Pequeños ordenamientos

Agrupamientos en pares

Piste bleue Le 26 avril 2016  - Ecrit par  Equipe de la rubrique « En sortant de l’école »
Le 23 août 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Petits arrangements Voir les commentaires
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Muchos problemas matemáticos pueden ser resueltos con la ayuda de una astuta división de los elementos de un conjunto estudiado en varias partes. La serie de tres artículos que les proponemos está dedicada a esta importante idea. El primer artículo trata de divisiones muy simples : los agrupamientos por pares. Las soluciones de los problemas-clave del artículo están en los bloques desplegables, para darle la posibilidad de tratar de resolverlos por sí mismo.
Se aconseja vivamente leer las soluciones antes de continuar con la lectura del artículo. Las soluciones de otros problemas no se dan hasta quince días después de la publicación del artículo para darle a usted tiempo de buscarlas.

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Problema 1. Dominós sobre un tablero

¿Se puede recubrir un tablero de 9 × 9 casilleros con dominós de manera que cada dominó cubra dos casilleros y que los dominós no se sobrepongan ?

Solución (leerla antes de continuar con el artículo).

No, eso es imposible. En efecto, supongamos que se logra recubrir el tablero de 9 × 9 con dominós de la manera pedida. Como cada dominó cubre dos casilleros, estos deben agruparse en pares, lo cual implica que el número total de casilleros es par. Ahora bien, el tablero de 9 × 9 contiene 81 casilleros, y el número 81 es impar. Esta contradicción muestra que no se puede recubrir el tablero de 9 × 9 con dominós de la manera solicitada.


La observación principal utilizada en la solución del problema 1 es la siguiente : si algunos objetos pueden ser agrupados en pares, entonces el número de objetos considerados es par. Esta idea nos ayudará a resolver también el siguiente problema.

Problema 2. Un cuadrado perfecto

La hermana pequeña de Laura eligió un número entero estrictamente positivo $N$ e hizo una lista de todos sus divisores positivos (incluyendo 1 y $N$). Ella le dijo a Laura que el número de divisores positivos de $N$ es impar. Laura afirma entonces que el número $N$ es forzosamente el cuadrado de un número entero. ¿Tiene Laura razón ?

Solución (leerla antes de continuar con el artículo).

Sí, Laura tiene razón. Agrupemos cada divisor positivo $d$ de $N$ con el divisor $N/d$. En general, estos dos divisores $d$ y $N/d$ son distintos, pero coinciden si $N = d^2$. De este modo, si $N$ no es un cuadrado perfecto, todos sus divisores positivos están agrupados en pares. Por el contrario, si $N$ es un cuadrado perfecto, entonces todos sus divisores positivos están agrupados en pares salvo uno : la raíz cuadrada de $N$. Por lo tanto, el número de divisores positivos de $N$ es par si $N$ no es un cuadrado perfecto, e impar si lo es.


Trate ahora de resolver dos problemas más usando la misma idea.

Problema 3. Los números afortunados

El número de un boleto está compuesto por 6 cifras (puede comenzar por uno o varios ceros). Tal número se llama afortunado si la suma de sus tres primeras cifras es igual a la suma de sus tres últimas cifras. Muestre que el número de números afortunados es par.

Solución.

Sea $R$ un número afortunado. Reemplazando cada cifra $r$ de $R$
por $9 - r$, se obtiene un número $\overline R$, que también afortunado.
Además, $\overline R$ es diferente de $R$ (cada cifra de $\overline R$ es diferente de la cifra correspondiente de $R$). Por lo tanto, los números afortunados pueden ser agrupados en pares $(R,{\overline R})$. En consecuencia, la cantidad de números afortunados es par.

Problema 4. Escuela de cocina

En una escuela de cocina hay 100 alumnos. Todas las mañanas, el director de la escuela designa un equipo de tres alumnos que debe preparar el almuerzo para toda la escuela. En cierto momento, el director de la escuela asegura que todo alumno de la escuela ha hecho equipo con cualquier otro alumno exactamente una vez. Muestre que el director se equivoca.

Solución.

Consideremos un alumno $E$ de la escuela. Si él hizo equipo con todo otro alumno exactamente una vez, entonces los otros alumnos de la escuela pueden ser agrupados en pares, donde cada par está formado por alumnos $A$ y $B$ tales que los alumnos $E$, $A$ y $B$ han formado un equipo. Por lo tanto, el número de otros alumnos debe ser par. Ahora bien, ese número es igual a $99$. Esta contradicción muestra que el director se equivoca.


Pasemos ahora a problemas un poco más complicados.

