Ornements et cristaux, pavages et groupes, II

Hors piste Le 9 mai 2009  - Ecrit par  Pierre de la Harpe Voir les commentaires (1)

Ce texte est la deuxième de trois parties qui
développent un exposé oral donné
à des étudiants de première année de l’ENS-Lyon,
au Château de Goutelas,
le 23 janvier 2009.

Plan de l’article

  • I. Première partie.
    • 1. Pavages polygonaux du plan et groupes de symétrie.
    • 2. Equidécompositions.
    • 3. Les trois pavages réguliers du plan.
    • 4. Polygones qui pavent le plan.
  • II. Deuxième partie.
    • 5. Groupes ornementaux et cristallographiques.
    • 6. Les sous-groupes finis de $O(2)$.
    • 7. Les groupes de frises.
    • 8. Réseaux en dimensions $2$ et $3$ et condition cristallographique.
    • 9. Exemples de groupes cristallographiques plans.
  • III. Troisième partie.
    • 10. Groupes de symétrie d’un réseau
      et divers types de classification.
    • 11. Pavages périodiques
      et deuxième partie du XVIIIème problème de Hilbert.
    • 12. Quelques indications historiques sur la dimension trois.
    • 13. Sur la spectrographie.

5. Groupes ornementaux et cristallographiques

Notons $Is(2)$
le groupe des isométries du plan euclidien.
Ses éléments ont été énumérés au chapitre 1 :
rotations, translations, symétries et symétries glissantes.

Un groupe ornemental est un sous-groupe
de $Is(2)$
qui est « discret » au sens où il ne contient
ni translation d’amplitude arbitrairement petite
ni rotation d’angle arbitrairement petit.
(La seconde condition résulte de la première
lorsque le groupe contient des translations.)
Les groupes ornementaux se répartissent en trois familles :

  • les groupes finis,
  • les groupes de frises,
    qui sont infinis et laissent invariante une droite du plan,
  • les groupes cristallographiques plans,
    aussi appelés groupes des paveurs,
    qui contiennent deux translations
    linéairement indépendantes.

Plaçons-nous un moment dans le cas plus général
d’une dimension $n \ge 1$
(les cas importants ci-dessous sont $n=2$ et $n=3$).
Notons $\mathbf E^n$ l’espace euclidien de dimension $n$
(ainsi $\mathbf E$ du chapitre 1 devient $\mathbf E^2$ ici),
et notons $Is(n)$ son groupe d’isométries.
Les translations de $\mathbf E^n$ constituent
un sous-groupe normal de $Is(n)$,
isomorphe au groupe additif de l’espace vectoriel $\mathbf R^n$,
et le quotient est isomorphe au
groupe orthogonal $O(n)$,
ou groupe des isométries d’une sphère ronde dans $\mathbf R^n$
(à distinguer du groupe orthogonal spécial $SO(n)$,
sous-groupe de $O(n)$ des isométries préservant l’orientation).
Il en résulte une suite exacte
\[\begin{equation} \require{AMSmath} 0 \quad \longrightarrow \quad \mathbf R^n \quad \longrightarrow \quad Is(n) \quad \stackrel{\pi}{\longrightarrow} \quad O(n) \quad\longrightarrow \quad 1 .\label{equation_1} \end{equation}\]

Cette suite est scindable ; plus précisément,
à tout choix d’une origine dans $\mathbf E^n$
correspond une décomposition de $Is(n)$ en produit semi-direct
de $\mathbf R^n$ par $O(n)$.

Soit $\Gamma$
un sous-groupe de $Is(n)$ ;
l’usage de la lettre grecque $\Gamma$ indique
que les groupes qui vont nous intéresser sont
des sous-groupes « discrets » de $Is(n)$.
A un tel sous-groupe $\Gamma$, on peut associer :

  • son groupe des translations $\Lambda_{\Gamma}$ ;
  • son groupe ponctuel $H_{\Gamma} \doteq\pi(\Gamma)$
    et son groupe ponctuel spécial
    $H_{\Gamma}^0 \doteq H_{\Gamma} \cap SO(n)$ ;
  • l’action naturelle
     [1]
    $(h,t) \longmapsto h(t)$ de $H_{\Gamma}$ sur $\Lambda_{\Gamma}$ ;

et encore quelque chose pour caractériser l’extension

\[\begin{equation} 0 \quad \longrightarrow \quad \mathbf \Lambda_{\Gamma} \quad \longrightarrow \quad \Gamma \quad \stackrel{\pi}{\longrightarrow} \quad H_{\Gamma} \quad \longrightarrow \quad 1 \ \ ; \label{equation_2} \end{equation}\]
ce peut être une classe dans
un groupe $H^2(H_\Gamma, \cdots)$,
qui est un groupe de cohomologie
(et un groupe fini lorsque $H_\Gamma$ est fini),
ou de manière plus élémentaire et comme dans [Schw-74]
(où on suppose a priori $n=2$ et $H_{\Gamma}$ fini),

  • les éléments de la forme
    $x + h(x) + h^2(x) + \cdots + h^{q-1}(x)$,
    avec $x \in \mathbf R^2$ et $h \in H_{\Gamma}$ d’ordre
    $q$,
    éléments qui sont
    les invariants cycliques de $\Gamma$.

Attention : la suite (2) n’est pas nécessairement scindée !
Par exemple, si $\Gamma$ est le sous-groupe cyclique de $Is(2)$
engendré par la symétrie glissante

$ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \longmapsto \left( \begin{matrix} x+1 \\ -* y \end{matrix} \right) $,

alors la suite $\ref{equation_2}$ est isomorphe à

\[ 0 \quad \longrightarrow \quad \mathbf Z \quad \stackrel{\times2}{\longrightarrow} \quad \mathbf Z \quad \stackrel{mod 2}{\longrightarrow} \quad \mathbf Z / 2\mathbf Z \quad \longrightarrow \quad 1 \ \, \]

évidemment non scindée
(puisque $\mathbf Z$ ne possède aucun élément d’ordre $2$).

