Otra prueba del teorema de Pitágoras

Piste bleue Le 15 juin 2019  - Ecrit par  Andrés Navas
Le 14 juin 2019
Article original : Encore une preuve du théorème de Pythagore Voir les commentaires
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El teorema de Pitágoras no solo es válido para las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo. También vale si se dibujan triángulos, pentágonos, semicírculos y, en general, cualquier figura, a condición de que se respeten las formas y solo se cambie el tamaño. ¡Incluso hay un teorema de Pitágoras para hipopótamos !

Es muy probable que el teorema de Pitágoras sea el resultado más importante de la vieja matemática clásica. Una búsqueda rápida en Paisajes Matemáticos conduce a varios artículos en los que es tratado desde diferentes ángulos. En particular, algunas de sus demostraciones clásicas son discutidas aquí, aquí, aquí, aquí, aquí, aquí y aquí.

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El pastel del logo de este artículo representa otra de las pruebas más famosas (haz click sobre la imagen de la izquierda para activar el video correspondiente). De entre todas, esta es la que más me gusta, no solo por su sencillez sino también por razones ’’sentimentales’’. Como suele suceder, mi profesor de liceo nunca explicó el porqué del teorema, sino que solo lo redujo a una fórmula algebraica útil (¿ ?) para calcular la longitud de un lado de un triángulo rectángulo a partir de las de los otros dos (y así sentirnos felices al resolver correctamente un ejercicio rutinario en algún examen...) Esta demostración apareció en un libro de historia de las matemáticas que por fortuna llegó a mis manos y despertó mi pasión por la geometría.

En fin, creo que todos a quienes nos apasiona la matemática podemos relatar una historia similar y, de paso, confirmar este diagnóstico sobre la enseñanza de ella en la escuela. Algo de esto se menciona en este artículo, así como en su réplica, en lo que concierne específicamente a la geometría. Mi objetivo aquí no es entrar nuevamente en esta discusión (de la cual ya se ha dicho mucho en este sitio, aunque podría decirse aún muchísimo más), sino referirme concretamente a una demostración muy poco convencional del teorema. Para motivarla, una pregunta un tanto ’’ingenua’’ :

¿Cuántas demostraciones del teorema de Pitágoras existen ?

La respuesta (intencionalmente esquiva) es : muchas más de las que usualmente se enseñan. Una notable recopilación aparece en el libro The Pythagorean Proposition, obra (en inglés) de Elisha Loomis que data de 1927 y que contiene nada menos que 256 demostraciones diferentes (algunas un poco ’’cuestionables’’ pues requieren de conocimientos demasiado avanzados, como por ejemplo la última, que necesita geometría hiperbólica). Entre ellas, hay algunas que suelen ser atribuidas a personajes connotados de los tiempos ’’modernos’’, como Leonardo da Vinci, Benjamin Franklin y Albert Einstein (aunque estas atribuciones son también puestas en entredicho por los estudiosos del asunto).

Un compendio más interactivo (también en inglés) es este blog, que ya cuenta con más de 120 demostraciones diferentes. La prueba número 117 de este sitio —de mi autoría— data de 2016 y, tras revisar muchísima bibliografía sobre el tema, puedo afirmar sin temor que es totalmente original.

La idea del argumento nació buscando información sobre el teorema en internet para preparar una charla para estudiantes de liceo. En una página (que, lamentablemente, no he podido reubicar) me encontré con imágenes de este tipo.

Si recuerdo bien, estas iban acompañadas de una pregunta natural :

¿Es la suma de las áreas de las figuras sobre los catetos igual al área de la figura sobre la hipotenusa ?

Es posible que la respuesta no sea tan evidente para un estudiante de liceo ; inclusive, puede que —por precaución— un matemático profesional necesite de algunos largos segundos antes de responder. Y es que estamos tan habituados a ’’memorizar’’ y ’’repetir’’ el teorema como un resultado válido para ’’cuadrados’’ (construidos sobre los lados) que el cambiar dichas figuras por otras (triángulos, pentágonos, etc) puede desencadenar un bloqueo intelectual. Sin embargo, un momento de reflexión nos indica que el área de dichas figuras es proporcional a la de los cuadrados, con una constante de proporcionalidad que solo depende de la ’’forma’’ de la figura. Dicha constante no es otra que el valor del área de esta figura cuando es llevada a un tamaño tal que se apoya sobre un segmento de longitud 1, cubriendo exactamente su largo. De hecho, la figura no necesariamente debe ser poligonal : puede tener curvas, siluetas, etc. ¡Incluso puede ser la de un hipopótamo !

