Partage et régionnement du plan

De l’algèbre qui devient géométrique !

Piste rouge Le 11 novembre 2020  - Ecrit par  Aziz El Kacimi Voir les commentaires (3)

Le partage et le régionnement affines du plan sont des thèmes recommandés en classe de seconde comme notions d’approfondissement dans le chapitre inéquations linéaires . C’est une bonne chose ! Le but de ce texte est d’en exposer des éléments avec application à la résolution graphique de quelques problèmes d’optimisation sous contraintes de fonctions linéaires. Une géométrie du plan simple et très appréciée par les élèves !

Lambert s’est fait offrir un lopin de terre, et la liberté de le choisir à son gré. Sans attendre, il
se rend au meilleur endroit des alentours du village et délimite, par une solide clôture et de façon quelque peu aléatoire, un grand terrain.
Son bien est alors protégé,
et personne ne peut y accéder sans traverser, d’une manière ou d’une autre, les quatre cents mètres de barbelés
qu’il a dressés tout autour.
Sans aucun doute, Lambert a donc en tête, comme beaucoup d’autres, le
théorème de Jordan - qu’il applique merveilleusement de façon inconsciente - : toute courbe fermée simple
du plan partage celui-ci en deux régions, l’une bornée appelée intérieur et l’autre, non bornée, appelée extérieur
.
Et c’est ce qu’il a fait. (L’énoncé du théorème de Jordan est intuitif et simple mais sa preuve ne l’est pas du tout ! Voir ici.)

\[\text{Intérieur ? Extérieur ? Un regard de quelques secondes est a priori nécessaire.}\]

Le partage du plan est un thème riche mais vu sous l’angle topologique évoqué, il est un peu ardu. Nous nous contenterons d’en parler de façon plus élémentaire en
nous limitant au cas où la courbe en question est formée de morceaux de droites. C’est le partage et le régionnement affines du plan.

J’ai appris ces choses en classe de 5ème (au Lycée Tarik à Azrou, Maroc). Début des années 1980, j’ai eu à
les enseigner en 2ème année AES (Administration Économique et Sociale) à l’Université de Lille III, et ça passait bien.
Récemment (dans les années 2010), j’ai fait quelques séances d’exercices là-dessus en Licence et Master de Mathématiques
à l’Université de Valenciennes. Et curieusement, c’est chez les étudiants de ces formations que j’ai relevé le plus de difficultés. Sont-ce
les conséquences de la dégradation qu’a subie l’enseignement de la discipline — allègement des programmes, des volumes horaires, abandon de la réflexion et du raisonnement au bénéfice des recettes et des automatismes — depuis que certains politiques au pouvoir
s’en sont mêlés fin des années 1980 ? Oui,
sans aucun doute !

1. Partage par une droite

La réforme de l’enseignement des mathématiques à la fin
des années 1960 s’est attaquée à presque tout. Plus particulièrement, la géométrie était dans le viseur
des nouveaux faiseurs de programmes : ils tenaient absolument à la formaliser, l’algébriser et la vider ainsi de tout ce qu’elle avait au-dessus du reste.
Ils disaient que c’était la meilleure façon de la rendre compréhensible, surtout aux élèves de collèges. Pas besoin de commentaire, d’autres s’en sont déjà chargés :
jugeons-en par exemple par ce petit billet paru à l’époque dans le bloc-notes du journal Le Huron.

« L’affine enivrante : Extrait du projet mitonné, au ministère de l’éducation guichardienne, par la commission des programmes de mathématiques de la classe
de 4ème des lycées et pour le début du cours de géométrie.

Structure affine sur une droite : Un ensemble ${\cal D}$ est appelé droite affine
réelle lorsqu’à tout couple ${\cal R}=(O,i)$ de points distincts de ${\cal D}$ est associée une bijection
unique $f_{\cal R}$ de ${\cal D}$ sur l’ensemble des points réels vérifiant $f_{\cal R}(0)=0$ et $f_{\cal R}(i)=1$ et cela de telle manière que, si
${\cal R}'$ est un autre couple de points distincts de ${\cal D}$, il existe deux nombres réels $a$ et $b$ (avec $a\neq 0$) tels que l’on ait
pour tout point $M$ de ${\cal D}$ : $f_{{\cal R}'}(M)=af_{\cal R}(M)+b$.