Un groupe cristallographique au sens large
est un sous-groupe $\Gamma$ de $Is(n)$
dont le groupe des translations $\Lambda_{\Gamma}$
est un réseau, c’est-à-dire un sous-groupe de $\mathbf R^n$
engendré par une base de l’espace vectoriel $\mathbf R^n$ ;
un tel sous-groupe $\Gamma$
est aussi dit cocompact,
parce qu’il existe une partie compacte $K$ de $Is(n)$
telle que tout élément de $Is(n)$ soit de la forme
$\gamma k$, avec $\gamma \in \Gamma$ et $k \in K$.
Un groupe cristallographique au sens strict
est un tel sous-groupe dans le cas de dimension $3$,
c’est-à-dire un sous-groupe $\Gamma$ de $Is(3)$
dont le groupe $\Lambda_{\Gamma}$ est engendré
par trois translations linéairement indépendantes.

Pour les groupes cristallographiques au sens large,
il y a des théorèmes fondamentaux de Bieberbach
(voir par exemple [Miln-76], [BuKa-81] et [Buse-85]) :

  1. pour tout groupe discret cocompact $\Gamma$ de $Is(n)$,
    le groupe des translations $\Lambda_{\Gamma}$ est un réseau ;
  2. le sous-groupe $\Lambda_{\Gamma}$ de $\Gamma$
    est abélien maximal, d’indice fini, et le groupe ponctuel $H_{\Gamma}$
    correspondant de l’extension (2) est un sous-groupe de $GL_n(\mathbf Z)$ ;
  3. pour tout $n \ge 1$, il n’y a qu’un nombre fini de classes d’isomorphie
    de sous-groupes discrets cocompacts de $Is(n)$ ;
  4. deux sous-groupes discrets cocompacts de$Is(n)$
    sont isomorphes si et seulement
    s’ils sont conjugués dans $Aff(n)$.

Ici et plus bas,
$GL_n(\mathbf Z)$ désigne le groupe
des matrices à coefficients dans l’anneau $\mathbf Z$
des entiers rationnels et à déterminant $\pm 1$.
Et $Aff(n)$ désigne le groupe
de toutes les transformations affines inversibles de $\mathbf E^n$ ;
il contient évidemment $Is(n)$ comme sous-groupe.

Les articles originaux de Bieberbach ont paru en 1910-1912 ;
c’est le sujet de sa thèse, dirigée par Hilbert,
et la solution de la première partie du
XVIIIème problème de Hilbert [Miln-76] [2].
En 1938, Zassenhaus a montré que, réciproquement,
tout groupe $\Gamma$ extension comme dans (2),
avec de plus $\Lambda_{\Gamma}$ isomorphe à $\mathbf Z^n$
et $H_{\Gamma} \subset GL_n(\mathbf Z)$
agissant naturellement sur $\mathbf Z^n$,
est isomorphe à un sous-groupe de $Is(n)$
qui est discret et cocompact.

6. Les sous-groupes finis de $O(2)$

Soit $\Gamma$ un sous-groupe fini de $Is(2)$.
Il est évident que $\Gamma$ ne contient aucune translation,
ni aucune symétrie glissante,
ni aucune paire de rotations de centres distincts
(car leur commutateur serait alors une translation).
Ainsi, si $\Gamma$ contient des rotations,
elles sont toutes de même centre ;
si $\Gamma$ contient de plus des symétries,
leurs axes passent par ce centre.
On admet désormais que ce centre est l’origine du plan
et que $\Gamma$ est un sous-groupe de $O(2)$.

Il résulte de ce qui précède
que tout sous-groupe fini de $Is(2)$ est

  • ou bien engendré par une rotation d’ordre $n$ fini,
    c’est alors un groupe cyclique $C_n$ d’ordre $n$,
  • ou bien constitué de l’identité et d’une symétrie,
    c’est alors un groupe $D_1$ d’ordre deux
    (abstraitement isomorphe à $C_2$, mais non conjugué
    à $C_2$ dans $Is(2)$),
  • ou bien engendré par deux symétries
    relativement à des axes définissant un angle de $\pi/n$,
    c’est alors un groupe diédral $D_{n}$ d’ordre $2n$
    (avec $n \ge 2$).

En résumé :

Théorème 6.1

Tout sous-groupe fini de $O(2)$
est l’un des groupes $C_n$, $D_n$, avec $n \ge 1$.

Remarques.

  1. C’est un résultat que Hermann Weyl attribue à
    Léonard de Vinci (page 66 de [Weyl-52]).
  2. La conclusion du théorème vaut aussi pour
    les sous-groupes finis de $Is(2)$
    et de $Aff(2)$.
  3. Les sous-groupes finis de $O(2)$ qui sont
    de la forme $\pi(\Gamma)$, avec $\pi$ comme au chapitre 5
    et $\Gamma$ un groupe cristallographique plan, sont les groupes du
    théorème de L. de Vinci avec $n \in \{1,2,3,4,6\}$.
    Voir plus bas.
  4. Pour la classification analogue en dimension $3$
    de la classification du théorème 6.1 en dimension $2$,
    les (classes de conjugaison des) sous-groupes de $O(3)$
    satisfaisant à la restriction cristallographique
    constituent une liste de $32$
    sous-groupes finis de $O(3)$, dont $11$ dans $SO(3)$.
    C’est un résultat de Hessel
    (de 1830, mais passé inaperçu à l’époque).

Dans cette liste,
les $21 = 32 - 11$ sous-groupes finis de $O(3)$
qui ne sont pas dans $SO(3)$ sont de deux types.
Notons $Z$ la symétrie centrale $x \longmapsto -x$ de $\mathbf R^3$.
Les groupes du premier type sont de la forme
$\Gamma^+ \times \{1,Z\}$, avec $\Gamma^+ \subset SO(3)$.
Les groupes du second type sont de la forme
$\Gamma^+ \cup \{\gamma Z \ \vert \ \gamma \in \Gamma' , \gamma \notin \Gamma^+ \}$,
avec $\Gamma^+ \subset \Gamma' \subset SO(3)$,
et $\Gamma^+$ sous-groupe d’indice deux
dans le sous-groupe $\Gamma'$ de $SO(3)$.

