Ce texte est la dernière de trois parties qui développent un exposé oral donné à des étudiants de première année de l’ENS-Lyon, au Château de Goutelas, le 23 janvier 2009.
Soit $\Lambda$ un réseau plan et $L$ une orbite de $\Lambda$ (noter que $\Lambda \subset \mathbf{R}^2 \subset Is(2)$ et $L \subset \mathbf {E}^2$). Rappelons que les adjectifs « rectangulaire », « rhombique », « carré » et « hexagonal » ont été définis au chapitre 8. Le groupe des symétries de $L$ est
Le groupe ponctuel du groupe des symétries est alors isomorphe à $C_2$, $D_2$, $D_4$, $D_6$, respectivement. On appelle parfois groupe de Bravais plan un groupe de l’un de ces quatre types (voir [Vain-81], page 111).
Le groupe des symétries de $L$ est aussi le groupe des symétries d’un pavage correspondant, par exemple par, respectivement,
Bien que la classification ci-dessus fournisse quatre systèmes, les cristallographes aiment bien distinguer cinq classes de réseaux en dimension deux : oblique, rectangulaire primitif (cellule rectangulaire primitive), rectangulaire centré (la cellule rectangulaire fournit deux translations engendrant un sous-réseau d’indice deux dans $\Lambda$), carré et hexagonal. Cela justifie la discussion qui suit.
Définissons d’abord quatre termes cristallographiques. Pour les définitions (1) et (2), $\Gamma$ est un sous-groupe cristallographique de $Is(n)$. Le groupe ponctuel $H_{\Gamma}$ a été défini au chapitre 5.
(1) La classe géométrique de $\Gamma$ est la classe de conjugaison du groupe ponctuel $H_{\Gamma}$ dans $O(n)$.
(2) La classe arithmétique de $\Gamma$ est l’homomorphisme injectif $H_{\Gamma} \longrightarrow GL_n(\mathbf {Z})$ qui décrit l’action naturelle de $H_{\Gamma}$ sur $\Lambda_{\Gamma}$, homomorphisme bien défini à conjugaison près. (Revoir la suite exacte courte (2) du chapitre 5.)
En toute dimension, il existe une application bien définie de l’ensemble des classes arithmétiques sur l’ensemble des classes géométriques (voir le chapitre 4 de [Mich-01], en particulier la figure de la page 285 pour $n=2$). Il est classique qu’il existe
Pour les définitions (3) et (4), $\Lambda$ est un réseau de translations dont chaque orbite dans $\mathbf {E}^n$ possède un groupe de symétrie, qui est noté $\Gamma$ et qui est un groupe cristallographique.
(3) Le groupe ponctuel de $\Gamma$ détermine le système cristallographique de Bravais auquel appartient $\Lambda$.
(4) La classe arithmétique de ce groupe ponctuel détermine la classe de Bravais à laquelle appartient $\Lambda$.
Il est classique qu’il existe
Exemples de classes arithmétiques.
Considérons les deux cas suivants d’un réseau $\Lambda_j$ en dimension deux ($j=1,2$), dont les groupes de symétrie ont le même groupe ponctuel $H$. Notons $(e,f)$ la base orthonormale canonique de $\mathbf {R}^2$, et $\sigma,\tau$ les réflexions fixant respectivement le premier et le second axe de coordonnées.
Soit d’abord $\Lambda_1$ le réseau rectangulaire engendré par $2e$ et $f$. Le groupe ponctuel est un groupe diédral à quatre éléments : $H = \{id, \sigma, \tau, \sigma\tau\}$. L’homomorphisme $H \longrightarrow GL_2(\mathbf {Z})$ fait correspondre à $\sigma$ et $\tau$ les matrices $ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)$ et $ \left( \begin{matrix}-1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)$.
Soit ensuite $\Lambda_2$ le réseau rhombique engendré par $2e+f$ et $2e-f$. Le groupe ponctuel est le même que pour $\Lambda_1$, mais l’homomorphisme $H \longrightarrow GL_2(\mathbf {Z})$ fait correspondre à $\sigma$ et $\tau$ les matrices $ \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $ et $ \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) $.
On laisse au lecteur le soin de vérifier que, s’il existe « évidemment » des matrices $g \in GL_2(\mathbf {R})$ telles que $$ g \left( \begin{matrix} 1 & \phantom{-}0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) g^{-1} \, = \, \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) , $$ il n’existe pas de telle matrice dans $GL_2(\mathbf {Z})$. En d’autres termes, $\Lambda_1$ et $\Lambda_2$ n’appartiennent pas à la même classe arithmétique. A titre d’exercice on peut vérifier que le groupe engendré par $\Lambda_1$ et $H$ est de type $pmm$, et le groupe engendré par $\Lambda_2$ et $H$ de type $cmm$.