Problema 5. Una gran diagonal

La gran diagonal $D$ vincula el ángulo de abajo a la izquierda con el ángulo de arriba a la derecha de un tablero de 25 × 25 casilleros. En cada casillero se ha colocado uno de los números 1, 2, … , 25 de manera tal que :

— dos casilleros cualesquiera simétricos en relación a $D$ contengan números iguales ;

— en cada línea del tablero, todos los números sean distintos de a dos.

Muestre que todos los números colocados en los casilleros de la gran diagonal $D$ son distintos de a dos.

Solución (leerla antes de continuar con el artículo).

Ya que en cada línea del tablero todos los números son distintos dos a dos, el tablero contiene veinticinco números 1, veinticinco 2, ... , veinticinco números 25. Los números 1 colocados en el tablero fuera de la gran diagonal $D$ pueden ser agrupados en pares : los dos números de cada par se encuentran en casilleros simétricos en relación a $D$. Por lo tanto, la cantidad de números 1 colocados en el tablero fuera de $D$ es par. En consecuencia, al menos un número 1 está colocado en un casillero de $D$.
De manera similar, se muestra que los casilleros de la gran diagonal $D$ contienen al menos un número 2, al menos un número 3, … , al menos un número 25. Ya que la gran diagonal $D$ está formada por 25 casilleros, se ve que todos los números colocados en los casilleros de $D$ son distintos de a dos.


Señalemos que en la solución del problema 5, el agrupamiento por pares concierne solamente a una parte de los números colocados en el tablero (los números colocados fuera de la gran diagonal $D$). Aquí hay aún algunos problemas cuya solución utiliza la misma idea.

Problema 6. Pequeños cubos

Varios cubos pequeños y del mismo tamaño están pegados entre ellos. Todos los pegados se hicieron entre las caras enteras de los cubos. La superficie del objeto contenido, ¿puede estar compuesta por 2013 caras de cubos pequeños ?

Solución.

Escribamos $\; n$ como el número de pequeños cubos. El número total de caras de esos cubos (antes de pegarlos) es igual a $\; 6n$. En particular, este número es par. Las caras utilizadas en el pegado están naturalmente agrupadas en pares, y cada par está formado por dos caras pegadas una contra la otra.
Por lo tanto, el número de caras utilizadas en el pegado es par. En consecuencia, el número de caras sobre la superficie del objeto obtenido es también par, y no puede ser igual a 2013.

Problema 7. Veintiún peones

Veintiún peones son colocados en ciertos casilleros de un damero de 9 × 9 (a lo más un peón por casillero) de manera tal que el conjunto de peones es simétrico en relación a cada una de las dos diagonales del damero.
Demuestre que un peón está ubicado en la casilla central del tablero.

Solución.

Elijamos una diagonal $D_1$ del damero y mostremos que el número de peones sobre esta diagonal es impar.
En efecto, el conjunto de todos los peones es simétrico en relación a $D_1$.
Entonces, los peones colocados fuera de $D_1$ pueden ser agrupados en pares : los dos peones de cada par se encuentran en casilleros simétricos en relación a $D_1$. Por lo tanto, el número de peones colocados fuera de $D_1$ es par.
Ya que el número total de peones es impar, esto implica que el número de peones sobre la diagonal $D_1$ es impar.
El conjunto de peones es igualmente simétrico en relación a la otra diagonal $D_2$ del damero. Por lo tanto, el conjunto de peones colocados sobre $D_1$ es simétrico en relación al centro del damero.
Como este conjunto está formado por un número impar de peones, se obtiene que uno de esos peones debe encontrarse en el casillero central del damero.


La idea de agrupamiento por pares puede también ser utilizada en otros contextos (no necesariamente para mostrar que el número de objetos considerados es par).

Problema 8. Monedas

Cien monedas, entre las cuales hay solamente piezas de 1 o 2 euros, están alineadas sobre una mesa. El valor total de esas cien monedas es estrictamente superior a 150 euros. Muestre que -entre esas monedas- se puede encontrar dos piezas vecinas de 2 euros.

Solución (leerla antes de continuar con el artículo).

Señalemos que el valor total de esas cien monedas es igual a $100 + N$, donde $N$ es el número de piezas de 2 euros de nuestra colección. Ya que el valor total de las cien piezas es estrictamente superior a 150 euros,
se tiene $N > 50$.
Agrupemos las cien monedas en 50 pares : la primera moneda con la segunda, la tercera con la cuarta, y así sucesivamente. Ya que $N > 50$, hay al menos un par cuyas dos monedas son de 2 euros.

Problema 9. Una mesa para cien personas

Cien personas están sentadas y repartidas de manera regular alrededor de una mesa redonda. Entre estas cien personas, las mujeres son más numerosas que los hombres. Muestre que en esa mesa se puede encontrar dos mujeres sentadas una frente a la otra.

Solución.