Voir par exemple [Weyl-52], page 120,
ou le chapitre 15 de [Coxe-69],
ou les sections 1.8 et 1.9 de [Ster-94].

Exercice.
Pour $n \ge 1$ quelconque
et un sous-groupe fini $\Gamma$ de $Is(n)$,
vérifier que le barycentre
de l’orbite par $\Gamma$ d’un point quelconque de $\mathbf E^n$
est un point fixe par $\Gamma$.

7. Les groupes de frises

Un groupe de frise
est un sous-groupe $\Gamma$ de $Is(2)$ qui est infini,
qui laisse invariante une droite $a$ de $\mathbf E^2$,
et qui ne contient pas de translation
d’amplitude arbitrairement petite.
En voici sept exemples, les quatre premiers sans demi-tour,
et les trois derniers avec.

  • Le groupe $\mathcal F_1$ engendré par une translation.
    C’est le groupe des symétries d’une frise de la forme

\[\cdots \quad \text{F} \quad \text{F} \quad \text{F} \quad \text{F} \quad \text{F} \quad \text{F} \quad \text{F} \quad \text{F} \quad \text{F} \quad \text{F} \quad \text{F} \quad \text{F} \quad \text{F} \quad \text{F} \quad \cdots\]

(conviennent aussi : G, J, L, P, Q, R).

C’est un groupe isomorphe à $\mathbf Z$.
Il possède un domaine fondamental qui est
une bande perpendiculaire à la direction de la translation
et de largeur son amplitude,
et le quotient $\mathcal F_1 \setminus \mathbf E^2$ est un cylindre.
Nous notons $a$ l’axe de la translation.

  • Le groupe $\mathcal F_1^1$ engendré par $\mathcal F_1$
    et une réflexion d’axe $a$.
    C’est le groupe des symétries d’une frise de la forme

\[\cdots \quad \text{B} \quad \text{B} \quad \text{B} \quad \text{B} \quad \text{B} \quad \text{B} \quad \text{B} \quad \text{B} \quad \text{B} \quad \text{B} \quad \text{B} \quad \text{B} \quad \text{B} \quad \text{B} \quad \cdots\]

(conviennent aussi : C, D, E, K).
Le quotient $\mathcal F_1^1 \setminus \mathbf E^2$ est un demi-cylindre
(homéomorphe au complément d’un disque fermé dans le plan).

  • Le groupe $\mathcal F_1^2$ engendré par $\mathcal F_1$
    et une réflexion d’axe orthogonal à $a$.
    C’est le groupe des symétries d’une frise de la forme

\[\cdots \quad \text{A} \quad \text{A} \quad \text{A} \quad \text{A} \quad \text{A} \quad \text{A} \quad \text{A} \quad \text{A} \quad \text{A} \quad \text{A} \quad \text{A} \quad \text{A} \quad \text{A} \quad \text{A} \quad \cdots\]

(conviennent aussi : M, T, U, V, W, Y).
Le quotient $\mathcal F_1^2 \setminus \mathbf E^2$ s’identifie au domaine fondamental
du type « bande », limité par deux demi-droites
parallèles entre elles et orthogonales au segment.

  • Le groupe $\mathcal F_1^3$ engendré par
    une symétrie glissante d’axe $a$.
    C’est le groupe des symétries d’une frise de la forme

\[\cdots \quad \Gamma \quad \text{L} \quad \Gamma \quad \text{L} \quad \Gamma \quad \text{L} \quad \Gamma \quad \text{L} \quad \Gamma \quad \text{L} \quad \Gamma \quad \text{L} \quad \Gamma \quad \text{L} \quad \cdots\]

Le quotient $\mathcal F_1^3 \setminus \mathbf E^2$ est un ruban de Möbius ouvert.

  • Le groupe $\mathcal F_2$ engendré par $\mathcal F_1$
    et un demi-tour $\rho_0$ de centre sur l’axe $a$.
    Si on identifie $a$ à $\mathbf R$ de telle sorte que
    l’origine soir le point fixe de $\rho_0$,
    et les entiers l’orbite de l’origine par $\mathcal F_1$,
    alors les rotations de $\mathcal F_2$
    sont les demi-tours $\rho_{n/2}$ centrés aux demi-entiers.
    Le groupe $\mathcal F_2$ est le groupe des symétries
    d’une frise de la forme

\[\cdots \quad \text{N} \quad \text{N} \quad \text{N} \quad \text{N} \quad \text{N} \quad \text{N} \quad \text{N} \quad \text{N} \quad \text{N} \quad \text{N} \quad \text{N} \quad \text{N} \quad \text{N} \quad \text{N} \quad \cdots\]

(conviennent aussi : S, Z).

  • Le groupe $\mathcal F_2^1$ engendré par $\mathcal F_2$
    et une symétrie d’axe orthogonal à $a$ passant par $0$.
    C’est le groupe des symétries d’une frise de la forme

\[\cdots \quad \text{H} \quad \text{H} \quad \text{H} \quad \text{H} \quad \text{H} \quad \text{H} \quad \text{H} \quad \text{H} \quad \text{H} \quad \text{H} \quad \text{H} \quad \text{H} \quad \text{H} \quad \text{H} \quad \cdots\]

(conviennent aussi : I, O, X).

  • (7) Le groupe $\mathcal F_2^2$ engendré par $\mathcal F_2$
    et une symétrie d’axe orthogonal à $a$ passant par $1/4$.
    C’est le groupe des symétries d’une frise de la forme

\[\cdots \uparrow \quad \downarrow \quad \uparrow \quad \downarrow \quad \uparrow \quad \downarrow \quad \uparrow \quad \downarrow \quad \uparrow \quad \downarrow \quad \uparrow \quad \downarrow \quad \uparrow \quad \downarrow \quad \uparrow \quad \cdots\].

