispose d’un estimateur stable du noyau $\Lambda$ qui permet de reconstruire les propriétés
macroscopiques du milieu.

Note. Le retournement temporel a d’abord été étudié expérimentalement par M. Fink et son groupe à l’ESPCI
à Paris[F2] [T5]. Des études mathématiques [F3] sont maintenant menées pour comprendre
quantitativement ce phénomène, et en particulier ce fait surprenant : plus le milieu est aléatoire, mieux l’onde refocalise !

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Figure 3. Retournement temporel de l’onde réfléchie (amplifiée par
un facteur $1.5$) enregistrée pendant la simulation de l’expérience de
la figure 1

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a)
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b)

Figure 4. Répétition de la simulation de retournement
temporel avec deux milieux différents.
On compare les signaux refocalisés obtenus avec
le signal original (a) et avec le signal refocalisé prédit par la formule $\ref{equation_4}$

Applications du retournement temporel

Imagerie par ultrasons.
Certaines applications des ultrasons nécessitent la focalisation
précise d’une onde en un point du
volume à contrôler.
En imagerie échographique ou en contrôle non-destructif,
on mesure ainsi la réflectivité locale du milieu.
De même en thérapie médicale l’énergie de l’onde ultrasonore
est focalisée sur la zone à traiter, soit pour engendrer une élévation locale
de la température pour l’hyperthermie, soit pour briser des calculs rénaux pour la lithotritie.
Lorsque le milieu de propagation est inhomogène la focalisation de l’onde ultrasonore
par les méthodes classiques est dégradée. Les MRT permettent de compenser
les distorsions du signal induites par les hétérogénéités réparties sur le trajet de
l’onde ultrasonore.

Télécommunication.
En matière de télécommunications, la présence d’inhomogénéités
dans le milieu ou de réverbérations sur des obstacles
a longtemps été ressenti comme un facteur limitant. La présence de diffusion multiple des ondes
se traduit pour les communications sans fil par une utilisation
sous-optimale de la bande spectrale disponible et une capacité de
communication réduite par rapport à la capacité théorique de Shannon.
Les MRT devraient permettre d’exploiter au maximum les capacités de transmission d’un milieu.

Appendice : Homogénéisation et approximation-diffusion

On va illustrer sur un exemple particulièrement simple
les deux régimes qui conduisent à des
théorèmes limites remarquables.
On regarde la position d’une particule sur $\mathbb{R}$ soumise
à un champ de vitesse aléatoire $ \varepsilon F(t)$
où $\varepsilon$ est un petit paramètre,
$F$ est constant par morceaux
\[ F(t) = \sum_{i=1}^\infty F_i {\bf 1}_{[i-1,i[}(t), \]
et les $F_i$ sont des variables aléatoires
indépendantes et identiquement distribuées de moyenne
$\mathbb{E}[ F_i ] = \bar{F}$ et de variance $\mathbb{E} [ (F_i - \bar{F})^2 ] = \sigma^2$.
La position de la particle partant de $0$ à l’instant $t=0$ est :
\[ X(t) =\varepsilon \int_0^t F(s) ds . \]

Clairement $X(t)\to0$ quand $\varepsilon\to0$.
Le problème est de trouver la bonne asymptotique,
c’est-à-dire l’échelle de temps à laquelle
un mouvement macrosocopique de la particule est détectable.

Régime d’homogénéisation.
Pour des temps grands, à l’échelle $t \rightarrow t / \varepsilon$,
$X^\varepsilon(t) :=X ( {t}/{\varepsilon} )$ s’écrit :
\[ X^\varepsilon( t) = \varepsilon \int_0^{\frac{t}{\varepsilon}} F(s) ds = \varepsilon \left( \sum_{i=1}^{ \left[ \frac{t}{\varepsilon} \right] } F_i \right) + \varepsilon \int_{\left[ \frac{t}{\varepsilon} \right] }^\frac{t}{\varepsilon} F(s) ds \]

