Permutaciones malabarísticas

Piste verte Le 4 février 2012  - Ecrit par  Stéphane Lamy
Le 13 octobre 2020  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Permutations jonglistiques Voir les commentaires
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El estudio de las permutaciones de n objetos o -en lenguaje científico- de un grupo simétrico sobre n elementos, es en general ilustrado con ejemplos de una confusa banalidad : autos en espacios de estacionamiento, o peor, pares de calcetines en cajoneras. Aquí se trata de renovar el estilo, permutando campanas de iglesias o pelotas de malabarismo...

¿Tailor ?

« His passion - and it is a passion - finds its satisfaction in mathematical completeness and mechanical perfection, and [...] he is filled with the solemn intoxication that comes of intricate ritual faultlessly performed. » [1]

Hay una tensión, tanto en la práctica como en la enseñanza de las matemáticas, entre la belleza abstracta de las grandes teorías y la necesidad de dominar largos cálculos áridos... Sin embargo, incluso si a veces uno teme que lo segundo prevalezca sobre lo primero, en especial en la enseñanza secundaria, hay un placer por dominar perfectamente por ejemplo, la resolución de ecuaciones de segundo grado ($b^2 - 4ac$, de este modo comienza la canción infantil), o más tarde en la universidad, el cálculo de desarrollos limitados (DL, dicen en su jerga los estudiantes recién iniciados, a la fórmula llamada de Taylor) de las funciones más alambicadas.

Pero el extracto de arriba no se refiere a los fervientes practicantes del DL, y además se trata aquí de un Tailor con ’i’. En efecto, la cita proviene de un libro policial de los años 30, « The Nine Tailors », de una especialista del género que me parece un poco desconocida : Dorothy Sayers. Y la descripción se aplica a un grupo de change ringers...

¿Qué es esto del arte del change ringing, cuya traducción me cuesta encontrar ? De hecho, en la misma obra de D. Sayers se lee

« The art of change-ringing is peculiar to the English, and, like most English peculiarities, unintelligible to the rest of the world » [2].

No son, por cierto, los dos años que acabo de pasar en Inglaterra los que me han transformado en un especialista del asunto. A decir verdad, ni siquiera tuve la ocasión de observar con mis propios ojos a practicantes de este confidencial arte. Sin embargo, una noche que pasaba cerca de una iglesia al regresar del pub local de Allesley, Coventry, escuché lo que sin duda era una sesión de ensayo. Eso sonaba más o menos así [3] :

MP3 - 410.7 ko

Posiblemente esto no le sea inmediatamente familiar al oído, pero la práctica del change ringing es en esencia la puesta en aplicación de un problema matemático : ¿cómo enumerar sin repetir los elementos de un grupo simétrico ?

El grupo simétrico

Antes de proseguir, necesito presentar de manera más precisa este objeto que los matemáticos llaman el grupo simétrico.
Se trata de que -dado un cierto número n de objetos (por ejemplo, automóviles [4]) colocados bien en orden (por ejemplo, sobre los espacios de un estacionamiento [5])- se considere todas las maneras posibles de permutar esos objetos.

Para comenzar con buen pie un estudio matemático, es primordial dotarse de un buen sistema de notación.
Aquí, para notar de manera concisa nuestras permutaciones, tenemos a nuestra disposición dos posibles opciones : enumerar los automóviles, o enumerar los espacios de estacionamiento.

Para establecer las ideas, digamos que n es igual a 4 ; por lo tanto, uno tiene cuatro autos guardados sobre cuatro espacios de estacionamiento.
Nuestra primera opción sería escribir, por ejemplo, 4 1 3 2 para decir que el auto número 4 está en el primer espacio, el auto número 1 en el segundo espacio, el número 3 en el tercer espacio y finalmente el número 2 en el cuarto y último espacio. Observe que aquí se nota más bien el resultado de la permutación (a partir de una posición de inicio, por ejemplo 1 2 3 4 ), que la permutación misma. Uno puede pensar en ella como una notación estática, que especifica los estados.

