Partage

Piste verte Le 22 novembre 2008  - Ecrit par  François Sauvageot Voir les commentaires

Partage et équité

Comment partager équitablement ?

On pourrait penser que les mathématiques apportent une réponse simple et sans ambiguïté à cette question. Pourtant la notion même d’équité n’est pas une notion mathématique, mais sociale. Et c’est là que s’opposent différents modèles, différentes conceptions de l’équité.

Prenons un exemple issu de la cour d’une école. Les enfants aiment jouer aux billes de la façon suivante : chacun place sa bille à une bonne distance de l’autre, le premier joueur tente de toucher la bille de l’autre, puis c’est au tour du second et ainsi de suite. Celui qui y parvient gagne la bille de son opposant.

Si les billes sont assez éloignées au départ, les chances sont à peu près égales de l’emporter et ne dépendent pas de qui joue le premier.

Supposons donc qu’un enfant n’ait presque plus de billes et propose à un-e camarade de s’associer. Ils mettent ainsi leurs billes en commun. Disons par exemple qu’Alanis apporte 24 billes et Nikita 4 billes.

Au bout d’un certain temps, ils ont bien joué et se retrouvent avec 42 billes. Il est temps de partir en vacances et que chacun reprenne ses billes. Oui, mais comment partager équitablement ?

Quelques réponses

Voici quelques réponses naturelles, que proposeront des enfants, ou même des adultes, confrontés à cette situation.

  • Une alliance est une alliance et donc les partenaires font « moit-moit », soit 21 billes chacun. Et il faut remarquer qu’Alanis est perdante dans cette alliance bien que le duo ait gagné des billes ...
  • On fait « moit-moit », d’accord, mais seulement sur les gains ! Ce qui fait 31 billes pour Alanis et 11 pour Nikita.
  • Au départ Alanis avait 6 fois plus de billes que Nikita, à la fin ça doit être pareil. Ce qui fait 36 billes pour Alanis et 6 pour Nikita.
  • On répartit les gains proportionnellement à ce que chacun a apporté. Comme Alanis a apporté 6 fois plus de billes, on répartit les 14 billes gagnées en 12 pour Alanis et 2 pour Nikita. Il faut remarquer que cette méthode conduit en fait au même résultat que la précédente.

Quelle est la plus juste ?

Si la logique et le calcul algébrique sont l’hygiène du modèle mathématique, là ne réside pas sa pertinence. Autrement dit toutes les réponses sont correctes si les calculs que l’on fait par la suite sont corrects ! Les mathématiques ne disent pas quelle méthode est plus juste. Il faut en fait se mettre d’accord AVANT entre partenaires.

C’est le principe des contrats de mariage.

Dans le cas qui nous intéresse, l’hygiène mathématique consiste à savoir faire des additions, des soustractions, des divisions par deux et, dans les deux derniers cas, des règles de proportionnalité.

Et les maths ?

Néanmoins un peu de maths peut aider à anticiper des situations qui pourraient se révéler problématiques si on n’y a pas réfléchi avant.

Si par exemple le nombre de billes final n’est pas un multiple de 7, on ne pourra donner à Alanis 6 fois plus de billes qu’à Nikita. Comment fera-t-on ? Il faut le décider avant !

Et si, plutôt que de gagner des billes, on en a perdu ? La deuxième méthode peut très vite ne plus avoir de sens ! Si par exemple le duo termine avec 10 billes, c’est-à-dire qu’il en a perdu 18, comment Nikita pourrait enlever 9 billes des 4 qu’il avait au départ ?

Comment se faire une opinion ?

Si on écarte les sentiments, qui peuvent évidemment conduire à vouloir partager indépendamment de son propre profit, chacun des partenaires peut réfléchir pour savoir s’il a intérêt à faire une alliance et, en fonction de l’intérêt de chacun, répartir les gains ou les pertes.

Concrètement, si deux joueurs jouent assez longtemps en ayant à chaque partie une chance sur deux de remporter la bille de l’autre, ils sont dans une situation bien étudiée en probabilités : celle de la ruine du joueur.

La conclusion est simple : celui qui a le plus de billes est celui qui a le plus de chance de l’emporter. Et plus l’écart entre les joueurs est important plus la chance de gain du joueur majoritaire est importante.

Ainsi si Alanis prévoit de ne jouer que contre des adversaires ayant nettement moins de billes qu’elle, s’allier avec Nikita ne lui apportera pratiquement rien. Il en est de même si elle joue avec des adversaires ayant nettement plus de billes. Par contre, si elle joue contre quelqu’un ayant par exemple 26 billes, l’alliance lui permet de passer d’une situation perdante à une situation gagnante !

Autrement dit : la pertinence de l’alliance est fonction des adversaires.

Bien évidemment les alliances habituelles, comme les mariages par exemple, ne se font pas en ces termes et on comprend qu’on leur adjoigne la petite phrase « Pour le meilleur comme pour le pire » !

Les modèles sont multiples, les mathématiques permettent de trouver plusieurs réponses à la même question et donc de se forger plusieurs opinions tout aussi valables les unes que les autres, mais attention ces opinions ne sont pas arbitraires. On ne peut pas en déduire que n’importe quelle opinion est valable !

Article édité par François Sauvageot

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Pour citer cet article :

François Sauvageot — «Partage» — Images des Mathématiques, CNRS, 2008

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