Lorsque $\varepsilon \rightarrow 0$, on trouve en appliquant la loi des grands nombres
que
\[\begin{array}{cccccc} X^\varepsilon(t) = & \displaystyle \varepsilon \left[ \frac{t}{\varepsilon} \right] & \times & \displaystyle \frac{1}{\left[ t / \varepsilon \right]} \left( \sum_{i=1}^{ \left[ t/\varepsilon \right] } F_i \right) & + & \displaystyle \varepsilon \left( \frac{t}{\varepsilon} - \left[ \frac{t}{\varepsilon} \right] \right) F_{\left[ t/\varepsilon \right]} \\ & \downarrow && \mbox{p.s.} \downarrow && \mbox{p.s.} \downarrow \\ & t && \mathbb{E}[F] = \bar{F} && 0 \end{array}\]
La convergence a lieu presque sûrement (p.s.),
c’est-à-dire avec probabilité $1$.
Ainsi le mouvement de la particule est ballistique
dans le sens où sa vitesse est constante
$X^\varepsilon( t ) \longrightarrow \bar{F} t$.
Cependant, dans le cas $\bar{F} =0$, le champ de vitesse aléatoire
ne provoque aucun mouvement macroscopique de la particule,
ce qui veut dire qu’il faut changer de régime et attendre plus longtemps.

Régime d’approximation-diffusion. Supposons $\bar{F}=0$.
A des temps très grands, à l’échelle $t \rightarrow t / \varepsilon^2$,
$X^\varepsilon(t)=X ( {t}/{\varepsilon^2} )$ s’écrit :
\[X^\varepsilon( t) = \varepsilon \int_0^{\frac{t}{\varepsilon^2}} F(s) ds = \varepsilon \left( \sum_{i=1}^{ \left[ \frac{t}{\varepsilon^2} \right] } F_i \right) +\varepsilon \int_{\left[ \frac{t}{\varepsilon^2} \right] }^\frac{t}{\varepsilon^2} F(s) ds.\]
Lorsque $\varepsilon \rightarrow 0$, on trouve en appliquant le théorème
de la limite centrale que
\[\begin{array}{cccccc} X^\varepsilon(t) = & \displaystyle \varepsilon \sqrt{ \left[ \frac{t}{\varepsilon^2} \right]} & \times & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{ \left[ t/\varepsilon^2 \right]} } \left( \sum_{i=1}^{ \left[ t/\varepsilon^2 \right] } F_i \right) & + & \displaystyle \varepsilon \left( \frac{t}{\varepsilon^2} - \left[ \frac{t}{\varepsilon^2} \right] \right) F_{\left[ t/\varepsilon^2 \right]} \\ & \downarrow && \mbox{loi}\downarrow && \mbox{p.s.}\downarrow \\ & \sqrt{t} && {\cal N}(0 , \sigma^2) && 0 \end{array}\]
La distribution statistique de $X^\varepsilon( t ) $ converge
quand $\varepsilon \rightarrow 0$ vers la distribution gaussienne $ {\cal N}(0, \sigma^2 t)$ de moyenne nulle et de variance $\sigma^2 t$.
Le mouvement de la particule dans ce régime est diffusif,
sa distance typique par rapport à sa position d’origine
augmente en $\sqrt{t}$.

Références

[A1] M. Asch, W. Kohler, G. Papanicolaou, M. Postel et B. White,
Frequency content of randomly scattered signals,
SIAM Rev. 33 (1991), 519-625.

[F2] M. Fink, Time reversed acoustics, Scientific American 281:5 (1999), 91-97.

[F3] J.-P. Fouque, J. Garnier, K. Sølna, and G. Papanicolaou,
Wave propagation and time reversal in randomly layered media,
à paraître, Springer, 2006.

[M4] G. Milton, The Theory of Composites,
Cambridge University Press, Cambridge, 2001.

[T5] A. Tourin, M. Fink et A. Derode, Multiple scattering of sound,
Waves Random Media
10 (2000), R31-R60.

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Pour citer cet article :

Josselin Garnier — «Ondes en milieu aléatoire» — Images des Mathématiques, CNRS, 2006

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