Exercice. Détailler la méthode esquissée ci-dessous
pour vérifier que deux des sept groupes de frises
décrits plus haut
ne sont pas conjugués dans $Aff(2)$.

  • Distinguer d’abord les groupes avec demi-tours et les groupes sans.
  • Pour les groupes avec demi-tours,
    distinguer les cas selon qu’ils ne contiennent
    aucune réflexion (cas de $\mathcal F_2$)
    ou la réflexion d’axe $a$ (cas de $\mathcal F_2^1$),
    ou une réflexion mais pas celle d’axe $a$ (cas de $\mathcal F_2^2$).
  • Pour les groupes sans demi-tour,
    distinguer les cas selon qu’ils contiennent ou non une réflexion ;
    lorsqu’ils n’en contiennent pas,
    selon qu’ils contiennent
    une symétrie glissante (cas de $\mathcal F_1^3$)
    ou non (cas de $\mathcal F_1$) ;
    lorsqu’ils contiennent une réflexion selon que son axe
    est $a$ (cas de $\mathcal F_1^1$)
    ou orthogonal à $a$ (cas de $\mathcal F_1^2$).

Une autre méthode est esquissée dans l’exercice suivant.

Exercice. Soit $\Gamma$
l’un des sept groupes décrits ci-dessus ;
notons $\Gamma^+$ le sous-groupe de $\Gamma$ formé
des isométries conservant l’orientation de $\mathbf E^2$.
Vérifier que la paire $(\Gamma,\Gamma^+)$ est isomorphe
à l’une des paires suivantes :
\[(\mathbf Z, \mathbf Z), \qquad (\mathbf Z \times C_2, \mathbf Z),\qquad (D_{\infty},\mathbf Z), \qquad (\mathbf Z, 2\mathbf Z)\]
\[(D_{\infty},D_{\infty}), \qquad (D_{\infty} \times C_2, D_{\infty}), \qquad (D_{\infty}, SD_{\infty}),\]

où $C_2$ désigne le groupe d’ordre deux,
$D_{\infty}$ un groupe diédral infini
(produit libre de deux copies de $C_2$),
et $SD_{\infty}$ un sous-groupe propre de $D_{\infty}$
isomorphe au groupe $D_{\infty}$.

Théorème 7.1 : Théorème de classification des groupes de frise.

Tout groupe de frise est conjugué dans $Aff(2)$
à l’un des sept exemples ci-dessus.

Esquisse de démonstration. 

Soit $\Gamma$ un groupe de frise.
On choisit une droite $a$ de $\mathbf E^2$ et on se ramène
au cas où $\Gamma$ est contenu dans le sous-groupe
$G_a$ de $Is(2)$ des isométries laissant $a$ invariant.
On distingue ensuite deux cas, selon que $\Gamma$
contient ou non des demi-tours.

Supposons que $\Gamma$ contienne le demi-tour $\rho_0$.
A conjugaison dans $Aff(2)$ près,
on peut supposer que les demi-tours
de $\Gamma$ sont précisément les demi-tours $\rho_{n/2}$,
avec $n \in \mathbf Z$
(notations de l’exemple $\mathcal F_2$ ci-dessus),
et par suite que les translations de $\Gamma$
sont les translations d’amplitudes entières.
Si $\Gamma$ ne contient pas de symétrie,
alors $\Gamma$ est conjugué à $\mathcal F_2$ ;
si $\Gamma$ contient la symétrie $\alpha$ d’axe $a$,
alors $\Gamma$ est conjugué à $\mathcal F_2^1$ ;
si $\Gamma$ ne contient pas $\alpha$
et contient une symétrie d’axe orthogonal à $a$,
alors $\Gamma$ est conjugué à $\mathcal F_2^2$.

Supposons au contraire que $\Gamma$ ne contienne aucun demi-tour.
S’il contient $\alpha$,
alors $\Gamma$ est conjugué à $\mathcal F_1^1$,
et on suppose désormais qu’il ne contient pas $\alpha$.
Si $\Gamma$ contient une symétrie d’axe orthogonal à $a$,
il est conjugué â $\mathcal F_1^2$ ;
sinon, il peut contenir ou non une symétrie glissante,
et il est alors conjugué à $\mathcal F_1^3$
ou à $\mathcal F_1$.

Ce n’est bien sûr pas une coïncidence
si cette esquisse ressemble
(pas tout à fait à s’y méprendre, espérons-le)
à l’énoncé d’un des exercices qui précèdent.

CQFD

Voir aussi la démonstration de[CoBG-08],
ou celle de [Mart-81].

8. Réseaux en dimensions $2$ et $3$ et condition cristallographique

Soient $\mathbf E^n$ un espace euclidien de dimension $n$
et $V$ son espace vectoriel de translations.
Rappelons qu’un réseau de $V$
est un sous-groupe engendré par une base ;
en particulier, un réseau plan est un groupe
engendré par deux translations non collinéaires
du plan euclidien $\mathbf E^2$.
Les propriétés principales des réseaux en dimension $2$
font l’objet des trois résultats suivants.

Proposition 8.1 :

Soient $\Lambda$ un réseau plan. Soient $\tau_1,\tau_2 \in \Lambda$
tels que

\[\Vert \tau_1 \Vert \, = \, \min\{ \Vert \lambda \Vert \ : \ \lambda \in \Lambda, \ \lambda \ne 0 \},\]
\[\Vert \tau_2 \Vert \, = \, \min\{ \Vert \lambda \Vert \ : \ \lambda \in \Lambda, \ \lambda \notin \mathbf Z \tau_1 \}.\]

Alors $\{\tau_1,\tau_2\}$ est une base de $\Lambda$.

Esquisse de démonstration. 