Un tel couple ${\cal R}$ s’appelle repère de ${\cal D}$ et $f_{\cal R}(M)$ l’abscisse de $M$ dans ce repère.

Archimède, alors ! Pour pondre des trucs comme ça, à l’usage de gosses de 4ème, il faut être rudement fort en maths.
Mais peut-être rien qu’en maths... »

Même si tout ce qui se réformait en France était exporté presque immédiatement au Maroc, je n’ai pas eu personnellement à subir cela et j’ai échappé au bazar :
au moment où ça a été instauré je venais juste de dépasser le niveau à partir duquel la réforme a commencé à s’appliquer.
D’autre part, l’enseignant auprès de qui j’ai appris pour la première fois ce qu’est une droite avait un sens du concret.
Je me rappelle qu’il évoquait un fil tendu ou, mieux encore, il nous demandait de prendre une feuille de papier et de la plier en deux.
« Regardez le pli, c’est ça une droite  ! » nous disait-il. (Qu’y a-t-il de plus droit qu’un tel pli ? Qu’auraient répondu les puristes ?)
Et cela ne faisait que me conforter dans ce que je pensais déjà et par
ce que je voyais dans l’atelier de menuiserie de mon père que je fréquentais souvent après les cours : sa grande règle par exemple, qu’il utilisait
pour tracer les traits « droits » au crayon noir. Pour moi, la réalité vivante était plus forte que les axiomes.

Ceci étant, il faut tout de même partir de quelque part et commencer par quelque chose. C’est certain, on ne définit un nouvel objet qu’à partir d’objets qu’on connaît déjà.
Ici, on ne refera pas l’histoire : on partira de la notion de vecteur (ou segment orienté) qu’on suppose acquise avec tout ce qui tourne autour.

Dans tout le texte ${\cal P}$ sera un plan vectoriel muni d’un repère $(O,\overrightarrow i,\overrightarrow j)$. Tout point $M$ de ${\cal P}$ (vu comme plan affine)
sera repéré par ses coordonnées $(x,y)$ dans ce repère. Au besoin, on se donnera un produit scalaire sur ${\cal P}$ et, éventuellement, notre repère sera orthonormé.

1.1. Équation d’une droite

Une droite ${\cal D}$ du plan ${\cal P}$ est définie par un point $A$ et un vecteur non nul $\overrightarrow \omega $. C’est l’ensemble des points $M\in {\cal P}$ tels
que $\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow \omega $ où $\lambda $ décrit le corps des réels ${\Bbb R}$.

Soient $(x_0,y_0)$ les coordonnées de $A$ et $\pmatrix{u\cr v}$ celles du vecteur $\overrightarrow \omega $ (avec l’une au moins non nulle) dans la base $(\overrightarrow i,\overrightarrow j)$.
L’égalité $\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow \omega $ devient :

\[\cases{x-x_0=\lambda u\cr y-y_0=\lambda v}\]

avec $\lambda $ décrivant ${\Bbb R}$. Si on suppose $u$ non nul, la première égalité donne $\lambda ={{x-x_0}\over u}$. En reportant ceci dans la deuxième,
on obtient $v(x-x_0)-u(y-y_0)=0$, c’est-à-dire $ax+by+c=0$ avec $a=v$, $b=-u$ et $c=-(vx_0-uy_0)$. Inversement, toute équation de la forme
$ax+by+c=0$ (avec l’un au moins des deux réels $a$ ou $b$ non nul) définit une droite dans le plan ${\cal P}$.