La segunda opción sería utilizar una notación dinámica para explicar cómo pasar de un estado a otro. Aquí entonces uno va a notar las transiciones.
El principio es listar entre paréntesis los números de los lugares de estacionamiento (¡y ya no los autos !) que deben sufrir las permutaciones cíclicas. Se escribirá por ejemplo (1 2 4) para significar que el auto guardado en el lugar número 1 viene a reemplazar a aquél guardado en el lugar número 2. Y que este último va a tomar el puesto del auto guardado en el lugar número 4, el que a su vez irá al lugar número 1. Implícitamente, la notación especifica también que el auto en el lugar número 3 no se mueve.
Otro ejemplo : (1 4) (2 3) significa que uno cambia los autos a los lugares de estacionamiento números 1 y 4, y del mismo modo con los autos de los lugares 2 y 3.

Estos dos sistemas de notación son casi tan económicos de escribir, y no es claro cuál es mejor. De hecho, depende un poco del problema que usted quiera estudiar. Lo que parece cierto es que valdría más evitar utilizarlos al mismo tiempo, por el riesgo de enredarse irremediablemente...

El arte del Change Ringing

Por supuesto, los ingleses tocadores de campana que tienen la mente retorcida, no toman para nada en cuenta este peligro y utilizan las dos notaciones, cada una para un uso preciso.
Ellos enumeran sus n objetos de predilección (sus campanas por supuesto, no sus autos) de 1 (la más aguda) a n (la más grave).
Parece que un valor de n igual a 8 es típico (y denominado « Major »), pero para nuestra discusión nos quedaremos con n = 4 (que es apodado « Minimus »).

De este modo, la secuencia 4 1 3 2 se interpreta ahora como sigue : hacer sonar primero la campana 4, luego la 1, después la 3, y al final la 2.

La notación (1 4) (2 3) quiere decir ahora que las campanas que sonaban en 1a y 4a posiciones se intercambian, y lo mismo con la que sonaba en 2a y 3a posiciones.

¿Cuántos órdenes distintos hay para hacer sonar las 4 campanas ?
Esta es la lista completa...

... y esta es la forma en que procedí para encontrarlos : hay 4 posibilidades para la primera cifra (correspondiente a mis 4 columnas). Estando ya establecida, quedan 3 posibilidades para la segunda cifra. Estando establecida, no me quedan sino dos elecciones posibles para la tercera cifra, y en 4a posición yo coloco la única cifra restante. Al final tengo $4 \times 3 \times 2= 24$ opciones posibles. Si hubiera utilizado $n$ campanas, habría tenido $n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2$ opciones posibles, un número que se denota $n!$ y se llama factorial de n, con tendencia a ser muy grande muy rápidamente (trate de calcular 8 !, o 20 !, para que vea).

Restricciones

El principio de base del change ringing es tocar un juego de n campanas, accionadas por n personas, realizando cada uno de los posibles órdenes una y solo una vez [6].

Una restricción mecánica, que viene del hecho de que no es posible retrasar o adelantar el sonido de una campana por una duración muy larga, impone la siguiente regla : de una secuencia a la siguiente, las campanas pueden ver su número de orden adelantarse o retroceder en más de un rango. Ya es extraordinario que esta restricción sea realizable en la práctica (después incluso de algunos meses de entrenamiento, al parecer), si se considera que una campana puede pesar más de una tonelada y que está controlada manualmente por la persona mediante una simple cuerda [7]...

Ahora viene una restricción de memoria. Ya que la secuencia completa se toca sin partitura ni ayuda mnemotécnica de ninguna clase, es necesario que cada persona alterne los retrasos y los adelantos de la manera lo más regular posible. Esto se efectúa utilizando muy pocas transiciones distintas (típicamente, dos principales y una u otras dos excepcionales).

Finalmente, una restricción de naturaleza estética es que una campana no debería quedar más de 2 secuencias consecutivas sin retrasarse o adelantarse.

Generadores

Retomemos la lista de nuestras 24 permutaciones y notemos las transiciones que permiten pasar de una secuencia a la siguiente :

Se comprueba que ni la restricción mecánica ni la restricción estética son satisfechas.

Examinemos cómo las restricciones se traducen en términos matemáticos.

La restricción mecánica exige que uno utilice transiciones que cambian solo las posiciones vecinas : en el caso $n = 4$ no hay más que cuatro de tales transiciones a nuestra disposición, que son (12), (23), (34) y (12)(34).
Vemos que esas transiciones tienen la propiedad de llevarnos a nuestra posición inicial cuando se las aplica dos veces sucesivamente : tal permutación se llama una involución. Buscamos entonces engendrar el grupo simétrico con ayuda de involuciones, pero que son además muy especiales : por ejemplo (13) es una involución pero no es aceptable ya que exige cambiar el orden de la primera y tercera campanas en dos rangos, y no en uno solo [8].

