Pequeño panorama del vocabulario matemático

Le 28 septembre 2012  - Ecrit par  Yves Lafont
Le 9 juin 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Petit panorama du vocabulaire mathématique Voir les commentaires
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En 1966, Jean-Pierre Serre publicó una obra titulada Álgebras de Lie semi-simples complejas [S-66]. Según Etienne Ghys, que interrogó al autor, éste no se había dado cuenta que su título era un oxímoron … ¡al menos para los profanos ! En efecto, el iniciado sabe bien que el adjetivo ’’complejo’’ no significa que el tema sea arduo, sino que hace referencia al cuerpo de números complejos. De igual modo, el adjetivo ’’simple’’ no significa que sea fácil : un álgebra de Lie se dice simple si todos sus ideales son triviales, y se dice que es semi-simple si todos sus ideales resolubles son triviales. Pero un ’’ideal trivial’’, ¿no es también un oxímoron ?

Si usted no ha comprendido todo, no se inquiete : ¡el autor de este artículo es también (semi-)novato en la materia ! Lo que ilustra esta anécdota es que los matemáticos utilizan las palabras con un sentido a veces alejado del que tienen en el lenguaje común. Aquí hay algunos ejemplos.

Cifras y números

El lenguaje corriente no distingue en absoluto las cifras de los números : se habla, por ejemplo, del ’’debate acerca de las cifras del desempleo’’. En matemáticas, solo hay 10 cifras : $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$. Estos símbolos, que nos llegaron de los árabes, fueron inventados por los indios. La cifra $2$, por ejemplo, puede ser identificada con el número que representa, pero $2012$ no es una cifra : ¡es un número ! En otras palabras, un número se escribe con (una o) varias cifras, tal como una palabra se escribe con (una o) varias letras.

De hecho existen muchos tipos de números :

  • Primero se tiene los enteros naturales (o positivos) : $0$, $1$, $2$, …, $2011$, $2012$, $2013$, … Estos números con conocidos desde hace siglos, salvo el cero, que fue introducido en el siglo VII por el matemático y astrónomo indio Brahmagupta.
  • Luego vienen los enteros relativos, que pueden ser negativos, como $-2$, y los números racionales, que se escriben bajo la forma de una fracción (en latín, ratio), como $3/2 = 1,5$. La distinción entre los números decimales, que tienen un desarrollo décimal finito, y los otros, como $2/3 = 0,666666…$, no es en absoluto pertinente para el matemático : depende de la elección, no canónica [1], de la base de numeración, en este caso $10$.
  • Después están los números reales, que son límites de secuencias de números racionales, como $\sqrt 2 = 1,414213…$, que es la diagonal de un cuadrado de lado $1$, y $\pi = 3,141592…$, que es el perímetro de un círculo de diámetro $1$. Se demuestra fácilmente que $\sqrt 2$ no es racional : se dice que es irracional... ¡pero esto no significa que esté listo para el asilo psiquiátrico ! Se demuestra, más difícilmente, que $\pi$ no es algebraico [2] : se dice que es transcendente, ¡pero esta ’’trascendencia’’ no tiene nada de metafísica !
  • Finalmente se tiene los números complejos, que se escriben bajo la forma $z = x + i y$, donde $x, y$ son números reales, e $i$ es una raíz cuadrada de $-1$.

Estos últimos números fueron introducidos en el siglo XVI por el italiano Girolamo Cardano, y luego rigurosamente descritos por su compatriota Rafael Bombelli. Primero llamados sofisticados, imposibles, o inexplicables, luego -en el siglo XVII- recibieron el nombre de imaginarios por el francés René Descartes. La notación ’’$i$’’, introducida en el siglo XVIII por el suizo Leonhard Euler, por cierto hace referencia a esta terminología [3]. Finalmente, estos números fueron rebautizados como complejos en el siglo XIX por el alemán Carl Friedrich Gauss. Estas palabras traducen una evolución en la comprensión del tema, pero esos números no son para nada ’’irreales’’. Tienen por cierto una interpretación geométrica natural : el plano complejo. Además, la construcción de los complejos a partir de los reales ¡es mucho más simple que la de los reales a partir de los racionales !

Dirección, sentido y orientación

Si usted le pregunta a un matemático la dirección de la panadería, tal vez le indicará la calle, ¡pero de seguro no el sentido en el cual debe tomarla ! Dicho de otra manera, una dirección está dada por una recta, y dos rectas paralelas definen la misma dirección, pero con dos formas de orientarla : en un sentido o en el otro. Una ’’dirección’’, en el sentido corriente, para el matemático se denomina una dirección orientada.

Si uno reemplaza la recta por el plano o el espacio, ya no se habla de sentido, sino de orientación. Eso es lo que permite distinguir un objeto de su imagen espejo : por ejemplo, un zapato izquierdo de un zapato derecho. Se puede definir la orientación para toda dimensión, con la condición de que esta sea finita. Esta noción es fundamental, especialmente en geometría diferencial y topología algebraica. En física matemática, la transformación correspondiente a la imagen espejo -que cambia la orientación- se llama paridad.

