Permutations jonglistiques

Piste verte Le 4 février 2012  - Ecrit par  Stéphane Lamy Voir les commentaires (6)

L’étude des permutations de n objets, ou en langage savant du groupe symétrique sur n éléments, est en général illustrée par des exemples d’une confondante banalité : des voitures sur des places de parking, ou pire, des paires de chaussettes dans des tiroirs. On tente ici de renouveler le genre en permutant des cloches anglaises ou des balles de jonglage...

Tailor ?

« His passion - and it is a passion - finds its satisfaction in mathematical completeness and mechanical perfection , and [...] he is filled with the solemn intoxication that comes of intricate ritual faultlessly performed. » [1]

Il y a une tension tant dans la pratique que dans l’enseignement des mathématiques entre la beauté abstraite des grandes théories et la nécessité de maîtriser de longs calculs rébarbatifs... Le souffle épique versus la recette de cuisine. Pourtant même si l’on craint parfois que le second prenne le pas sur le premier en particulier dans l’enseignement secondaire, il y a un plaisir à maîtriser parfaitement par exemple la résolution des équations du second degré ($b^2 - 4ac$, ainsi débute la comptine), ou plus tard à l’université, le calcul de développements limités (DL jargonnent les étudiants tout juste initiés à la formule dite de Taylor) des fonctions les plus alambiquées.

Mais l’extrait ci-dessus ne concerne pas de fervents pratiquants du DL, et il s’agit ici de Tailor avec un i, en effet la citation provient d’un livre policier des années 30, « The Nine Tailors », par une spécialiste du genre qui me semble un peu méconnue en France, Dorothy Sayers. Et la description s’applique à un groupe de change ringers...

Qu’est-ce donc que l’art du change ringing, dont je me trouve bien en peine de trouver un équivalent français. De fait, dans le même ouvrage de D. Sayers on trouve

« The art of change-ringing is peculiar to the English, and, like most English peculiarities, unintelligible to the rest of the world » [2].

Ce n’est certes pas les deux années que je viens de passer en Angleterre qui m’ont transformé en un spécialiste de la chose ; à vrai dire je n’ai même jamais eu l’occasion d’observer de visu des pratiquants de cet art confidentiel.
Cependant, un soir que je longeais une église en rentrant du pub local d’Allesley, Coventry, j’ai entendu ce qui était sans doute une session d’entrainement. Cela sonnait plus ou moins comme ça [3] :

MP3 - 410.7 ko

Cela ne vous saute peut-être pas immédiatement aux oreilles, mais la pratique du change ringing est en essence la mise en application d’un problème mathématique : comment énumérer sans répétition les éléments du groupe symétrique ?

Le groupe symétrique

Avant de poursuivre, il me faut donc introduire de façon plus précise cet objet que les mathématiciens appellent le groupe symétrique.
Il s’agit, étant donné un certain nombre n d’objets (par exemple, des voitures [4]) rangés bien en ordre (par exemple, sur des places de parking [5]), de considérer toutes les façons possibles de permuter ces objets.

Pour commencer une étude mathématique du bon pied, il est primordial de se doter d’un bon système de notation.
Ici, pour noter de façon concise nos permutations, nous avons à notre disposition deux choix possibles : numéroter les voitures, ou numéroter les places de parking.

Pour fixer les idées, disons que n est égal à 4 ; on a donc quatre voitures garées sur quatre places de parking.
Notre première option serait d’écrire par exemple 4 1 3 2 pour dire que la voiture numéro 4 est sur la première place, la voiture numéro 1 sur la deuxième place, la numéro 3 sur la troisième place et enfin la numéro 2 sur la quatrième et dernière place.
Remarquez qu’ici on note plutôt le résultat de la permutation (à partir d’une position de départ, par exemple 1 2 3 4 ), que la permutation elle même ; on peut y penser comme une notation statique, qui spécifie des états.

