¿Para qué sirve eso ?

Piste verte Le 20 janvier 2010  - Ecrit par  Michèle Audin
Le 6 juin 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
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Con una regla y un compás, uno sabe dibujar triángulos equiláteros, cuadrados, pentágonos regulares, hexágonos regulares... ¿Por qué ? ¿Y para qué hacerse esa pregunta ?

Para dibujar un triángulo equilátero, yo trazo un segmento (negro, en la figura de abajo), mido la longitud de ese segmento con mi compás, coloco la punta en un extremo del segmento, trazo un arco de círculo (azul, en la figura), y hago lo mismo con el otro extremo del segmento (en rojo). Si lo hice bien, los dos arcos de círculo se cortan en un punto. Debido a la manera en que lo construí, la distancia de ese punto a cada uno de los extremos del segmento es igual a la longitud del segmento, y el punto junto con los dos extremos son los tres vértices de un triángulo equilátero.

Aprendí eso en la escuela primaria. Ahí también aprendí a dibujar rosetones con mi compás, como el de la figura, y por lo tanto también hexágonos regulares.

En mi estuche, además de la regla con la cual dibujaba los segmentos y el compás que servía para los círculos, yo tenía un tercer instrumento ’’geométrico’’, un transportador. Con ese transportador yo sabía dibujar ángulos de medida dada. Por ejemplo, para dibujar un pentágono regular, comenzaba por hacer una división : 360 grados (todo el círculo) dividido por 5 (¡el número de lados del pentágono !), lo que hace 72, y dibujaba ángulos de 72 grados con mi transportador, gracias a los cuales obtenía el pentágono deseado.

Más tarde aprendí a dibujar pentágonos regulares solamente con mi regla y mi compás, sin usar el transportador. Esta es una manera de hacerlo.

Como ve, hay muchas etapas de construcción, por lo tanto, trazos auxiliares. Con el espesor del lápiz, el resultado ciertamente es menos preciso que el que yo obtenía con mi transportador. Pero, incluso cuando el resultado era menos bueno, yo estaba muy satisfecha por saber hacerlo así, y sobre todo por saber que era posible.

En realidad, hoy en día -y para los artículos de ese sitio- yo lo hago con un programa computacional gráfico, como usted lo habrá sospechado. Indico el número de lados, 3, 6, 5, no importa qué cantidad, digamos 7 o 17 [1], y este es el resultado :

¿Por qué hablar de esto aquí (si el tema es la investigación actual) y ahora (tanto tiempo después) ? Bueno, veamos...

Un asunto sin interés práctico. Se comprende que el asunto de saber si se puede dibujar un polígono regular de $n$ lados solamente con una regla y un compás no tiene un interés práctico. Y ya no lo tenía a fines del siglo XVIII, cuando Gauss construyó -con una regla y un compás- un polígono regular de 17 lados : él no usó un programa gráfico (aunque, por supuesto, tenía un buen transportador). Sin embargo, se dio el trabajo de demostrar que, si el número de lados tiene una cierta forma (5 y 17 son de esta forma), entonces se puede construir el polígono con la regla y el compás.

La falta de interés práctico persistía cuarenta años más tarde, cuando Wantzel demostró que si ese número no tenía la forma correcta, no se podía. Por ejemplo, con 7 no se puede [2].

¿Para qué sirve eso ? Versión 1

Si se le hubiera hecho la pregunta a Gauss... (pero ¿uno le habría hecho la pregunta ?) él habría podido responder -como lo hizo Jacobi no mucho tiempo después, y como fue repetido muchas veces luego- que se hacía ’’para el honor del espíritu humano’’ [3].

¿Para qué sirve eso ? Versión 2

Yo dedico la conclusión de este pequeño artículo a todos los lectores que igual querrían saber para qué sirve eso que hacen los matemáticos, y a todos los matemáticos que temen que uno les haga la pregunta. Después de todo yo soy una funcionaria, el Estado paga mi salario, y por lo tanto debo tomarme en serio esta pregunta.

Por supuesto hay matemáticos que trabajan directamente para aplicaciones inmediatas. De lo que hablo en este artículo es más bien de lo que se llama la investigación fundamental. Esta se interesa en asuntos que -como la construcción de polígonos con regla y compás- no tienen interés práctico evidente.

Si yo elegí hablar de polígonos, es precisamente porque estoy hablando con doscientos años de distancia [4], lo que me permite responder a la pregunta ’’¿para qué sirve eso ?’’ a posteriori. En los cuarenta años que han transcurrido entre la construcción de los polígonos por Gauss (lo que uno puede hacer) y la demostración de lo que uno no puede hacer, se ha inventado la ’’Teoría de grupos’’ (’’se’’ quiere decir Galois y Abel), que es la herramienta importante en la demostración de Wantzel. Y esta invención ha provocado un desarrollo de las matemáticas de la cual depende casi todo lo que se ha hecho después. Pese a que mucha gente no lo sabe (incluso entre los matemáticos), numerosos objetos y herramientas que usamos todos los días utilizan esas matemáticas de manera esencial (aunque sea escondida). El sistema GPS, por ejemplo, pero también los teléfonos móviles, los autos e incluso... las modernas máquinas lavadoras de ropa (cuyo funcionamiento no se limita a calentar el agua y hacer girar el tambor) : hay ahora computadores en muchos de los objetos y herramientas de la vida diaria, y no hay computador sin código, ni código sin álgebra.

Esta es, por lo tanto ,una rama del árbol que fue tema aquí que -lo sabemos bien- doscientos años después dio frutos inesperados.

El hecho de que uno sepa exactamente para qué va a servir eso no prueba que eso no sirve para nada.

Article original édité par François Sauvageot

Notes

[1No porque sean los números de Queneau, que por cierto no lo son.

[2Los números $n$ con los cuales se puede dibujar un polígono regular de $n$ lados con una regla y un compás son aquellos que se escriben bajo la forma de una potencia de 2 multiplicada por un producto de números primos de la forma $2^{2^n}+1$ (números primos de Fermat) todos distintos. Por ejemplo, $5=2^2+1$, $17=2^{2^2}+1$, pero no $7$.

[3Una respuesta que ya no vale...pero tal vez lo volverá a hacer en el futuro.

[4Para ser del todo honesta, es también porque este asunto del transportador o no transportador es uno de los que me han impresionado desde hace tiempo, cuando yo también tenía un transportador. Las matemáticas sirven (todavía) para darles placer a los matemáticos.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «¿Para qué sirve eso ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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