De même, un plan ${\cal H}$ dans l’espace ${\cal E}$ est défini par un point $A$ et deux vecteurs linéairement indépendants $\overrightarrow \omega $
et $\overrightarrow \eta $ : c’est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow \omega +\mu \overrightarrow \eta $ avec $\lambda ,\mu \in {\Bbb R}$.
Le lecteur peut vérifier facilement que l’équation
de ${\cal H}$ dans un repère $(O, \overrightarrow i, \overrightarrow j, \overrightarrow k)$ est de la forme $ax+by+cz+d=0$ avec l’un au moins des nombres $a$, $b$ ou $c$ non nul.

1.2. Mesure algébrique

On munit la droite ${\cal D}$ du repère $(A,\overrightarrow \omega )$. Soient $M$ et $N$ deux points
de cette droite. Il existe alors $\lambda ,\mu \in {\Bbb R}$ uniques tels que $\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow \omega $ et $\overrightarrow{AN}=\mu \overrightarrow \omega $.
D’où $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=(\mu -\lambda )\overrightarrow \omega $. Le nombre réel $\mu -\lambda $
est appelé mesure algébrique du vecteur $\overrightarrow{MN}$ sur la droite ${\cal D}$ relativement au repère $(A,\overrightarrow \omega )$ ; on la note $\overline{MN}$.

Cette mesure algébrique dépend bien sûr
du repère $(A,\overrightarrow \omega )$. Par contre, on peut montrer (laissé en exercice au lecteur) que si on se donne quatre points
$M,N,M',N'$ sur la droite ${\cal D}$, le rapport ${{\overline{MN}}\over {\overline{M'N'}}}$ n’en dépend pas. C’est ce qui permet l’énoncé du théorème
de Thalès indépendamment de tout repère.

1.3. Partage par une droite

Soit ${\cal D}$ une droite d’équation $ax+by+c=0$ avec $b\neq 0$. (On peut aussi bien traiter la situation en supposant $a\neq 0$.)
Posons $f(x,y)=ax+by+c$ et intéressons-nous au signe de cette quantité.

Comme $b\neq 0$, on peut mettre $f$ sous la forme $f(x,y)=b\left( y +{a\over b}x+{c\over b}\right) $ ; ou encore si on pose $\alpha =-{a\over b}$ et
$\beta = -{c\over b}$ :

\[f(x,y)=b(y-(\alpha x+\beta )).\]

Comme $f(x,y)=0$ si, et seulement si, $y=\alpha x+\beta $, la droite ${\cal D}$ est le graphe de la fonction $x\in {\Bbb R}\longmapsto \alpha x+\beta =y\in {\Bbb R}$.

Soit $M$ un point de ${\cal P}$ de coordonnées $(x,y)$. La droite $\Delta $ passant par $M$ et dirigée par le vecteur $\overrightarrow j$
coupe l’axe des abscisses en $N$
et la droite ${\cal D}$ en $H$. (La droite $\Delta $ sera munie du repère $(N,\overrightarrow j)$.)
Les points $N$ et $H$ ont respectivement pour coordonnées $(x,0)$ et $(x,\alpha x+\beta )$. On a alors :

\[f(x,y)=b(y-(\alpha x+\beta ))=b(\overline{NM}-\overline{NH})=b\overline{HM}.\]

Si $M$ est dans le demi-plan ouvert grisé, $\overline{HM}>0$ et donc $f(x,y)$ est du signe de $b$. Si $M$ est dans l’autre demi-plan
ouvert (position $M'$ sur le dessin), $\overline{HM}<0$
et donc $f(x,y)$ est du signe contraire à celui de $b$.

Conclusion : La droite ${\cal D}$ d’équation $ax+by+c=0$ partage son complémentaire dans le plan en deux demi-plans ouverts
disjoints ${\cal P}_+$ et ${\cal P}_-$ de telle sorte que
 :

(i) Sur ${\cal P}_+$ la quantité $ax+by+c$ est strictement positive.

(ii) Sur ${\cal P}_-$ la quantité $ax+by+c$ est strictement négative.