Il y a plusieurs sortes de théorèmes de classification de groupes cristallographiques, à bien distinguer les uns des autres. Par exemple, on peut classer de tels sous-groupes de $Is(n)$ à conjugaison près dans le groupe $Aff(n)$ ou à conjugaison près dans le sous-groupe $Aff^+(n)$ des transformations affines préservant l’orientation. En dimension $n=2$, il n’y a pas de différence ($17$ types, voir le théorème 9.2) ; en revanche, si $n=3$, la première classification fournit $219$ cas et la seconde $230$. A priori, il faut distinguer la classification des groupes cristallographiques à isomorphisme près et la classification à conjugaison près dans le groupe $Aff(n)$. En fait, les théorèmes de Bieberbach (voir la fin de notre chapitre 5) montrent que ces deux classifications sont identiques, et de plus que la liste de ces groupes en toute dimension $n$ est finie.
Convenons ici qu’un pavage polygonal $\mathcal P = \left( P_i \right)_{i \in I}$ de l’espace $\mathbf{E}^n$ (du plan si $n=2$) est périodique si son groupe de symétrie contient un réseau de translations (comparer avec la définition donnée à la fin du chapitre 1).
Un pavage $\mathcal P$ est isoédre si le groupe des symétries $\Gamma$ de $\mathcal P$ est transitif sur les pavés. Lorsque c’est le cas, $\Gamma$ est un sous-groupe de $Is(n)$ qui est cocompact, puisqu’il possède un domaine fondamental qui est un pavé, en particulier qui est compact. Par suite $\mathcal P$ est a fortiori périodique (premier théorème de Bieberbach).
Dans la deuxième des trois parties de son XVIIIème problème, Hilbert [1] demandait s’il existe un polyèdre $P$ anisoèdre, c’est-à-dire un polyèdre $P$ qui pave $\mathbf{E}^n$ mais tel qu’il n’existe aucun pavage isoèdre de $\mathbf{E}^n$ par des copies de $P$ (voir [Miln-76] et [GrSh-80]). Contrairement à ce que semble avoir été l’attente de Hilbert, on a trouvé un polytope anisoèdre dans $\mathbf{E}^3$ (Reinhardt, 1928), un polygone anisoèdre dans le plan $\mathbf{E}^2$ (décagone de Heesch, 1935), et des pentagones convexes anisoèdres (Kershner, 1968) pour lesquels nous renvoyons au paragraphe 9.3 de [GrSh-87].
Indication sur la solution de Heesch. Notons $E$ le décagone de Heesch, qui est représenté à la figure 6, copiée de [Hees-35]. On peut imaginer qu’il s’inscrit dans un rectangle quadrillé par $3 \times 4 = 12$ carrés ; le côté vertical gauche est alors de longueur $4$, le côté horizontal inférieur [respectivement supérieur] est de longueur $3$ [resp. $2$], et les $5$ côtés obliques sont tous des diagonales de carrés.
Le premier point à vérifier est que ce décagone pave le plan. En fait, il pave des bandes de largeur $5$ (que la figure 6 suggère être verticales, même si la direction de ces bandes ne joue aucun rôle au sens strict).
Il faut ensuite noter que, dans tout pavage du plan par copies du décagone de Heesch, le pavé $E'$ adjacent à $E$ près du point $1$ de la figure 6 a la propriété suivante : $E'$ est l’image de $E$ par une symétrie glissante $\gamma$ ; de plus, la translation $\gamma^2$ ne peut pas être une symétrie du pavage plan tout entier. (Pour $E$ donné, il y a deux positions possibles pour $E'$.) Il en résulte que $\gamma$ ne peut pas être dans le groupe de symétrie d’un pavage par copies de $E$, et donc qu’un tel pavage ne peut pas être isoèdre.
Figure 6. Le décagone de Heesch.
L’approche mathématique systématique des pavages et des groupes d’isométrie des espaces $\mathbf{E}^n$ a été motivée en bonne partie par les travaux de la cristallographie naissante au XIXe siècle (voir par exemple [Mait-05]). Faute de discuter ces travaux, nous en mentionnons au moins quelques héros :
La classification des groupes cristallographiques plans, due à Fedorov (1891), est contemporaine du résultat analogue en dimension $3$. La classification en dimension $2$ fut redécouverte par Fricke et Klein (1897), Polya (1924) et Niggli (1924). [Information tirée de Feje-64.]
