Otro teorema de distanciamiento físico

Le 9 août 2020  - Ecrit par  Andrés Navas
Le 10 août 2020
Article original : Un autre théorème de distanciation physique Voir les commentaires
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¿Cómo ubicar la mayor cantidad posible de personas en la menor superficie posible respetando el distanciamiento físico exigido por las autoridades para enfrentar la epidemia ?

En estos días se hace imprescindible repensar los espacios públicos de modo que se cumplan las medidas de distanciamiento físico necesarias para evitar la propagación del coronavirus. En este artículo vimos que, cuando esto involucra distancias entre pocas personas, consideraciones elementales de geometría de triángulos permiten orientarnos.

¿Y qué sucede si consideramos muchas personas ?

Encontré la ilustración de abajo visitando un artículo de la BBC que trata justamente sobre distanciamiento físico.

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En ella, muchas personas se ubican cada una sobre un vértice de un cuadriculado, y una distancia mínima (digamos de $2 \, m$) es respetada entre ellas. Pero ¿es esta la mejor manera en que pueden ubicarse ?

Ciertamente no : si las mismas personas se sitúan sobre los vértices de una división del terreno en triángulos equiláteros -como se ilustra abajo-, entonces se sigue respetando el distanciamiento físico (los lados de los triángulos miden también $2 \, m$), ¡pero se utiliza un área menor ! En efecto, en el cuadriculado de arriba, grupos de 4 personas cercanas determinan un cuadrado de área $4 \, m^2$. En cambio, en la ilustración de abajo, grupos de 4 personas cercanas determinan un romboide compuesto por dos triángulos equiláteros, y el área de este romboide es $2 \sqrt{3} \, m^2 = 3,46... \, m^2$ [1]. ¡Hay un ahorro superior al 13 % de superficie !

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Por lo tanto, si una manifestación pública debiese respetar las reglas de distanciamiento, entonces, al ubicar a las personas de acuerdo con la segunda ilustración en lugar de la primera, podríamos hacer participar a 13 más por cada grupo de 100 personas [2]..

¿Existe una manera mejor de ubicarse que sobre los vértices de una división triangular ? La pregunta es poco precisa, pero el siguiente argumento sencillo debiese llevarnos a concluir que no : En un triángulo equilátero, la distancia máxima entre dos puntos se da exactamente entre los vértices [3]. Por lo tanto, si disponemos a las personas sobre un terreno de modo de que la distancia entre ellas sea al menos $2 \, m$ y luego trazamos una división triangular (de $2 \, m$ de separación) sobre este, entonces en cada triángulo puede quedar a lo más una persona, con la excepción de que dos o tres personas se ubiquen exactamente sobre (algunos de) sus vértices.

He aquí un enunciado preciso : Consideremos una superficie dividida en triángulos equiláteros de lados de longitud $d$, como la ilustrada más abajo. Si queremos ubicar puntos sobre esta superficie a distancia al menos $d$ unos de otros, ¿cuál es la máxima cantidad de puntos que podemos colocar ?

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Me tomó un momento más largo de lo esperado llegar a una prueba convincente de que la cantidad máxima de puntos es igual a la de vértices de la configuración, y que dicha cantidad solo se alcanza cuando los puntos escogidos son exactamente estos vértices. Como estoy seguro de que mi demostración es demasiado complicada, dejaré esta Nota abierta aquí para recibir sus argumentos en los comentarios.

Puede pensar en esto en compañía de un buen café y algunas naranjas, a modo de inspiración ;)

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Post-scriptum :

Agradezco a María José Moreno por haber producido dos de las imágenes de esta Nota.

Article original édité par Andrés Navas

Notes

[1Recuerde la famosa fórmula del área $A$ de un triángulo equilátero de lado $a$, a saber, $A = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

[2Atención : si en lugar de triángulos dibujamos hexágonos (regulares), entonces ubicando a cada persona al centro de uno de estos hexágonos obtenemos una configuración equivalente (las redes triangular y hexagonal son duales una de la otra).

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Es por esta razón que, por estos días, se puede hallar hexágonos trazados en el suelo de muchas ciudades. Esta imagen fue tomada en una esquina de Santiago (de Chile) :
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[3Más generalmente, el segmento más largo contenido en un polígono convexo debe coincidir con una de sus diagonales o con uno de sus lados (¡intente probar esto !).

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Pour citer cet article :

— «Otro teorema de distanciamiento físico» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - Ignoro a quién pertenece la imagen de entrada de esta Nota (la encontré navegando en Facebook en la página de una persona de iniciales M. K.). La imagen de las naranjas en configuración hexagonal fue tomada desde este sitio. La imagen de los triángulos/hexágonos de la nota al pie de página fue tomada de este sitio, y la de Santiago de un periódico que incluye un artículo sobre el tema.

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