1.4. Régionnement du plan

Nous nous contenterons d’étudier cela sur un exercice. D’autres exemples apparaîtront dans l’application à
l’optimisation de fonctions linéaires. Pour simplifier, et bien que ce ne soit pas nécessaire, le repère $(O,\overrightarrow i,\overrightarrow j)$
sera orthonormé.

Déterminer la région $\Omega $ du plan ${\cal P}$ définie par le système d’inéquations linéaires :

\[\cases{-x+8y \leq 36 \cr {}\cr -5x+2y \leq 28 \cr {}\cr 4x+13y \geq -37 \cr {}\cr 10x+3y \leq 55.}\]

Soient ${\cal D}_1$, ${\cal D}_2$, ${\cal D}_3$ et ${\cal D}_4$ les droites définies comme suit :

$\bullet $ ${\cal D}_1$ a pour équation $-x+8y=36$ ;

$\bullet $ ${\cal D}_2$ a pour équation $-5x+2y=28$ ;

$\bullet $ ${\cal D}_3$ a pour équation $4x+13y=-37$ ;

$\bullet $ ${\cal D}_4$ a pour équation $10x+3y=55$.

Pour $i=1,2,3,4$, la droite ${\cal D}_i$ partage le complémentaire du plan en deux demi-plans ouverts : l’inéquation correspondante
est satisfaite sur l’un et ne l’est pas sur l’autre. Comme le point $O=(0,0)$ n’est sur aucune des quatre droites, il suffit de savoir où il se situe par rapport à chacune d’elles (du bon côté ou du mauvais côté).
Dans notre situation, $O$ est toujours du bon côté ! La région $\Omega $ cherchée est donc l’intersection des quatre demi-plans contenant l’origine (c’est le
quadrilatère grisé dans le dessin ci-dessous).

2. Optimisation de fonctions linéaires

Les applications qu’on peut faire du régionnement du plan ne sont pas uniquement purement géométriques. On peut aussi en user dans l’optimisation
de certaines fonctions économiques lorsqu’elles s’expriment linéairement en les variables.
Comme dans la sous-section 1.3. ce sera encore sous forme d’un exercice. Une occasion de pointer les difficultés qui se posent aux étudiants
dans ce genre de maths.

Problème. Une entreprise de meubles fabrique des tables $(T_1)$ de salle à manger et des tables $(T_2)$ de cuisine en utilisant
trois machines $M_1$, $M_2$ et $M_3$.
Pour fabriquer une table $(T_1)$ il faut utiliser $M_1$ pendant $1$ heure, $M_2$ pendant $1$ heure et $M_3$ pendant $3$ heures. Pour une
table $(T_2)$ il faut $1$ heure de $M_1$, $2$ heures de $M_2$ et $1$ heure de $M_3$.

Les contraintes sont que, pour la période à venir, les machines $M_1$, $M_2$ et $M_3$ ne sont respectivement disponibles que $60$ heures, $90$ heures et $150$ heures.

Sachant qu’une table $(T_1)$ rapporte $200$ euros et qu’une table $(T_2)$ rapporte $100$ euros, déterminer ce que doit produire l’entreprise pour réaliser le bénéfice
maximal. Que sera ce bénéfice ?

J’ai traité cet exercice début des années 1980 en deuxième d’AES (en Fac de lettres !) et tout s’est bien passé. Mais quand je l’ai proposé en Licence 3 (ces récentes dernières années), les étudiants n’ont pas manqué d’avoir un moment d’étonnement semblant dire « Que vient faire tout ça
dans un cours de géométrie ?
 » Je leur ai demandé de patienter et de s’atteler plutôt à modéliser le problème. Et c’est là-dessus que le plus souvent ils calent. Ils
ont de grosses difficultés à « mathématiser » un tel texte : quelles sont les inconnues ? Quelle quantité faut-il
optimiser (c’est-à-dire minimiser ou maximiser) ? Sous quelles conditions ?...? Il fallait donc y aller doucement, sans sauter d’étapes, et avec une lecture attentive de l’énoncé !