Les rayons X ont été découverts par Röntgen, et la première radiophotographie fut celle de la main d’Anna Bertha Röntgen, cliché pris le 22 décembre 1895 (pose de 20 minutes) ; cette découverte valut à Wilhelm Röntgen le prix Nobel de physique en 1901. En 1912, selon l’histoire lors d’une conversation avec [2] Paul Peter Ewald, Max von Laue eut l’idée d’irradier des cristaux par rayons X ; il en déduisit une preuve de la structure périodique des atomes du cristal, et reçut le prix Nobel de physique en 1914. (C’est dès la fin du XIXème siècle que nombre de physiciens étaient convaincus de la structure périodique des cristaux ; l’un de leurs plus anciens arguments reposait sur la constante des angles entre faces dans divers échantillons d’un même type de cristal, observation qui remonte à la fin du XVIIème siècle.)
La spectrographie par rayons X (des cristaux, des atomes, des molécules, ...) fur honorée encore plusieurs fois par les comités Nobel : Sir William Henry Bragg et son fils William Lawrence Bragg se partagent le prix Nobel de physique en 1915, Karl Manne Georg Siegbahn le reçut en 1924, Arthur Compton en 1927, et Peter Debye reçut celui de chimie en 1936.
La longueur d’onde typique des rayons X est de l’ordre de $1$ à $100$ Angström ($1$ Angström $= 10^{-10}$ m), distance comparable aux distances inter-atomiques dans les cristaux. Pour mémoire : environ $5500$ Angström pour la lumière visible, et environ $5$ Angström entre atomes voisins dans un cristal de sel de cuisine.
Pour en savoir plus, voir par exemple [WikiX].
Voici un modèle simple standard d’explication (partielle !) pour la diffraction des rayons X par un solide. Un faisceau incident d’ondes monochromatiques planes [3] est décrit en un instant donné par une expression de la forme $$ \Phi_{in}(x) \, = \, \Phi_0 \exp \left[ i \langle k_{in} \vert x \rangle \right] $$ où $\Phi_0$ est l’amplitude, $x \in \mathbf{R}^3$ le point d’observation, $k_{in} \in \mathbf{R}^3$ le vecteur d’onde de l’onde incidente, de module $\frac{2\pi}{\lambda}$ si $\lambda \in \mathbf{R}^*_+$ désigne la longueur d’onde (pour simplifier, la dépendance en fonction du temps n’est pas prise en compte ici). Un atome au point $y$ diffracte une partie du faisceau incident et produit une onde sphérique d’amplitude proportionnelle à $\Phi_0 \exp \left[ i \langle k_{in} \vert y \rangle \right]$ ; la partie de l’onde diffractée se propageant dans une direction $k_{out}$ est donc proportionnelle à $$ \Phi_0 \exp \left[ i \langle k_{in} \vert y \rangle \right] \exp \left[ i \langle k_{out} \vert x - y \rangle \right] , $$ avec $\Vert k_{out} \Vert = \Vert k_{in} \Vert$ dans l’hypothèse d’une diffraction dite élastique. Pour un solide caractérisé dans un volume $V$ par une densité $\rho(y)$ de points qui diffractent (dans un métal, ce sont les électrons qui sont les principaux acteurs de la diffraction), l’effet cumulatif s’écrit $$ \begin{align} \Phi_{k_{out}}(x) \, &= \, C \int_V \exp \left[ i \langle k_{in} \vert y \rangle \right] \exp \left[ i \langle k_{out} \vert x - y \rangle \right] \rho(y) dy \\ &= \, C \exp \left[ i \langle k_{out} \vert x \rangle \right] \int_V \exp \Big[- i \langle k_{out} - k_{in} \vert y \rangle \Big] \rho(y) dy \\ &= \, C \exp \left[ i \langle k_{out} \vert x \rangle \right] \ \widehat{\rho} \left( k_{out} - k_{in} \right) \end{align} $$ où $C$ est une constante convenable ($C$ ne dépend pas de $y$) et où $\widehat{\rho}$ désigne la transformée de Fourier de la fonction de densité $\rho$ (prolongée par $0$ en dehors du solide). L’intensité mesurée en un point $x$ de l’écran est donc proportionnelle à $$ \left\vert \widehat{\rho} \left( k_{out} - k_{in} \right) \right\vert ^2 . $$ Il faut bien sûr tenir compte intelligemment des approximations : un échantillon cristallin est infiniment grand en comparaison des distances interatomiques, et peut ainsi être vu comme un arrangement périodique dans $\mathbf{R}^3$, mais le même échantillon est de taille négligeable en comparaison de sa distance à l’écran où se marqent les ondes diffractées !