La deuxième option serait d’utiliser une notation dynamique pour expliquer comment passer d’un état à un autre, ici on va donc noter les transitions.
Le principe est de lister entre parenthèses les numéros des places de parking (et non plus des voitures !) qui doivent subir des permutations cycliques.
On écrira par exemple (1 2 4) pour signifier que la voiture garée sur la place numéro 1 vient remplacer celle garée sur la place numéro 2, cette dernière allant prendre la place de la voiture garée sur la place numéro 4, laquelle ira sur la place numéro 1. Implicitement la notation spécifie également que la voiture sur la place numéro 3 ne bouge pas.
Un autre exemple : (1 4) (2 3) signifie que l’on échange les voitures sur les places de parking numéro 1 et 4, et de même avec les voitures sur les places 2 et 3.

Ces deux systèmes de notations sont à peu près aussi économes d’écriture, et il n’est pas clair quel est le meilleur : en fait, cela dépend un peu du problème que vous voulez étudier.
Ce qui semble certain c’est qu’il vaudrait mieux éviter de les utiliser en même temps, au risque de s’embrouiller irrémédiablement...

L’art du Change ringing

Bien sûr, les anglais sonneurs de cloche ayant l’esprit retors ne tiennent aucun compte de ce danger et utilisent les deux notations, chacune pour un usage précis.
Ils numérotent leurs n objets de prédilection (leurs cloches bien sûr, pas leurs voitures) de 1 (la plus aigüe) à n (la plus grave).
Il semble qu’une valeur de n égale à 8 soit typique (et dénommée « Major »), mais pour notre discussion nous nous en tiendrons à n = 4 (qui est affublé du sobriquet de « Minimus »).

Ainsi la séquence 4 1 3 2 s’interpète maintenant comme suit : faire sonner en premier la cloche 4, puis la 1, puis la 3, puis la 2.

La notation (1 4) (2 3) veut maintenant dire que les cloches qui sonnaient en 1re et 4e position sont interchangées, et de même avec celle qui sonnaient en 2e et 3e position.

Combien y a t il d’ordre différents pour faire sonner ces 4 cloches ?
Voici la liste complète...

...et voici comment j’ai procédé pour les trouver : il y a 4 possibilités pour le premier chiffre (correspondant à mes 4 colonnes). Celui-ci étant fixé, il reste 3 possibilités pour le second chiffre. Celui-ci étant fixé, il ne me reste plus que deux choix possibles pour le troisième chiffre, et en 4 ième position je mets l’unique chiffre restant. Finalement j’ai $4 \times 3 \times 2= 24$ choix possibles.
Si j’avais utilisé $n$ cloches j’aurais eu $n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2$ choix possibles, ce nombre qui se note $n!$ s’appelle factorielle n et a tendance à être très vite sacrément grand (essayez un peu de calculer 8 !, ou 20 !, pour voir).

Contraintes

Le principe de base du change ringing est de sonner un jeu de n cloches, actionnées par n sonneurs, en réalisant chacun des ordres possibles une fois et une seule [6].

Une contrainte mécanique, venant du fait qu’il n’est pas possible de retarder ou d’avancer le son d’une cloche par une durée très longue, impose la règle suivante : d’une séquence à la suivante les cloches peuvent voir leur numéro d’ordre avancer ou reculer au plus d’un rang. Il est déjà extraordinaire que cette contrainte soit réalisable en pratique (après quand même quelques mois d’entrainement semble-t-il) quand on considère qu’une cloche peut peser plus d’une tonne et est contrôlée manuellement par le sonneur via une simple corde [7]...

Vient ensuite une contrainte de mémoire. La séquence complète étant jouée sans partition ni aide mnémotechnique d’aucune sorte, il est nécessaire que chaque sonneur alterne les retards et les avances d’une façon aussi régulière que possible. Ceci est réalisé en utilisant très peu de transitions distinctes (typiquement, deux principales et une ou deux autres exceptionnelles).

Enfin une contrainte de nature esthétique est qu’une cloche ne devrait pas rester plus de 2 séquences consécutives sans être retardée ou avancée.

Générateurs

Reprenons la liste de nos 24 permutations, et notons les transitions qui permettent de passer d’une séquence à la suivante :

On constate que ni la contrainte mécanique ni la contrainte esthétique ne sont satisfaites.

Examinons comment les contraintes se traduisent en termes mathématiques.