$\bullet $ Le bénéfice attendu par l’entreprise est fonction du nombre $x$ de tables $(T_1)$ et le nombre $y$ de tables $(T_2)$. Ce bénéfice est
une fonction du couple $(x,y)$ qui s’écrit $b(x,y)=200x+100y$ et s’exprime en euros. Maximiser $b(x,y)=100(2x+y)$
revient en fait à maximiser $f(x,y)=2x+y$.

Le couple $(x,y)$ d’entiers naturels (mais que nous traiterons en tant que réels positifs) ne varie pas librement, il est soumis à des contraintes.

$\bullet $ Le nombre d’heures total d’utilisation de la machine $M_1$ est $x+y$, de la machine $M_2$ est $x+2y$ et celui de la machine $M_3$ est $3x+y$.
On doit donc avoir les contraintes : $x+y\leq 60$, $x+2y\leq 90$ et $3x+y\leq 150$ en plus de $x\geq 0$ et $y\geq 0$.

En résumé, le problème est le suivant :

Maximiser $f(x,y)=2x+y$ sous les contraintes :

\[\cases{x+y\leq 60 \cr x+2y\leq 90 \cr 3x+y\leq 150\cr x\geq 0\cr y\geq 0}\]

C’est ce qu’on appelle un programme linéaire (on écrit (PL) en abrégé). Nous allons le résoudre graphiquement par régionnement du plan comme on l’a vu dans
la section 1. Voilà ce qui justifie la présence d’un tel exercice en géométrie plane !

Les solutions du (PL) sont données par les couples $(x,y)$ qui vérifient les contraintes et qui maximisent la fonction $f$. Les points $M$ du plan ayant
pour coordonnées $(x,y)$ doivent donc
habiter dans une certaine région $\Omega $. En procédant géométriquement de la même façon que dans la sous-section 1.3,
on montre que $\Omega $ n’est rien d’autre que le polygone ci-dessous qu’on appelle
polygone des solutions réalisables.

Pour avoir les solutions effectives, on considère la droite $\Delta $ d’équation $2x+y=b$ où $b$ est un réel choisi par exemple de telle sorte que $\Delta $ coupe $\Omega $.
Les points $M=(x,y)$ de $\Delta $ qui sont aussi sur $\Omega $ donnent la valeur $b$ à la fonction $f$. On pousse alors $\Delta $ le plus possible en augmentant
$b$ jusqu’à ce qu’elle soit complètement sur le bord de $\Omega $. Il est facile de vérifier que le dernier point de $\Omega $ par lequel passe $\Delta $
avant d’aller vers l’extérieur est le point $A$, intersection des deux droites ${\cal D}_1$ et de ${\cal D}_3$. Il est unique, ses coordonnées sont les solutions du système :
\[\cases{x+y=60\cr 3x+y=150}\]
c’est-à-dire $x=45$ et $y=15$. L’entreprise doit donc fabriquer $45$ tables $(T_1)$ et $15$ tables $(T_2)$ pour avoir le bénéfice maximal de
$b=200\cdot 45+100\cdot 15 =10.500$ euros.

Les étudiants ont bien compris et apprécié cette méthode géométrique qui a permis de résoudre un problème d’économie qui, a priori, en était un peu loin.

3. Problème des trois routes

On munit notre plan ${\cal P}$ d’un produit scalaire pour y avoir la notion de longueur. Pour deux points $U$ et $V$, la notation
$UV$ désigne la longueur du segment $[UV]$ (qui est aussi la distance entre $U$ et $V$).

Problème. Soit $ABC$ un triangle non dégénéré et ayant tous ses angles aigus (de mesure inférieure ou égale à ${\pi \over 2}$). Soit $M$ un point à l’intérieur ou sur le bord de ce triangle. On note
$D$, $E$ et $F$ les projections orthogonales de $M$ respectivement sur les côtés $BC$, $AC$ et $AB$ et on pose $d=MD+ME+MF$.
Déterminer les positions de $M$ où $d$ atteint son maximum et son minimum.