Agrupemos en pares a las cien personas sentadas alrededor de la mesa :
cada par está formado por dos personas sentadas una frente a la otra.
Si ningún par está formado por dos mujeres, el número de mujeres sentadas alrededor de la mesa es inferior o igual al número de hombres, lo que contradice la hipótesis.

Problema 10. Divisible por p

Sea $p$ un número primo estrictamente superior a 2. Sean $m$ y $n$ dos números enteros tales que
\[ \frac{m}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{p - 1}\;. \]
Mostrar que el número $m$ es divisible por $p$.

Solución.

El número $p$ es impar, por lo tanto el número de términos en la serie
\[ 1, \; \frac{1}{2}, \; \frac{1}{3}, \; \ldots \; \frac{1}{p - 1} \]
es par.
Agrupemos esos términos en pares :
$1$ y $\frac{1}{p - 1}$, $\frac{1}{2}$ y $\frac{1}{p - 2}$ etc.
En cada par, la suma de los dos números es de la forma $\frac{p}{i(p - i)}$, donde
$i$ es un número entero entre $1$ y $p - 1$.
Por lo tanto,
\[ \frac{m}{n} = \frac{pa}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (p - 1)}, \]
donde $a$ es un número entero.
Ya que $p$ es primo, el número $1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (p - 1)$
no es divisible por $p$.
En consecuencia, $m$ es divisible por $p$.


En la solución del siguiente problema, de nuevo el agrupamiento en pares concierne solo una parte de los objetos considerados.

Problema 11. Otra vez números afortunados

Muestre que la suma de todos los números afortunados (vea el problema 3) es divisible por 13.

Solución (leer).

Diremos que un número afortunado es un ’’duplicado’’ si es de la forma
\[ ABCABC, \]
donde las letras $A$, $B$ y $C$ designan cifras (que no son necesariamente diferentes de a dos).
Señalemos que
\[ ABCABC = 1000 \times ABC + ABC = 1001 \times ABC. \]
Por lo tanto, cada duplicado es divisible por 1001. Ya que
\[ 1001 = 7 \times 11 \times 13, \]
esto implica que cada duplicado es divisible por 13.

Un número afortunado que no es un duplicado no es necesariamente divisible por 13. Pero los números afortunados distintos de los duplicados pueden ser agrupados en pares :
\[ ABCDEF \]
forma un par con
\[ DEFABC. \]
Señalemos que
\[ ABCDEF + DEFABC = 1001(ABC + DEF). \]
Por lo tanto, en cada par, la suma de los dos números es divisible por 13.

En consecuencia, la suma de todos los números afortunados es divisible por 13.


Problemas a resolver por ustedes mismos

Problema 1. Un polígono simétrico

Consideremos un polígono que tiene 101 vértices y un eje de simetría.
Muestre que ese eje pasa al menos por un vértice del polígono
.

Problema 2. Divisible por 999

Muestre que la suma de números afortunados (vea los problemas 3 y 11) es divisible por 999.

Problema 3. Tres divisores

Entre los números enteros positivos que tienen exactamente tres divisores positivos cada uno, encuentre el número más cercano a 1000.

Problema 4. Tablero de 9 × 10 casilleros

Federico puso los números enteros de 1 a 90 en los casilleros de un tablero rectangular compuesto por 9 líneas horizontales, cada una con 10 casilleros exactamente.
Cada casillero del tablero contiene un número, y cada número entero entre 1 y 90 aparece una vez en el tablero. Federico asegura que dos casilleros cualesquiera simétricos en relación al eje de simetría vertical del tablero contienen números de la misma paridad. Muestre que se equivoca
.

Problema 5. Mil ampolletas

En un corredor de una escuela hay mil ampolletas enumeradas de 1 a 1000 con un interruptor debajo de cada ampolleta. Una mañana, todas las ampolletas están encendidas. El primer alumno pasa entonces por el corredor apretando todos los interruptores. Todas las ampolletas quedan apagadas después de su paso. Luego, el segundo alumno pasa apretando todos los interruptores con número par. Así, él enciende de nuevo una ampolleta cada dos. El tercer alumno pasa apretando los interruptores cuyo número es divisible por 3 ; el cuarto apreta los interruptores cuyo número es divisible por 4, etc. ¿Cuántas lámparas están encendidas después del paso del alumno número mil ?

Post-scriptum :

Los lectores están invitados a proponernos sus soluciones a los ’’Problemas a resolver por ustedes mismos’’. Las soluciones pueden ser redactadas como comentarios acerca del artículo o enviadas a la siguiente dirección :
ensortantdelecole images.math.cnrs.fr
Las mejores soluciones serán publicadas en la sección.

El equipo de la secciòn agradece a Nikita Itenberg por las ilustraciones que hizo para este artículo.

Article original édité par Equipe de la rubrique « En sortant de l’école »

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Pequeños ordenamientos» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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