La contrainte mécanique exige que l’on utilise des transitions qui n’échangent que des positions voisines ; dans le cas $n = 4$ il n’y a que quatre telles transitions à notre disposition qui sont (12), (23), (34) et (12)(34).
Remarquons que ces transitions ont la propriété de nous ramener à notre position initiale lorsqu’on les applique deux fois successivement : une telle permutation est appelée une involution.
Nous cherchons donc à engendrer le groupe symétrique à l’aide d’involutions, mais qui sont de plus très spéciales : par exemple (13) est une involution mais n’est pas acceptable car elle demande à changer l’ordre des première et troisième cloches de deux rangs, et non d’un seul [8].

La contrainte de mémoire demande à énumérer les éléments du groupe symétrique en appliquant nos générateurs de façon la plus monotone possible. Sur ce point (mais seulement celui-ci !) notre premier essai d’énumération était à peu près satisfaisant.

Enfin, la contrainte esthétique correspond plus ou moins à demander que les générateurs aient de grands supports
Le support d’une transformation est l’ensemble des emplacements qui sont affectés par la transformation. Par exemple le support de (134) est l’ensemble 1,3,4 et le support de (12)(34) est l’ensemble 1,2,3,4.
Une manière de satisfaire à coup sûr cette contrainte est par exemple d’utiliser la transition (12)(34) une fois sur deux.

Pour notre exemple de 4 cloches, voici une possibilité de répondre simultanément à toutes ces contraintes.
Cette méthode est connue sous le petit nom de « Plain Bob Minimus ».
Nous savons déjà que « Minimus » renvoie au fait qu’il y a 4 cloches, quant à « Plain Bob » cela renvoie à la suite de générateurs choisie.

J’imagine que vous brûlez de savoir ce que cela donne quand on le joue, avec de vraies cloches ? Heureusement j’ai cherché et trouvé pour vous un site où vous pourrez faire des simulations.
L’applet propose diverses méthodes préprogrammées (« Cambridge Surprise Major » par défaut), pour notre Plain Bob Minimus il vous faudra copier-coller le code

X.14.X.14.X.14.X.12

au bas de l’applet.

Jongler les cloches

Mais quel rapport avec les balles de jonglage annoncées dans le titre ? Figurez-vous qu’il n’y a qu’un pas du change ringing au jonglage, en ce qui concerne les systèmes de notations tout au moins.

Dans son petit précis de mathématique à l’usage des jongleurs [9] (à moins que ce ne soit l’inverse ?), Burkard Polster consacre un chapitre entier dédié au change ringing. De fait, en tant que jongleur amateur avec un léger penchant pour l’abstraction, de nombreuses problématiques d’énumération dans le groupe symétrique m’étaient déjà familières de façon empirique.

Il nous faut d’abord faire un détour pour expliquer les bases du sytème utilisé par les jongleurs pour noter les rythmes, ou ce qui revient au même, les hauteurs des lancers successifs. Dans le jargon jonglistique : le site swap.

Puisque j’ai illustré mon discours sur le change ringing avec l’exemple de 4 cloches, prenons de manière similaire l’exemple du jonglage à 4 balles.

Si mes balles s’appellent A, B, C, D, le jonglage basique à 4 balles consiste à :
lancer A, lancer B, lancer C et rattraper A, lancer D et rattraper B, lancer A et rattraper C, lancer B et rattraper D, lancer C et rattraper A, lancer D et rattrapper B, etc, etc...

Ca ressemble à ça [10] :

Remarquons que dans le jonglage basique avec un nombre pair d’objets (ici 4), les balles ne passent pas d’une main à l’autre, comme les couleurs le mettent en évidence. Cela surprend souvent les néophytes (c’est bien moins évident à voir, jonglé à vitesse réelle avec des balles toutes identiques), et il est vrai que le jonglage à 3 ou 5 balles est considéré par certains comme plus esthétique.

Site swap

Pour condenser la notation, on peut tout d’abord ne pas mentionner les « rattraper » : il va de soi que les balles lancées doivent être rattrapées, autant que faire se peut. Le temps (constante incompressible !) que les balles passent dans une main avant chaque lancer peut également être implicite dans la notation.
Une autre convention implicite découle du fait que les êtres jongleurs ont la plupart du temps deux mains, et qu’il est naturel de vouloir les utiliser alternativement [11].
On peut donc se contenter d’écrire les lettres des balles dans l’ordre où elles doivent être lancées :
A B C D A B C D A B C D etc, etc...

