Pelota redonda

Piste verte Le 17 juillet 2018  - Ecrit par  Michèle Audin
Le 8 mars 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Ballon rond Voir les commentaires
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Uno juega al fútbol... ¡pero no siempre mira la pelota !

Una pelota de fútbol, como la mostrada en el logo de este artículo, está formada por pedazos de cuero (o de otro material) cosidos entre ellos. Mirando atentamente [1], uno se da cuenta que todos esos trozos no tienen la misma forma. Algunos tienen cinco lados, son pentágonos, en negro sobre el logo ; otros tienen seis lados, son hexágonos, en blanco.

Ocurre con frecuencia (yo hablo de la vida diaria, no de las matemáticas) que uno encuentra hexágonos unidos, por ejemplo, bajo la forma de piezas de embaldosado. En esta imagen, los hexágonos se acoplan para recubrir una superficie plana, tan grande como uno quiera, por cierto.

Les propongo a los lectores un experimento : dibujar en cartón hexágonos ’’regulares’’, es decir, como los que usted ve en la pelota, con todos sus lados de igual longitud, y tratar de ensamblarlos. Dibujar un hexágono regular con un compás es muy fácil, y como la figura ya ha sido mostrada en este sitio, no cuesta tanto reproducirla. Aquí está entonces.

Dibujar cinco, recortarlos y ensamblarlos con cinta adhesiva, como en la figura siguiente [2].

Una pelota redonda, una superficie plana...

Ahora puede agregar usted un sexto hexágono y cerrar una flor con seis pétalos en el plano alrededor de un agujero hexagonal, o bien puede terminar su composición sin agregar nada más ; en el último caso, la forma ya no es plana, y forma un agujero pentagonal, el cual también es regular.

Uno puede seguir ensamblando hexágonos alrededor de esta flor y formar una figura... que se parece mucho a una pelota de fútbol [3].

Entre paréntesis, esta construcción es efectivamente muy fácil de hacer [4] por dos razones :

— primero, uno no dibuja los pentágonos, que son simplemente agujeros pentagonales (y los lectores de este artículo lo comprendieron : un pentágono regular es menos fácil de dibujar que un hexágono regular) ;

— luego, armar la ’’pelota de fútbol’’ con cinta adhesiva se hace muy fácilmente, incluso por personas torpes como yo, gracias a esos agujeros por los cuales uno puede pasar los dedos.

Los colores de esta ’’pelota’’ de cartón se deben a la imaginación del niño que la realizó. Dedico este artículo a los niños que juegan al fútbol y se apasionan por la construcción del modelo en cartón, sin necesidad de molde ni modelo.

La construcción utiliza veinte hexágonos y deja doce agujeros pentagonales [5].

Pero, ¿por qué hablar entonces de este tipo de cosas en Paisajes Matemáticos ?

Primero, porque el hecho de que uno no pueda hacer una pelota sólo utilizando hexágonos es un verdadero teorema de matemáticas o, al menos, una aplicación de un verdadero teorema de matemáticas. Esto nos pareció claro ’’experimentalmente’’ porque ’’uno veía bien’’ que, usando solo con hexágonos, uno solo iba a lograr figuras planas. ¿Pero si uno hubiera utilizado hexágonos menos regulares ? Y además -para nosotros los matemáticos- ’’uno ve bien’’ no es un argumento. Necesitamos demostrar : si no lo consigo, no es (solamente) porque soy torpe, sino porque no se puede conseguir.

Aquí la demostración se basa en una fórmula de Euler [6]. Esta dice que, para un volumen como el de un cubo o una pelota de fútbol -lo que se llama un poliedro convexo [7], con caras (cuadradas para el cubo, hexagonales o pentagonales para la pelota de fútbol), ’’aristas’’ (los lados de esas caras) y vértices (los extremos de esas aristas)- se tiene siempre entre los números $C$ de caras, $A$ de aristas y $V$ de vértices la relación
\[C-A+V=2.\]

Aquí hay algunos ejemplos. Para un cubo, que tiene seis caras, doce aristas y ocho vértices, se tiene
\[C-A+V=6-12+8=2.\]

Para una pirámide, que tiene cinco caras (los cuatro triángulos, de los cuales vemos dos frente a nosotros en la fotografía, y el cuadrado horizontal), ocho aristas y cinco vértices (los del cuadrado y el de arriba),
\[C-A+V = 5-8+5 = 2.\]
Dejo a las lectoras y lectores divertirse verificando que esta relación es verdadera para los poliedros que conocen. Para nuestra pelota de fútbol, con sus doce pentágonos y sus veinte hexágonos, es menos fácil, pero se tiene
\[C-A+V = 32-90+60=2.\]

Gracias a esta fórmula se puede demostrar que no es posible que un poliedro convexo tenga todas sus caras hexagonales. Y también que -si se utiliza solo hexágonos y pentágonos para fabricar un poliedro- debe haber exactamente doce pentágonos.