Choisissons une origine $0 \in \mathbf E^2$ et notons $P$
le parallélogramme $\{0 + \lambda_1 \tau_1 + \lambda_2 \tau_2 \ \vert \ \le \lambda_1, \lambda_2 < 1 \}$.
(Notons que, contrairement à l’usage ailleurs dans ce texte,
$P$ n’est pas ici un fermé du plan.)

Soit $\lambda \in \Lambda$. Il existe $a_1,a_2 \in \mathbf Z$
tels que $\mu \doteq \lambda - a_1\tau_1 - a_2\tau_2 \in P$.
Si on avait $\mu \ne 0$, cela contredirait
les conditions imposées à $\tau_1$ et $\tau_2$.

CQFD

Bien que facile à démontrer, le résultat suivant
est assez important pour mériter le nom de « théorème ».

Théorème 8.2 :

Soit $\Gamma$ un sous-groupe du groupe des isométries de $\mathbf E^2$.
On suppose que l’intersection de $\Gamma$
avec les translations de $\mathbf E^2$ est un réseau $\Lambda$.

Soit $\rho$ une rotation de $\Gamma$ distincte de l’identité.
Alors $\rho$ est d’ordre fini, et d’ordre $2$, $3$, $4$ ou $6$.

En d’autres termes et avec les notations du théorème 6.1,
le groupe ponctuel de $\Gamma$ est l’un des groupes
$C_n$, $D_n$ avec $n \in \{1,2,3,4,6\}$.


Démonstration

Notons $A$ le point fixe de $\rho_A = \rho$ et distinguons les cas,
selon que $\rho_A$
est d’ordre fini ou infini.

Supposons d’abord $\rho_A$ d’ordre fini ;
on ne restreint pas la généralité de ce qui suit
en supposant que $\rho_A$ est une rotation d’angle $2\pi/n$.
Soit $B$ un point de l’orbite $\Gamma A$ tel que $B \ne A$ et
$d(A,B) \le d(A,X)$ pour tout $X \in \Gamma A \{A\}$ ;
choisissons $\gamma \in \Gamma$ tel que $\gamma A = B$
et soit $\rho_B$ la rotation conjuguée $\gamma \rho_A \gamma^{-1}$.
Posons encore $\rho_C = \rho_B \rho_A \rho_B^{-1}$,
qui est une rotation fixant $C \doteq \rho_B(A)$,
et $\rho_D = \rho_C \rho_B \rho_C^{-1}$,
qui est une rotation fixant $D \doteq \rho_C (B)$.

Si $D = A$, alors $n = 6$.
Si $D \ne A$, alors la condition $d(A,D) \ge d(A,B)$
implique $2\pi/n \ge \pi/2$, c’est-à-dire $n \le 4$. (Esquisser une figure !!!)

Supposons ensuite que $\rho_A$ puisse être d’ordre infini.
Choisissons une translation $\tau \ne id$ de $\Gamma$.
Pour $k \in \mathbf Z$, les points
$\left( \rho_A^k \tau \rho_A^{-k}\right) (A)$ sont alors distincts deux à deux
et tous contenus dans le cerce de centre $A$ passant par $\tau (A)$.
Ceci est en contradiction avec l’hypothèse faite
sur les translations de $\Gamma$.

CQFD

Il est facile de formuler un analogue de la proposition 8.1
en dimension $n$ quelconque : un réseau $\Lambda$
possède une base $(\tau_1,\dots,\tau_n)$
telle que $\Vert \tau_j \Vert$ soit minimal parmi
les normes $\Vert \lambda \Vert$
des vecteurs qui sont dans $\Lambda$
et ne sont pas combinaisons linéaires de $\tau_1,\dots,\tau_{j-1}$.
La restriction du théorème 8.2 vaut sans changement
en dimension $3$, comme on s’en assure en raisonnant
dans l’orthogonal de l’axe d’une rotation contenue dans $\Gamma$ ;
il y a des restrictions sur les ordres des rotations possibles
en toute dimension.

La restriction du théorème 8.2,
et surtout de son analogue en dimension $3$,
est cruciale pour toute la cristallographie classique.
On l’appelle la restriction cristallographique.

On dit qu’un réseau plan est

  • rectangulaire
    s’il est engendré par deux translations orthogonales,
  • rhombique
    s’il est engendré par deux translations de même amplitude,
  • carré
    s’il est engendré par deux translations orthogonales de même amplitude,
    c’est-à-dire s’il est à la fois rectangulaire et rhombique,
  • hexagonal
    s’il est engendré par deux translations de même amplitude
    faisant un angle de $\pi/3$
    (ou, c’est équivalent, de $2\pi/3$).

L’importance des réseaux rectangulaires et rhombiques
est due entre autres raisons au résultat suivant.

Proposition 8.3 :

Soit $\Gamma$ un groupe cristallographique plan qui contient une isométrie
renversant l’orientation.
Alors le groupe des translations $\Lambda_{\Gamma}$
est rectangulaire ou rhombique.

Sur la démonstration.
Il faut distinguer plusieurs cas ; en voici un.
Supposons que $\Gamma$ contient une symétrie $\sigma$ d’axe $\ell$.
Soit $t$ une translation d’amplitude minimale dans $\Lambda_{\Gamma}$ ;
supposons que $t$ ne soit ni parallèle ni perpendiculaire à $\ell$.
Alors $\Lambda_{\Gamma}$ est engendré par $t$ et $\sigma t \sigma$,
de sorte que $\Lambda_{\Gamma}$ est rhombique.

Pour les autres cas, $t$ parallèle ou perpendiculaire à $\ell$,
ou $\Gamma$ contenant une symétrie glissante,
voir par exemple dans [Mart-81] les théorèmes 11.1 et 11.2,
pages 88-90.

CQFD


Exercice.

Identifions (par choix d’une origine)
l’espace euclidien $\mathbf E^5$ de dimension $5$ à $\mathbf R^5$,
et l’espace $\mathbf E^4$ à l’hyperplan
$\{ (x_1,\dots,x_5) \in \mathbf R^5 \ \vert \ \sum_{i=1}^5 x_i = 0 \}$.