Discreto y continuo

En matemáticas se distingue los objetos continuos, como las funciones numéricas, las curvas y las superficies -que atañen más bien al análisis y a la topología-, de los objetos discretos, como los números enteros, las palabras y los grafos, donde la noción de continuidad está ausente. Los principales campos de las matemáticas discretas son la teoría de números (o aritmética), la combinatoria, la lógica matemática y la informática teórica. Sepa usted, sin embargo, que existe una teoría analítica de los números, que utiliza herramientas continuas para estudiar los objetos discretos que son los números enteros, y que -al revés- se utiliza modelos discretos para estudiar y resolver numéricamente problemas continuos, por ejemplo las ecuaciones en derivadas parciales.

Las matemáticas discretas, por lo tanto, ¡no se desarrollan en laboratorios secretos militares ! Desde luego, existen aplicaciones militares de las matemáticas : por ejemplo, la teoría de números y la geometría algebraica sobre los cuerpos finitos se aplican en la criptografía. Pero no se puede en absoluto desarrollar matemáticas en secreto : los coloquios y las publicaciones son vectores esenciales de la investigación fundamental.

Canónico, trivial y degenerado

Un objeto matemático donde la elección es evidente se llama canónico. Así, la descomposición canónica de un número entero es su escritura como producto de potencias de números primos : por ejemplo, $12 = 2^2 \times 3$. De igual forma, la base canónica del plano vectorial $\mathbb R^2$ está formada por vectores $\vec \imath = (1,0)$ y $\vec \jmath = (0,1)$. Por el contrario, la edad del capitán no es canónica : ¡la edad de la mucama del cura sí lo es... según el derecho canónico de la Iglesia !

En matemáticas se dice que una demostración es trivial cuando es evidente, ¡y no porque contenga alusiones vulgares o escabrosas ! Por supuesto, el matemático se interesa en las demostraciones no triviales, y de cierto modo uno llega a ser matemático el día en que comprende el sentido de la palabra ’’trivial’’ : ¡entonces puede darles miradas desdeñosas a quienes no lo han comprendido ! Del mismo modo, la ecuación $x^2 + y^2 = z^2$ tiene soluciones no triviales, como $(x, y, z) = (3, 4, 5)$, y soluciones triviales, como $(x, y, z) = (k, 0, k)$.
En general, una solución a la ecuación $x^n + y^n = z^n$ tal que $x, y, z \neq 0$ se dice que es no trivial. Para $n > 2$, esta ecuación diofántica no tiene soluciones enteras no triviales : es el famoso teorema de Fermat-Wiles.

Un objeto matemático se dice que es degenerado cuando uno de los parámetros que lo definen toma un valor crítico, típicamente nulo. Por ejemplo, un punto es un círculo degenerado, y dos rectas secantes forman una hipérbola degenerada. ¡En ningún caso es un insulto !

Para saber más sobre el origen de todas estas palabras, se puede consultar la obra de Bertrand Hauchecorne [H-03].

Citas

Para terminar, aquí hay dos ejemplos de juegos de palabras matemáticos :

  • Antes de haber dirigido -yo mismo- una enciclopedia, no tenía duda de que el error fuese tan imprevisible y multiforme, tenía incluso ’’suficiente confianza’’ en las obras llamadas ’’de referencia’’. Nunca había notado errores, por ejemplo. […] Ahora los descubro […] por todas partes, en los diccionarios más veteranos. Incluso en Bourbaki. Como yo se lo había señalado, él me respondió que era por humor que él lo había dejado, para distraer un poco al lector a la pasada. En lugar de ’’conjunto filtrante a la izquierda y a la derecha’’, dice ’’conjunto flirteante a la derecha y a la izquierda’’. [Q-63]
  • El objetivo de este trabajo es dotar al autor del grado de doctor en ciencias matemáticas y el conjunto $H(X$) de los sub-espacios analíticos compactos de $X$ de una estructura de espacio analítico. [D-65]

Referencias

[D-65] Adrien Douady, tesis de doctorado de estado, 1965.

[H-03] Bertrand Hauchecorne, Les mots et les maths, diccionario histórico y etimológico del vocabulario matemático, Ellipses, 2003.

[Q-63] Raymond Queneau, Bourbaki et les mathématiques de demain, Bords, Hermann, 1963.

[S-66] Jean-Pierre Serre, Algèbres de Lie semi-simples complexes, W.A. Benjamin, 1966.

Notes

[1El sentido de este adjetivo se explica más adelante.

[2Un número es algebraico si existen coeficientes enteros $a_0, a_1, a_2, …, a_n$, con $a_n \neq 0$, tales que $a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + … + a_n x^n = 0$. Por ejemplo, el numero $\sqrt 2$ es algebraico, ya que es solución de la ecuación $x^2 - 2= 0$.

[3Esta terminología está obsoleta, pero se le encuentra la huella en las dos expresiones siguientes : la parte imaginaria de un número complejo $z = x + i y$ es el número real $y$, y $z$ se dice que es imaginario puro si su parte real $x$ es nula, o sea, si es de la forma $i y$.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Pequeño panorama del vocabulario matemático» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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