En particulier, toute symétrie de la fonction $\rho$ peut être lue [4] sur les résultats expérimentaux de diffractions par rayons X. Ainsi, depuis les premières expériences de von Laue jusqu’à des découvertes publiées en 1984, les physiciens ont obtenu de nombreuses
Une symétrie de rotation d’un cristal n’est jamais d’ordre $5$.
La surprise fut donc de taille au début des années 1980, lorsque Shechtman, Blech, Gratias et Cahn découvrirent expérimentalement les quasi-cristaux, et leurs images par rayons X exhibant des symétries de rotations d’ordre $5$ ! voir notamment [SBGC-84], [GrDu-87], [Jano-94] et [Sene-95]. Mais ceci est une tout autre histoire, que les mathématiciens aiment bien coupler avec la découverte des pavages de Penrose, pour lesquels nous renvoyons à la littérature (nombreuses références dans [GrSh-87] et [Sene-95]).
En mathématiques, on peut définir un quasi-cristal en dimension $n$ comme une distribution discrète de masses dans $\mathbf R^n$ dont la transformée de Fourier est une distribution discrète de fréquences ponctuelles. Et on peut même réver, puisque Dyson aimerait croire que l’étude des quasi-cristaux en dimension $n=1$ pourrait fournir en prime une démonstration de l’hypothèse de Riemann [Dyso-09].
[Dyso-09] F. Dyson, Birds and frogs, Notices of the Amer. Math. Soc. 56:2 (2009), 212-223.
[Feje-64] L. Fejes Tóth, Regular figures, Pergamnon Press, 1964, pages 3-38 pour la classification des groupes ornementaux.
[GrDu-87] D. Gratias et M. Duneau, Les quasi-cristaux, Troisième Cycle de la Physique en Suisse Romande, Semestre d’été 1987.
[GrSh-80] B. Grünbaum et G.C. Shephard, Tilings with congruent tiles, Bull. Amer. Math. Soc. 3 (1980), 951-973.
[GrSh-87] B. Grünbaum et G.C. Shephard, Tilings and patterns, Freeman and co, 1987.
[Hees-35] H. Heesch, Aufbau der Ebene aus kongruenten Bereichen, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen (2) 1 (1935), 115-117. Traduction anglaise.
[Jano-94] C. Janot, Quasicrystals, a primer, Second Edition, Springer, 1994.
[Mait-05] B. Maitte, Cristaux : des formes à la structure, décembre 2005.
[Mich-01] L. Michel, Fundamental concepts for the study of crystal symmetry, Physics Reports 341 (2001), 265-336.
[Miln-76] J. Milnor, Hilbert’s Problem 18 : on crystalographic groups, fundamental domains, and on sphere packing, Proc. Symp. Pure Math. 28 (1976), 491-506.
[SBGC-84] D. Shechtman, I. Blech, D. Gratias et J.W. Cahn, Metallic phase with long-range orientational order and no translational symmetry, Physical Review Letters 53 (1984), 1951-1953.
[Sene-95] M. Senechal, Quasicrystals and geometry, Cambridge University Press, 1995.
[Vain-81] B.K. Vainshtein, Modern crystallography I, symmetry of crystals, methods of structural crystallography, Springer, 1981 (original russe 1979).
[WikiEw] Wikipedia, Paul Peter Ewald.
[WikiX] Wikipedia, X-ray criystallography.
[1] Au sujet des problèmes de Hilbert, on peut lire cet article.
[2] Etudiant à Göttingen en 1906 et 1907, Ewald fut engagé par Hilbert comme scribe. Son devoir était de prendre des notes aux cours du Maître, de les faire approuver par l’assistant (à l’époque Ernst Hellinger), puis d’en mettre au net une copie pour la salle de lecture de mathématiques [WikiEw].
[3] L’équation d’onde s’écrit $\left( \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta_x \right) \Psi (x,t) = 0$, où $\Delta_x$ désigne le laplacien. Pour les solutions de la forme $\Psi(x,t) = \Phi(x) \varphi(t)$, la fonction des variables d’espace est solution d’une équation $\left( \Delta_x + \Vert k \Vert^2 \right) \Phi (x) = 0$.
[4] Par un expérimentateur habile ! qui par ailleurs peut déduire de la diffraction par rayons X une foule d’autre renseignements sur l’échantillon observé.