Soit $\mathcal P$ le pavage de $\mathbf E^5$
par les cubes de côté unité
à sommets dans le réseau $\mathbf Z^5$.
Vérifier que le groupe de symétrie de $\mathcal P$
contient un élément d’ordre $5$.

De même pour le groupe de symétrie du sous-ensemble
$\mathbf Z^5 \cap \mathbf E^4$ de $\mathbf E^4$.

9. Exemples de groupes cristallographiques plans

Soit $\Lambda$ un réseau dans $Is(2)$.
Notons $\Gamma(2)$ le sous-groupe de $Is(2)$ engendré par
$\Lambda$ et une rotation d’ordre $2$.

Dans le cas où $\Lambda$ est un réseau hexagonal,
engendré par deux translations de même amplitude
faisant un angle d’un tiers de tour,
notons $\Gamma(3)$ le sous-groupe de $Is(2)$ engendré par
$\Lambda$ et une rotation d’ordre $3$,
et $\Gamma(6)$ le sous-groupe de $Is(2)$ engendré par
$\Lambda$ et une rotation d’ordre $6$.

Dans le cas où $\Lambda$ est un réseau carré,
engendré par deux translations ortogonales de même amplitude,
notons $\Gamma(4)$ le sous-groupe de $Is(2)$ engendré par
$\Lambda$ et une rotation d’ordre $4$.

On vérifie sans peine que $\Gamma(2)$, $\Gamma(3)$, $\Gamma(4)$
et $\Gamma(6)$ sont des groupes cristallographiques plans.

Proposition 9.1 : Soit $\Gamma$ un groupe cristallographique plan contenu dans le groupe $\operatorname{SIs}(2)$ des isométries du plan $\mathbf E^2$ conservant l’orientation. Alors $\Gamma$ est conjugué dans $\operatorname{Aff}(2)$ à l’un des exemples $\Lambda$, $\Gamma(2)$, $\Gamma(3)$, $\Gamma(4)$, $\Gamma(6)$.

Sur la démonstration :
cela résulte essentiellement du théorème 8.2

CQFD

Terminologie et notation

Les exemples de la proposition sont dits respectivement de type

\[p1, \quad p2, \quad p3, \quad p4, \quad p6.\]

\par
La lettre « p » est l’initiale du mot « primitif »
et le chiffre l’ordre maximal des rotations contenues dans le groupe.

Soit $\Gamma$ un groupe cristallographique plan ;
notons $\Gamma^+ = \Gamma \cap SIs(2)$
le sous-groupe de $\Gamma$
des isométries conservant l’orientation.
Si $\Gamma$ est comme dans la proposition 9.1,
alors $\Gamma^+ = \Gamma$ ; sinon, $\Gamma^+$
est d’indice $2$ dans $\Gamma$
(c’est l’indice de $SIs(2)$ dans $Is(2)$).
\par
Pour $n \in \{2,3,4,6\}$, soit $C_{\Gamma}(n)$
le sous-ensemble de $\mathbf E^2$ formé des centres
des rotations d’ordre $n$ de $\Gamma$ ;
notons que
\[ C_{\Gamma}(2) \, \subset \, C_{\Gamma}(4) \qquad \text{et}Ê\qquad C_{\Gamma}(2) \cup C_{\Gamma}(3) \, \subset \, C_{\Gamma}(6). \]

Choix d’un parallélogramme fondamental

Soit $\Gamma$ un groupe cristallographique plan.
Supposons choisie une paire $\tau_1,\tau_2$ de translations
qui engendre $\Lambda_\Gamma$.
Pour tout point $O$ du plan $\mathbf E^2$,
le parallélogramme de sommets
\[ O, \qquad O+\tau_1, \qquad O+\tau_1+\tau_2, \qquad O+\tau_2 \]
est une cellule primitive pour $\Gamma$
(c’est un domaine fondamental pour $\Lambda_{\Gamma}$).
Dans certains cas, par exemple si $\Gamma = \Lambda_\Gamma$,
tous les choix de $O$ sont équivalents.

En revanche, si $\Gamma$ contient une rotation non triviale,
c’est-à-dire si $\Gamma^+$
est de l’un des types $p2$, $p3$, $p4$, $p6$,
l’usage le plus courant consiste à choisir pour $O$
le centre d’une rotation de $\Gamma$, d’ordre maximal.

Si $\Gamma^+$ est de type $p2$, $p4$ ou $p6$,
c’est-à-dire si $C_{\Gamma}(2)$ n’est pas vide,
alors $C_{\Gamma}(2)$ est un réseau dans $\mathbf E^2$
constitué de quatre $\Lambda$-orbites.
Le groupe $\Gamma$ possède un parallélogramme fondamental
contenant neuf $2$-centres
(ses quatre sommets, les milieux de ses quatre côtés, et son centre),
dont quatre $2$-centres deux à deux non équivalents par $\Lambda$.

Si $\Gamma^+$ est de type $p4$,
on choisit un carré fondamental dont les sommets et le centre sont des $4$-centres,
et les milieux des côtés des $2$-centres.

Si $\Gamma^+$ est de type $p3$ ou $p6$,
c’est-à-dire si $C_{\Gamma}(3)$ n’est pas vide,
alors $C_{\Gamma}(3)$ est un réseau dans $\mathbf E^2$
constitué de trois $\Lambda$-orbites.
Le groupe $\Gamma$ possède un losange fondamental,
réunion de deux triangles équilatéraux,
contenant six $3$-centres
(quatre sommets du losange et les centres des deux triangles équilatéraux),
dont trois non équivalents deux à deux par $\Lambda$.

Si $\Gamma^+$ est de type $p6$,
on choisit un losange fondamental dont les sommets sont des $6$-centres,
les milieux des côtés et le centre du losange des $2$-centres,
et les centres des triangles équilatéraux des $3$-centres.