En fait on peut même se contenter de noter, pour chaque balle, combien de temps plus tard elle devra être relancée. Comme ici notre jonglage est régulier, c’est toujours 4 temps plus tard :
4 4 4 4

Il peut être utile d’avoir le graphique suivant en tête [12] :

Maintenant, la remarque essentielle : dans le graphique précédent, l’important est qu’un « fil » parte de chacun des 4 premiers temps (on lance A, B, C puis D) et qu’un fil et un seul arrive sur chacun des 4 temps suivants (essayez donc d’attraper deux balles qui arrivent en même temps sur la même main...) [13]. Mais il y a plein de façons de faire ça : en fait, il y en a 24, puisque nous avons vu qu’étant donné 4 objets (ici les 4 points d’arrivée de nos 4 fils) il y a 24 façons possibles de les permuter...

Par exemple, si l’on permute les points d’arrivée des balles A et B, et également ceux de C et D, on obtient le nouveau diagramme :

En notation « lettres » : A B C D B A D C ...

Et en notation site swap : 5 3 5 3 4 4 4 4 ...
Ainsi la première balle sera relancée 5 temps plus tard, alors que la seconde balle sera relancée 3 temps plus tard, et ainsi de suite.

Voici ce que cela donne, inséré au milieu du jonglage basique 4 4 4 4. J’ai gardé les mêmes couleurs (noir pour A et C, rouge pour B et D) pour aider à visualiser l’échange...

Site Swap Minimus

Le Plain Bob Minimus se transpose ainsi dans le contexte du jonglage à 4 balles pour donner une énumération de toutes [14] les façons possibles de jongler 4 balles

Ce sont tous des rythmes accessibles. De fait, je sais (j’ai su...) tous les faire (certes, pas aussi régulièrement que nos petits robots, c’est pourquoi je ne vous propose pas de vidéos...).
Pour le plaisir, et pour finir, voici à quoi ressemble

les siteswaps 5551

et 7333...

Si vous voulez en savoir plus sur le siteswap, voici un site qui contient une multitude de liens, certains francophones, pour débutants ou pour experts...

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Walter, leonard et Olivier Reboux.

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1« Sa passion - car c’est une passion - trouve son accomplissement dans l’impeccabilité mathématique et la perfection mécanique, et [...] il se trouve empli de la solennelle ivresse qui accompagne la parfaite exécution de tout rituel compliqué. »

[2« L’art du change ringing est particulier aux anglais, et, comme la plupart des particularités anglaises, reste inintelligible au reste du monde. »

[3Merci à Michael Wilby pour le fichier son. Celui-ci provient de l’église de Leamingston Spa, près de Coventry ; vous trouverez d’autres fichiers ainsi que des explications sur les conditions d’enregistrement sur cette page.

[4Si vous êtes aventureux, vous pouvez éventuellement considérer des paires de chaussettes...

[5... et des tiroirs.

[6Pour les puristes : en fait l’ordre 1 2 ... n est réalisé deux fois, en ouverture et en clôture de la session.

[7Je vous encourage à taper dans votre moteur de recherche favori « video change ringing », le spectacle est assez intriguant...

[8Un petit problème au passage : c’est un exercice classique (ce qui n’est pas synonyme de facile !) de montrer que le groupe symétrique sur n éléments est engendré par seulement deux transformations, par exemple (12) et (123...n). Mais quel est le nombre minimum d’involutions nécessaires pour engendrer le groupe symétrique ? Question subsidiaire : et si l’on se restreint aux involutions « très spéciales » du change ringing ?

[9The mathematics of Juggling, Springer 2003.

[10Les animations gif ont été réalisées avec Juggling Lab.

[11A noter cependant qu’il est possible de lancer et rattraper simultanément des deux mains, on parle alors de jonglage - et de siteswap - synchrone. Je me concentre ici sur le jonglage asynchrone.