La restricción de memoria exige enumerar los elementos del grupo simétrico aplicando nuestros generadores de la manera más monótona posible. Acerca de este punto (¡pero solo de éste !) nuestro primer intento de enumeración era casi satisfactorio.

Finalmente, la restricción estética corresponde más o menos a exigir que los generadores tengan grandes apoyos. El apoyo de una transformación es el conjunto de los lugares que son afectados por la transformación. Por ejemplo, el apoyo de (134) es el conjunto 1,3,4 y el apoyo de (12)(34) es el conjunto 1,2,3,4. Una manera segura de satisfacer esta restricción es, por ejemplo, utilizar la transición (12)(34) una vez por medio.

Para nuestro ejemplo de 4 campanas, esta es una posibilidad de responder simultáneamente a todas estas restricciones. Este método es conocido bajo el nombre de ’’Plain Bob Minimus’’. Ya sabemos que ’’Minimus’’ se remite al hecho de que hay 4 campanas. En cuanto a ’’Plain Bob’’ se remite a la secuencia de generadores elegida.

Imagino que usted arde por saber qué es lo que resulta cuando se lo toca con campanas de verdad. Afortunadamente, busqué y encontré para usted un sitio donde se puede hacer simulaciones.
El applet propone diversos métodos preprogramados (’’Cambridge Surprise Major’’ por defecto). Para nuestro Plain Bob Minimus usted necesitará copiar y pegar el código

X.14.X.14.X.14.X.12

en la parte de abajo del applet.

Hacer malabares con las campanas

Pero ¿qué relación hay con las pelotas de malabarismo anunciadas en el título ? Figúrese que hay un solo paso entre el change ringing y el malabarismo, en lo referido a los sistemas de notación al menos.

En su pequeña necesidad de matemática para uso de los malabaristas [9] (a menos que sea ¿al revés ?), Burkard Polster dedica un capítulo entero al change ringing. De hecho, como malabarista aficionado con una leve inclinación hacia la abstracción, numerosas problemáticas de enumeración en el grupo simétrico me eran ya familiares de manera empírica.

Necesitamos primero hacer un desvío para explicar las bases del sistema utilizado por los malabaristas para notar los ritmos, o lo que viene a ser lo mismo, las alturas de los lanzamientos sucesivos. En la jerga malabarística, el site swap.

Ya que ilustré mi discurso sobre el change ringing con el ejemplo de 4 campanas, tomemos de manera similar el ejemplo del malabarismo con 4 pelotas.

Si mis pelotas se llaman A, B, C, D, el malabarismo básico con 4 pelotas consiste en : lanzar A, lanzar B, lanzar C y atrapar A, lanzar D y atrapar B, lanzar A y atrapar C, lanzar B y atrapar D, lanzar C y atrapar A, lanzar D y atrapar B, etc, etc...

Se parece a esto [10] :

Comentemos que en el malabarismo básico con un número par de objetos (aquí 4), las pelotas no pasan de una mano a la otra, como lo dejan en evidencia los colores. Esto sorprende a menudo a los neófitos (es bastante menos evidente de ver, malabarismo a velocidad real con pelotas todas idénticas), y es cierto que el malabarismo con 3 o 5 pelotas es considerado por algunos como más estético.

Site swap

Para condensar la notación, se puede primero dejar de mencionar los ’’atrapamientos’’ : es obvio que las pelotas lanzadas deber ser atrapadas de vuelta, en la medida que se pueda. El tiempo (¡constante, no puede comprimirse !) que las pelotas pasan por una mano antes de cada lanzamiento también puede quedar implícito en la notación. Otra convención implícita se deriva del hecho que los malabaristas tienen la mayoría del tiempo dos manos, y que es natural querer usarlas alternadamente [11]. Uno puede conformarse entonces con escribir las letras de las pelotas en el orden en que deben ser lanzadas : A B C D A B C D A B C D etc.