El teorema de Pitágoras para hipopótamos : la suma de las áreas de los hipopótamos sobre los catetos es igual al área del hipopótamo sobre la hipotenusa (este último también es llamado ’’hipotenupótamo’’ en algunos círculos pitagóricos modernos...)

Recíprocamente, debiese resultar evidente que para cualquier otra figura sobre los lados del triángulo rectángulo (hipopótamos, semicírculos, pentágonos regulares, triángulos equiláteros, etc), la igualdad entre el área de la que se erige sobre la hipotenusa con la suma de las áreas de aquellas sobre los catetos implica la validez del teorema de Pitágoras convencional (para cuadrados). En efecto, basta multiplicar cada miembro esta igualdad por la constante apropiada para volver a las áreas de los cuadrados respectivos.

¿Podrá darse una prueba ’’directa’’ para alguna de estas igualdades, es decir, un argumento que no pase por el hecho de que ya conocemos el teorema clásico ? Si se trata de figuras de contorno arbitrario, esto parece muy improbable. Sin embargo,
en este video y en este (ambos en inglés) hallarás simpáticas discusiones sobre esta demostración (la cual es, a menudo, atribuida a Einstein...) que se basa en una idea de este tipo. En este caso, ¡las figuras consideradas sobre cada lado son copias del triángulo original !

Si nos restringimos al caso de polígonos regulares erigidos sobre los lados de nuestro triángulo original (como aparece ilustrado arriba), sí es posible dar argumentos directos de prueba. A continuación presento uno para el caso de triángulos equiláteros que va en el espíritu de las demostraciones más clásicas del teorema. Como estamos en pleno siglo XXI, en lugar de transcribirla, la dejo en forma de video. Si fuesen necesarios, los detalles aparecen en el texto adosado aquí.

Y es así como, en pleno el siglo XXI, aún se puede aportar nuevo a la matemática de la Grecia [1] antigua : ¡una nueva prueba de un teorema de 2500 años de antigüedad ! (y tal vez muchos más).

Refrescante, ¿no ?

Problema 1 : Lo expuesto en este artículo puede ser complementado con el teorema de equidescomposición de Wallace-Gerwien-Bolyai, magníficamente desarrollado en este artículo. Al leerlo, aprenderás que si sobre los lados de un triángulo rectángulo se erigen figuras poligonales semejantes, entonces las que están sobre los catetos pueden ser cortadas en piezas poligonales que, rensambladas, cubren exactamente la figura de la hipotenusa. Implementa esto para figuras que sean pentágonos regulares, rectángulos áureos, triángulos equiláteros, etc.

Problema 2 : Si en un triángulo rectángulo se trazan las semicircunferencias con diámetro la hipotenusa y los catetos, la primera hacia dentro y las dos segundas hacia afuera, entonces las regiones comprendidas entre ellas son llamadas lúnulas de Hipócrates. Una propiedad fundamental (que verificarás rápidamente usando el teorema de Pitágoras) es que la suma de sus áreas es igual a la del triángulo original [2].
Pregunta : ¿cuándo son figuras semejantes las dos lúnulas ?

La suma de las áreas de las lúnulas (en celeste) es igual al área del triángulo rectángulo original (en azul).

Problema 3 : En la figura de los hipopótamos montados en un triángulo rectángulo, la suma de los volúmenes de los que están sobre los catetos, ¿es mayor, igual o menor al volumen del hipopotenupótamo ? (suponemos que los hipopótamos son reales —y por tanto tienen volumen— y semejantes unos con otros). ¡Esperamos tu respuesta en los comentarios del artículo !

Article original édité par Philippe Colliard

Notes

[1Debiésemos agregar también al antigua China, pues el teorema también surgió en oriente en una época remota, quizás anterior a la de Pitágoras...

[2Durante mucho tiempo, se pensó que, mejorando esta construcción, se llegaría en algún momento a cuadrar el círculo...

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Pour citer cet article :

— «Otra prueba del teorema de Pitágoras» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - Encontré la fotografía del logo de este artículo navegando en internet hace muchos años, y no pude reubicar el sitio ahora. Los dos videos presentados fueron desarrollados por Nicolé Geyssel. La imagen de los hipopótamos es debida a Macarena Reyes y Nicolás Libedinsky. La imagen de las lúnulas fue tomada desde http://vicmat.com/que-es-vicmat/

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