On peut interpréter ce problème comme la recherche de la distance totale optimale d’un point à l’intérieur d’un champ triangulaire à trois routes (les côtés
$AB$, $BC$ et $CA$) qui l’entourent.
Il se pose sur le plan ${\cal P}$ et fait intervenir des longueurs de segments. Nous allons
le mettre sous forme affine mais dans l’espace ${\cal E}$. Nous le résoudrons alors graphiquement et de façon dynamique comme nous
l’avons fait sur le plan dans la section 2.

On pose $a=BC$, $b=CA$ et $c=AB$ et on note $x$, $y$ et $z$ les longueurs respectives des segments $[MD]$, $[ME]$ et $[MF]$. Comme notre triangle
n’est pas dégénéré, les trois réels $a$, $b$ et $c$ sont strictement positifs. On désigne par $h$, $k$ et $\ell $ les hauteurs issues respectivement des sommets $A$, $B$ et $C$ ;
ce sont aussi des réels strictement positfs.

$\bullet $ L’aire ${\cal A}$ du triangle $ABC$ est la somme des aires des triangles $MBC$, $MCA$ et $MAB$ i.e. ${\cal A}={{ax}\over 2}+{{by}\over 2}+{{cz}\over 2}$.
Les nombres $x,y,z$ vérifient donc la relation $ax+by+cz=\alpha $ où $\alpha $ est la constante $2{\cal A}$. Ceci force aussi $x$, $y$ et $z$ à vérifier $x\leq h$, $y\leq k$ et $z\leq \ell $.

$\bullet $ Inversement, soient $x$, $y$ et $z$ trois réels positifs tels que $ax+by+cz=2{\cal A}$.
Du côté du triangle $ABC$ on trace la parallèle $\delta_1$ à la droite $(BC)$
à une distance $x$ de celle-ci ; de même, $\delta_2$ sera la parallèle (du côté du triangle) à $(AC)$ et à une distance $y$ de celle-ci. Comme les droites
$(BC)$ et $(AC)$ ne sont pas parallèles (elles se coupent en $C$), $\delta_1$ et $\delta_2$ se coupent en un point $M$ (intérieur au triangle ou sur son bord puisque $x\leq h$ et $y\leq k$).

Soit $F$ la projection orthogonale de $M$ sur le côté $AB$. Un calcul passant par l’aire du triangle $MAB$ et la relation $ax+by+cz=2{\cal A}$
donne presque immédiatement $MF=z$. Les nombres réels $x$, $y$ et $z$ sont donc les distances d’un point intérieur à $ABC$ respectivement aux trois côtés $BC$, $CA$ et $AB$.

Conclusion : On peut représenter l’ensemble des points $M$ par le triangle $\Delta $ dans ${\Bbb R}^3$ dessiné ci-dessous.

$\bullet $ On suppose $ABC$ équilatéral, c’est-à-dire $a=b=c$. Alors la relation $ax+by+cz=\alpha $ devient $x+y+z={\alpha \over a}$, donc la quantité
$d=x+y+z$ est constante, égale à la hauteur $h=k=\ell $ du triangle. Désormais, $ABC$ sera non équilatéral tel que par exemple $a\geq b>c$. Donc $h\leq k< \ell $
(puisque $h={\alpha \over a}$, $k={\alpha \over b}$ et $\ell ={\alpha \over c}$).

$\bullet $ On cherche à optimiser la quantité $d=x+y+z$ (minimum, maximum) sur le triangle $\Delta $. On va en fait examiner géométriquement sa variation.
Pour $d\in {\Bbb R}$, la relation $x+y+z=d$
définit un plan affine ${\cal H}_d$ dans ${\Bbb R}^3$ de direction le plan vectoriel d’équation $x+y+z=0$.