La fórmula no dice nada sobre el número de hexágonos necesarios. Uno podría por cierto pasar por alto completamente los hexágonos. Por ejemplo, un dodecaedro regular está formado por doce pentágonos (y es todo).

¿Plano o curvo ?

La fórmula de Euler prohíbe ’’solo-hexágonos’’ para un poliedro, pero no para el plano (para suerte para los embaldosados y los comerciantes de baldosas). Tiene por lo tanto relación con el hecho de que el poliedro ’’se parece’’ a una esfera, un objeto curvo. Y en efecto, está ligada al hecho de que, sobre una esfera, la suma de los ángulos de un triángulo es siempre mayor que 180º (vea por ejemplo este artículo).

Los fulerenos (o fullerenos)

En la naturaleza, los átomos de carbono se organizan de diferentes maneras, en especial en redes hexagonales planas (el caso del grafito). En 1985 se puso en evidencia una molécula formada por sesenta átomos de carbono ordenados en los vértices de doce pentágonos y veinte hexágonos... exactamente la pelota de fútbol. Esta molécula $C_{60}$, fue el primer fulereno [8]. Hay otros fulerenos, más grandes, más complicados o menos regulares.

¿Por qué hablar de una pelota de fútbol en Paisajes Matemáticos ?

Porque es un objeto hermoso, porque hay matemáticos que hablan de fútbol, y porque uno no puede jugar fútbol sin pelota.

Pero también porque la fórmula de Euler para los poliedros posee generalizaciones que llevan a nociones de geometría y de topología, desde luego muy avanzadas como para ser descritas aquí, pero muy útiles, como por ejemplo la conjetura de Poincaré, el problema de un millón de dólares ... [9]

¿Y la Copa del Mundo 2010 ?

Bueno, la pelota oficial 2006 estaba formada por catorce pedazos, cuya forma dejo a usted investigar y descubrir (si usted leyó bien lo anterior, ha comprendido que esos pedazos no son pentágonos ni hexágonos), y la del 2010 ¡es incluso más extravagante !

Post-scriptum :

El dodecaedro proviene del sitio Wikipedia y el fullereno del sitio site ya mencionado.

Article original édité par François Sauvageot

Notes

[1Me toca ver regularmente a los estudiantes asombrarse por no haber notado nunca esta propiedad. Juegan al fútbol...¡pero ni siquiera miran la pelota !

[2Por supuesto, se puede también dibujar los cinco hexágonos directamente con una regla y un compás...

[3Elegí no colocar un ’’molde’’ con caras enumeradas : es mucho más fácil ’’pegar’’ los hexágonos... sin seguir un modelo, imitando la ’’flor’’ formada por el ensamblado de los cinco primeros.

[4Yo hice que muchos niños la fabricaran hace una docena de años, durante talleres el sábado en la mañana (en esa época se iba a la escuela algunos sábados).

[5Si $m$ es el número de hexágonos y $n$ el número de pentágonos, se tiene $F=m+n$ (es el número total de caras), $2A=6m+5n$ (es el número total de aristas, recordando que cada arista es común a dos caras), y $3S=2A$ (se ha supuesto, sin decirlo, que en cada vértice uno había unido tres caras). La fórmula de Euler da
\[m+n-\frac{6m+5n}{2}+\frac{6m+5n}{3}=2.\]
Los $m$ desaparecen, luego no hay restricción para el número de hexágonos, y la fórmula da $n=12$.

[6que ya fue tema en este sitio, por ejemplo aquí

[7Para simplificar, un poliedro convexo es un poliedro que ’’se parece’’ a una esfera, en el sentido de que cuando se le infla, se convierte en una pelota y no en un neumático, por ejemplo.

[8Los descubridores Harold Kroto, Robert Curl y Richard Smalley fueron recompensados con un Premio Nobel en 1996.

[9cuyo ’’resolvedor’’, Grigori Perelman, no lo quiere.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Pelota redonda» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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