Si $\Gamma$ possède des symétries par rapport à des axes,
l’usage est de choisir un parallélogramme fondamental
« bien placé » relativement à ces axes,
c’est-à-dire avec certains de ses côtés ou de ses diagonales
supportés par certains de ces axes.

Une manière serrée de représenter $\Gamma$
est alors de dessiner un domaine fondamental $P$ de $\Lambda$
décoré de signes indiquant les
rotations de $\Gamma$ à points fixes dans $P$
ainsi que les axes des symétries et des symétries glissantes
intersectant $P$. Voir par exemple [WikiWG].

Dans l’œuvre du graphiste néerlandais
Maurits Cornelis Escher (17 juin 1898 - 27 mars 1972),
il existe (entre autres)
de nombreux dessins de pavages périodiques du plan.
Les domaines fondamentaux peuvent être bien autre chose
que des polygones convexes !
chacun de ces dessins offre une occasion charmante
de repérer lequel des $17$ types de groupes y est associé.
Pour un petit échantillon, voir la page
$<$Picture gallery « Symmetry »$>$
du site [Esch].

Groupes cristallographiques plans sans rotations

En plus des réseaux, $\Gamma = \Lambda_\Gamma$,
voici trois exemples de groupes pour lesquels
$\Gamma^+$ est d’indice deux dans $\Gamma$.

Type $pm$.
Le réseau $\Lambda_\Gamma$ possède
un rectangle fondamental $P$,
disons de sommets $O$, $A = O + \tau_1$, $B = O + \tau_2$,
$C= O + \tau_1 + \tau_2$.
Le groupe $\Gamma$ est engendré par $\Lambda_\Gamma$
et une symétrie d’axe $\ell$ supportant le côté $OA$ de $P$.
La droite joignant les milieux des côtés $OB$ et $AC$
est aussi l’axe d’une symétrie de $\Gamma$ ;
plus généralement,
les axes des symétries de $\Gamma$
sont des parallèles à $\ell$ à distance
$\frac{1}{2} \Vert B - O\Vert$ les unes des autres.
Notons qu’un tel groupe ne possède aucune symétrie glissante non banale.
Dans $pm$,
la lettre « p » indique « primitif »
et « m » indique « miroir ».

Type $pg$.
Le réseau $\Lambda_\Gamma$ possède
un rectangle fondamental $P$ comme plus haut.
Le groupe $\Gamma$ est engendré par $\Lambda_\Gamma$
et une symétrie gissante d’axe $\ell$.
La droite joignant les milieux des côtés $OB$ et $AC$ de $P$
est aussi l’axe d’une symétrie glissante de $\Gamma$ ;
plus généralement,
les axes des symétries glissantes non banales de $\Gamma$
sont des parallèles à $\ell$ à distance
$\frac{1}{2} \Vert B - O\Vert$ les unes des autres.
Notons qu’un tel groupe ne possède aucune symétrie.
La lettre « g » indique « glissante »
(ou le mot anglais « glide »).

Type $cm$.
Le réseau $\Lambda_\Gamma$ possède un losange fondamental $P$,
dont on note comme ci-dessus $O, A, B, C$ les sommets.
Le groupe $\Gamma$ est engendré par $\Lambda_\Gamma$
et une symétrie d’axe $\ell_0$ supportant la diagonale $OC$ de $P$.
Il y a des symétries d’axes $(\ell_n)_{n \in \mathbf Z}$ parallèles à $\ell_0$
à distance $\frac{1}{2}\Vert A - B \Vert$ les uns des autres
(en particulier d’axes $\ell_1$ et $\ell_{-1}$ passant par $A$ et $B$),
ainsi que des symétries glissantes non banales d’axes parallèles à $\ell_0$
et intercalés entre les axes des $\ell_n$
(en particulier d’axes passant par les milieux des côtés de $P$).
La lettre « $c$ » dans $cm$, indique « centré »,
parce que $\Lambda_\Gamma$ possède un sous-réseau d’indice $2$
ayant pour domaine fondamental un rectangle $R$,
et la $\Gamma$-orbite d’un sommet de $R$
est constituée par les sommets et les centres
des rectangles du pavage engendré par $R$.

Autres cas

Les réseaux et les exemples de type $pm$, $pg$, $cm$
sont $4$ familles d’exemples de groupes cristallographiques plans $\Gamma$
tels que $\Gamma^+$ est isomorphe à $\mathbf Z^2$.
De même, pour un groupe cristallographique
$\Gamma$ tel que $\Gamma^+$ soit de type $p2$
[respectivement $p3$, $p4$, $p6$],
on peut décrire $5$ [resp. $3$, $3$, $2$]
deux exemples selon les types des isométries contenues dans $\Gamma$.
Deux des cas qui apparaissent
sont ceux de la proposition 3.2 :
le groupe de type $p4m$ des symétries
d’un pavage strict par carrés,
et le groupe de type $p6m$ des symétries
d’un pavage strict par des triangles équilatéraux.
Pour des descriptions explicites de tous les cas,
nous renvoyons à la littérature,
par exemple à l’un de [HiCV-52],
[Feje-64], [Schw-74], [Mart-81],[CoBG-08].

On obtient d’abord une
table des $17$ types de groupes cristallographiques plans,
où nous avons indiqué
une abréviation décrivant le type du groupe $\Gamma$
(il existe plusieurs autres systèmes de nomenclature différents),
le type de son réseau de translation $\Lambda_\Gamma$,
le groupe ponctuel $H_{\Gamma}$,
et si oui ou non $H_{\Gamma}$ est un sous-groupe de $\Gamma$.
On obtient ensuite un théorème de classification,
n° 9.2] ci-dessous.