De hecho uno puede incluso contentarse con notar, para cada pelota, cuántos tiempos después deberá ser relanzada. Como aquí nuestro malabarismo es regular, siempre es 4 tiempos después :
4 4 4 4

Puede ser útil tener el siguiente gráfico en mente [12] :

Ahora, el comentario esencial : en el gráfico anterior, lo importante es que un ’’hilo’’ parte de cada uno de los 4 primeros tiempos (uno lanza A, B, C y luego D) y que un hilo (y solo uno) llega en cada uno de los 4 tiempos siguientes (si no, trate de atrapar dos pelotas que llegan al mismo tiempo sobre la misma mano...) [13]. Pero hay un montón de maneras de hacer esto : de hecho, hay 24, ya que hemos visto que dados 4 objetos (aquí los 4 puntos de llegada de nuestros 4 hilos) hay 24 maneras posibles de permutarlos...

Por ejemplo, si uno permuta los puntos de llegada de las pelotas A y B, y también los de C y D, se obtiene el nuevo diagrama :

En notación ’’letras’’ : A B C D B A D C ...

Y en notación site swap : 5 3 5 3 4 4 4 4 ...
De este modo, la primera pelota será relanzada 5 tiempos después, mientras que la segunda pelota será relanzada 3 tiempos después, y así sucesivamente.

Esto es lo que eso da : inserta en medio del malabarismo básico 4 4 4 4. Yo mantuve los mismos colores (negro para A, y rojo para B y D) para ayudar a visualizar el intercambio...

Site Swap Minimus

El Plain Bob Minimus se traslada de este modo al contexto del malabarismo con 4 pelotas para entregar una enumeración de todas [14] las maneras posibles de hacer malabares con 4 pelotas.

Todos son ritmos accesibles. de hecho yo sé (yo supe) hacerlos todos (desde luego, no con tanta regularidad como nuestros pequeños robots, razón por la cual no propuse videos...). Para el placer, y para terminar, esto es a lo que se parece.

Los siteswaps 5551

y 7333...

Si usted quiere saber más acerca del siteswap, aquí hay un sitio que contiene una multitud de vínculos, algunos francófonos, para debutantes o para expertos...

Post-scriptum :

La redacción de Images des Maths, así como el autor, agradecen por su atenta relectura a los relectores cuyos seunónimos son Walter, leonard y Olivier Reboux.

Article original édité par Serge Cantat

Notes

[1« Su pasión - ya que es una pasión - encuentra su satisfacción en la plenitud matemática y perfección mecánica, y [...] él está lleno por la solemne embriaguez que acompaña la perfecta ejecución del intrincado ritual. »

[2« El arte del change ringing es particular entre los ingleses, y como la mayoría de las particularidades inglesas, permanece ininteligible para el resto del mundo. »

[3Gracias a Michael Wilby por el archivo de audio. Proviene de la iglesia de Leamingston Spa, cerca de Coventry. Usted encontrará otros archivos, así como explicaciones sobre las condiciones de grabación en esta página.

[4Si usted es aventurero, eventualmente puede considerar pares de calcetines...

[5... y en cajoneras.

[6Para los puristas : de hecho, el orden 1 2 ... n se realiza dos veces, en la obertura y en el cierre de la sesión.

[7Le sugiero que en su motor de búsqueda favorito escriba « video change ringing » : el espectáculo es demasiado intrigante...

[8Un pequeño problema al pasar : es un ejercicio clásico (¡lo que no es sinónimo de fácil !) demostrar que el grupo simétrico sobre n elementos está engendrado solamente por dos transformaciones, por ejemplo (12) y (123...n). Pero ¿cuál es el número mínimo de involuciones necesario para engendrar el grupo simétrico ? Pregunta subsidiaria : ¿y si uno se restringe a las involuciones ’’muy especiales’’ del change ringing ?

[9The mathematics of Juggling, Springer 2003.

[10Las animaciones gif fueron realizadas por Juggling Lab.

[11Sin embargo, hay que notar que es posible lanzar y atrapar simultáneamente a dos manos. Se habla entonces de malabarismo -y de site swap- sincrónico. Aquí me concentro en el malabarismo asincrónico.

[12cuando un matemático escribe « puede ser útil... », hay que entender « es absolutamente indispensable en la práctica... »

[13De nuevo, hay que recordar que un ’’hilo’’ corresponde al tiempo de vuelo de cada pelota, así como al tiempo pasado en la mano de quien recibe.

[14Bueno, de acuerdo, pra los malabaristas imaginarios y/o científicos : casi todas... Precisamente son todos los siteswaps asincrónicos con 4 pelotas, de período 4 y no excitados.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Permutaciones malabarísticas» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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