En estos días se hace imprescindible repensar los espacios públicos de modo que se cumplan las medidas de distanciamiento físico necesarias para evitar la propagación del coronavirus. En este artículo vimos que, cuando esto involucra distancias entre pocas personas, consideraciones elementales de geometría de triángulos permiten orientarnos.

¿Y qué sucede si consideramos muchas personas?

Encontré la ilustración de abajo visitando un artículo de la BBC que trata justamente sobre distanciamiento físico.

En ella, muchas personas se ubican cada una sobre un vértice de un cuadriculado, y una distancia mínima (digamos de $2 \, m$) es respetada entre ellas. Pero ¿es esta la mejor manera en que pueden ubicarse?

Ciertamente no: si las mismas personas se sitúan sobre los vértices de una división del terreno en triángulos equiláteros -como se ilustra abajo-, entonces se sigue respetando el distanciamiento físico (los lados de los triángulos miden también $2 \, m$), ¡pero se utiliza un área menor! En efecto, en el cuadriculado de arriba, grupos de 4 personas cercanas determinan un cuadrado de área $4 \, m^2$. En cambio, en la ilustración de abajo, grupos de 4 personas cercanas determinan un romboide compuesto por dos triángulos equiláteros, y el área de este romboide es $2 \sqrt{3} \, m^2 = 3,46... \, m^2$ [1]. ¡Hay un ahorro superior al 13 % de superficie!

Por lo tanto, si una manifestación pública debiese respetar las reglas de distanciamiento, entonces, al ubicar a las personas de acuerdo con la segunda ilustración en lugar de la primera, podríamos hacer participar a 13 más por cada grupo de 100 personas [2]..

¿Existe una manera mejor de ubicarse que sobre los vértices de una división triangular? La pregunta es poco precisa, pero el siguiente argumento sencillo debiese llevarnos a concluir que no: En un triángulo equilátero, la distancia máxima entre dos puntos se da exactamente entre los vértices [3]. Por lo tanto, si disponemos a las personas sobre un terreno de modo de que la distancia entre ellas sea al menos $2 \, m$ y luego trazamos una división triangular (de $2 \, m$ de separación) sobre este, entonces en cada triángulo puede quedar a lo más una persona, con la excepción de que dos o tres personas se ubiquen exactamente sobre (algunos de) sus vértices.

He aquí un enunciado preciso: Consideremos una superficie dividida en triángulos equiláteros de lados de longitud $d$, como la ilustrada más abajo. Si queremos ubicar puntos sobre esta superficie a distancia al menos $d$ unos de otros, ¿cuál es la máxima cantidad de puntos que podemos colocar?

Me tomó un momento más largo de lo esperado llegar a una prueba convincente de que la cantidad máxima de puntos es igual a la de vértices de la configuración, y que dicha cantidad solo se alcanza cuando los puntos escogidos son exactamente estos vértices. Como estoy seguro de que mi demostración es demasiado complicada, dejaré esta Nota abierta aquí para recibir sus argumentos en los comentarios.

Puede pensar en esto en compañía de un buen café y algunas naranjas, a modo de inspiración ;)