Table

\[ \begin{array}{cccc} \text{Type du groupe}\ \Gamma & \text{Type du réseau}\ \Lambda_\Gamma & \text{Groupe} \ H_\Gamma & H_\Gamma \ \text {sous-groupe de}\ \Gamma \\ &&& \\ p1\qquad\qquad & \text{général}\qquad & C_1 \quad\ & \text{oui}\qquad\qquad\ \\ pm\qquad\qquad & \text{rectangulaire}\ \ & D_1\quad\ & \text{oui}\qquad\qquad\ \\ pg \qquad\qquad& \text{rectangulaire}\ \ & D_1\quad\ & \text{NON}\qquad\qquad \\ cm\qquad\qquad & \text{rectangulaire}\ \ & D_1 \quad\ & \text{oui}\qquad\qquad\ \\ &&& \\ p2\qquad\qquad & \text{général}\qquad & C_2 \quad\ & \text{oui}\qquad\qquad\ \\ pmm\qquad\quad\ & \text{rectangulaire}\ \ & D_2\quad\ & \text{oui}\qquad\qquad\ \\ pmg \qquad\quad\ & \text{rectangulaire}\ \ & D_2 \quad\ & \text{NON}\qquad\qquad \\ pgg \qquad\qquad & \text{rectangulaire}\ \ & D_2\quad\ & \text{NON}\qquad\qquad \\ cmm \qquad\quad\ & \text{rhombique}\quad & D_2\quad\ & \text{oui}\qquad\qquad\ \\ &&& \\ p4\qquad\qquad& \text{carré}\quad\quad & C_4\quad\ & \text{oui}\qquad\qquad\ \\ p4m\qquad\quad\ & \text{carré}\quad\quad & D_4\quad\ & \text{oui}\qquad\qquad\ \\ p4g\qquad\quad\ & \text{carré}\quad\quad & D_4\quad\ & \text{NON}\qquad\qquad \\ &&& \\ p3\qquad\qquad& \text{hexagonal}\quad & C_3\quad\ & \text{oui}\qquad\qquad\ \\ p3m1 \qquad\quad& \text{hexagonal}\quad & D_3\quad\ & \text{oui}\qquad\qquad\ \\ p31m \qquad\quad& \text{hexagonal}\quad & D_3\quad & \text{oui}\qquad\qquad\ \\ &&& \\ p6 \qquad\qquad& \text{hexagonal}\quad & C_6\quad\ & \text{oui}\qquad\qquad\ \\ p6m\qquad\quad\ & \text{hexagonal}\quad & D_6\quad\ & \text{oui}\qquad\qquad\ \end{array}\]

Théorème 9.2

(i) Les exemples de la table ci—dessus sont non conjugués deux à deux
dans le groupe $Aff(2)$.

(ii) Tout groupe cristallographique plan est de l’un de ces $17$ types,
au sens où il est conjugué dans $Aff(2)$
à l’un des exemples de la table.

Références

[BuKa-81]
P. Buser et H. Karcher,
The Bieberbach case in Gromov’s almost flat manifold theorem,
in « Global differential geometry and global analysis »,
Proceedings, Berlin 1979, D. Ferus et al. éditeurs,
Springer Lecture Notes in Mathematics
838 (1981), 82-93.

[Buse-85]
P. Buser,
A geometric proof of Bieberbach’s theorems
on cristallographic groups
,
L’Enseignement Mathématique 31 (1985), 137-145.

[CoBG-08]
J.H. Conway, H. Burgiel et C. Goodman-Strauss,
The symmetries of things,
A.K. Peters, 2008.

[Coxe-69]
H.S.M. Coxeter,
Introduction to geometry,
Second Edition, J. Wiley, 1969.

[Esch]
The M.C. Escher Company,
M.C. Escher, the official website,

[Feje-64]
L. Fejes Tóth,
Regular figures,
Pergamnon Press, 1964,
pages 3-38 pour la classification des groupes ornementaux.

[HiCV-52]
D. Hilbert et S. Cohn-Vossen,
Geometry and the imagination,
Chelsea, 1952
(première édition,
Anschauliche Geometrie, de 1932).

[Mart-81]
G.E. Martin,
Transformation geometry, an introduction to symmetry,
Springer, Undergraduate Texts in Mathematics, 1981.

[Miln-76]
J. Milnor,
Hilbert’s Problem 18 : on crystalographic groups,
fundamental domains, and on sphere packing
,
Proc. Symp. Pure Math. 28 (1976), 491-506.

[Schw-74]
R.L.E. Schwarzenberger,
The $17$ plane symmetry groups,
Math. Gaz. 58 (1974), 123-131.

[Ster-94]
S. Sternberg,
Group theory and physics,
Cambridge University Press, 1994.

[Weyl-52]
H. Weyl,
Symmetry,
Princeton University Press, 1952.

[WikiWG]
Wikipedia,
Wallpaper group

Article édité par Étienne Ghys

Notes

[1Il convient de remarquer que,
pour une écriture de $Is(n)$ en produit semi-direct
de $\mathbf R^n$ par $O(n)$, on a
\[(x,\rho) (t,id) (x,\rho)^{-1} = (x + \rho(t), \rho)(-\rho^{-1}(x),\rho^{-1}) = (\rho(t), id)\]
pour tout $x \in \mathbf R^n$, de sorte que cette action
s’écrit en termes du sous-groupe $\Gamma$
de $Is(n)$ seulement.

[2Au sujet des problèmes de Hilbert, on peut lire cet article.

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Pour citer cet article :

Pierre de la Harpe — «Ornements et cristaux, pavages et groupes, II» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • Ornements et cristaux, pavages et groupes, II

    le 19 novembre 2009 à 22:32, par johann

    Bonjour,

    Dans l’exercice de la partie 7 (les groupes de frises), vous indiquez le couple (groupe,sous-groupe propre) suivant : (D_infini,SD_infini), en décrivant SD_infini comme un sous-groupe propre de D_infini qui lui est isomorphe.
    Dans ce cas, qu’est-ce qui différencie ce couple de (D_infini,D_infini) ?

    Sinon merci mille fois pour ces trois intéressants articles !

    Bien cordialement.

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L'auteur

Pierre de la Harpe

Professeur à l’Université de Genève

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