[12Quand un mathématicien écrit « il peut être utile... », il faut comprendre « il est absolument indispensable en pratique... »

[13A nouveau, il faut se souvenir qu’un « fil » correspond pour chaque balle au temps de vol, mais également au temps passé dans la main qui réceptionne.

[14Bon, d’accord, pour les jongleurs imaginatifs et/ou savants : presque toutes... Précisément ce sont tous les siteswaps asynchrones à 4 balles, de période 4 et non excités.

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Pour citer cet article :

Stéphane Lamy — «Permutations jonglistiques» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Commentaire sur l'article

  • Permutations jonglistiques

    le 4 février 2012 à 07:56, par Jean-Paul Allouche

    Joli article ! Pour la traduction de « change » dans « change ringing » on trouve « salve » ou « volée » par exemple dans l’article de Bernard Jaulin paru dans Mathématiques et Sciences Humaines en 1977, et disponible ici. Par ailleurs le compositeur Tom Johnson a utilisé récemment le jonglage comme « outil », voir par exemple cette annonce de séminaire l’an dernier, ce qui donne un autre lien entre les deux parties de ce texte.

    Répondre à ce message
  • Permutations, des mots et des notes

    le 4 février 2012 à 16:21, par Michèle Audin

    Après celles des mots-rimes des poèmes, les cloches et le jonglage sont d’autres beaux exemples d’utilisation des permutations.

    La mention de Tom Johnson par Jean-Paul Allouche comme lien entre ces deux contextes n’est pas inattendue. Je me permets de signaler aux lecteurs d’Images des mathématiques qui seraient à Paris ce jour-là que ce compositeur participera jeudi 9 février prochain à la lecture de l’Oulipo à la BNF.

    Répondre à ce message
  • Permutations jonglistiques

    le 4 février 2012 à 18:55, par Jean-Paul Allouche

    Merci Michèle, j’avais oublié en effet de signaler que Tom Johnson serait à l’Oulipo le 9 février. Oh mais j’y pense, à propos de mots-rime et de permutations, nous avons eu aussi ici récemment la mongine de Jacques Roubaud.

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  • Quand les permutations vont au cirque ...

    le 7 février 2012 à 20:32, par Ilies Zidane

    Excellent article, j’aime beaucoup.

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  • Permutations jonglistiques

    le 9 septembre 2013 à 18:31, par juggler_fourrier

    Excellent article ! Cependant j’aimerais signaler une faute qui m’a dérangé pendant tout l’article ...

    Je ne crois pas que le jonglage a 4 balles ( ni a 5, ni a 6, ni a n balles ) puisse avoir un nombre défini de siteswaps ...
    La condition pour qu’un siteswaps soit « juste » est que la somme des éléments le composant soit égale au produit du nombre d’éléments du siteswaps et du nombre n de balles : exemple avec le 633, n=4 —> 6+3+3=12 et n*3 ( 633 comporte trois éléments ) = 12 —> Le siteswaps 633 a 4 balles est valable .. Or vous pouvez donc vérifier que des siteswaps comme le 83333 , le 6337531933333 ou encore le (4x,6)2(1,3x) ne sont pas mentionnés ... C’est assez gênant puisque ces siteswaps (et tant d’autres) font bel et bien partie du jonglage a 4 balles !

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    • Permutations jonglistiques

      le 9 septembre 2013 à 19:19, par Stéphane Lamy

      Bonjour,

      Pas un nombre défini de siteswaps, d’accord, mais si on rajoute des contraintes supplémentaires le nombre n’est plus infini : dans la note de bas de page 14 je précise bien que je regarde les siteswaps asynchrones — cela élimine (4x,6)2(1,3x)—, à 4 balles, de période 4 — cela élimine les autres propositions — et non excités.

      Et pour être tout à fait complet : non, la condition pour qu’un siteswaps soit « juste » n’est pas tout à fait celle que vous donnez (qui est seulement « nécessaire », et pas « suffisante »). Par exemple 4354 est de moyenne 4 mais n’est pas valide (la 1ere et 2eme balle arrive en même temps dans la même main, ce qui n’est guère pratique !)

      Répondre à ce message

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