$\bullet $ Pour $d=0$, ${\cal H}_0$ passe par l’origine et n’intersecte pas le triangle $\Delta $. Lorsque $d$ croit, ${\cal H}_d$ se déplace en restant parallèle
à ${\cal H}_0$ ; il commence à toucher $\Delta $ au point $(h,0,0)$ qui donne donc le minimum $h$ de la quantité $d=x+y+z$. Le point $M$ est alors en $A$.
Quand $d$ passe de $h$ à $k$, $M$ est au point $B$ et finalement $d$ arrive au maximum autorisé $\ell $ lorsque $M$ est en $C$. Pour $d>\ell $, le plan ${\cal H}_0$
ne touche plus $\Delta $. On peut voir les trois étapes principales sur les dessins qui suivent.

Ce problème est une source pédagogique très bénéfique, en plus d’être facile à comprendre et à enseigner. Il montre
bien l’intérêt que peut avoir la pratique de la géométrie élémentaire.

Quand la situation le permet, le maître et l’apprenti gagneraient beaucoup à mettre du visuel dans tout raisonnement qu’ils mènent.

Post-scriptum :

P. Levallois et Sébastien Peronno ont fait une relecture attentive de ce texte. C’est suite à leurs remarques et suggestions que je l’ai retouché pour une meilleure mise en forme. Je les en remercie.

Article édité par Aziz El Kacimi

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Pour citer cet article :

Aziz El Kacimi — «Partage et régionnement du plan» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Commentaire sur l'article

  • Partage et régionnement du plan

    le 5 novembre à 11:37, par orion8

    Bonjour, ce genre de problème a été abordé pendant des années en lycée général, parfois dès la classe de seconde, et surtout dans l’ex filière ES, particulièrement en option puis en spécialité. Je m’étonne que cela pose problème à des étudiants de L3 !

    Un petit problème électoral, qui avait été abordé avec des « spé maths ES », qui avaient de la géométrie dans l’espace à leur programme :
    A, B, C et D sont les 4 candidats à l’élection présidentielle. Au premier tour, les résultats sont les suivants : A réalise un score de 30 %, B fait 15 %, C fait 35 % et D se contente de 20 %.
    Seuls les 2 candidats A et C, arrivés en tête, peuvent se maintenir au 2d tour.
    On admet qu’au 2d tour :
    • il n’y a pas de nouveaux électeurs ;
    • les électeurs ayant voté pour A ou C ne modifient pas leur vote ;
    • parmi les électeurs ayant voté B au 1er tour, une proportion $x$ accorde ses suffrages à C, une proportion $y$ ($y > x$) se reporte sur A, le reste s’abstenant ;
    • parmi les électeurs ayant voté D au 1er tour, une proportion $z$ vote pour C, le reste s’abstenant.
    Question : quelle est la plus petite valeur de $x$ garantissant l’élection de C, même si A obtient le maximum possible et C le minimum ?
    Saurez-vous montrer que c’est 0,375 (soit 37,5 %) ? Le score de A ne peut alors pas dépasser 42,5 %.
    Autre question : existe-t-il une plus petite valeur de $y$ garantissant l’élection de A ?

    PS concernant la définition d’une droite affine : j’ai enseigné e genre de définition délirante (pour le secondaire, bien sûr, pas pour le supérieur) à des 4èmes en tout début de carrière, au début des années 1980 !

    Répondre à ce message
    • Partage et régionnement du plan

      le 5 novembre à 14:03, par Aziz El Kacimi

      Bonjour,

      Merci pour votre commentaire !

      « Je m’étonne que cela pose problème à des étudiants de L3 ! »

      Et pourtant c’est vrai. Ça s’est accentué pendant les dernières années où j’étais encore en fonction que ce soit en L3 ou en Master : jetez un coup d’œil (pages 15 et 25) aux commentaires que j’ai quelquefois fait sur des corrigés de DS : ici). C’est une réalité, une bien triste réalité !

      Bien cordialement,

      Aziz El Kacimi

      Répondre à ce message
  • Partage et régionnement du plan

    le 5 novembre à 12:45, par orion8

    rectificatif : « ce genre de définition ». J’en profite pour joindre la représentation dans l’espace des contraintes, moyennement réussie j’en conviens !

    Document joint : capture-2.png
    Répondre à ce message

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