Petits arrangements 2
Plus grand ou plus petit ?
Pista azul El 14 junio 2013 Ver los comentarios
Dans cet article, nous verrons que le regroupement par paires (présenté dans l’article précédent) peut être utilisé pour comparer le nombre d’éléments de deux ensembles.
Dans un troisième article, nous utiliserons des arrangements d’objets en groupes qui ne sont pas forcément des paires.
Les solutions des problèmes clés de l’article sont dans des blocs dépliants, pour vous donner la possibilité d’essayer de résoudre ces problèmes vous-mêmes. Il est fortement conseillé de lire les solutions avant de poursuivre la lecture de l’article. Les solutions des autres problèmes ne sont données qu’une quinzaine de jours après la parution de l’article pour vous laisser le temps de les chercher.
Frédéric a écrit tous les nombres entiers entre 0 et 999 dont la somme des chiffres est paire. Frédérique a écrit tous les nombres entiers entre 0 et 999 dont la somme des chiffres est impaire. Qui a écrit le plus de nombres, Frédéric ou Frédérique ?
L’idée principale de la solution du problème 1 est un regroupement par paires, chaque paire étant formée par un nombre de Frédérique et un nombre de Frédéric. On peut formuler cette idée d’une autre manière : il existe une correspondance «un à un» entre les nombres de Frédérique et ceux de Frédéric.
Considérons les recouvrements d’un échiquier de 8 × 8 cases par des dominos (chaque domino couvre deux cases et les dominos ne se chevauchent pas). Montrez que le nombre de recouvrements ayant un domino qui couvre les cases a1 et a2 est égal au nombre de recouvrements ayant un domino qui couvre les cases a1 et b1.

On considère les collections de nombres entiers strictement positifs dont la somme vaut 1000. Deux collections qui ne se distinguent que par l’ordre des éléments sont considérées comme identiques. Nous dirons qu’une collection est de type 1 si elle contient au plus 10 nombres et de type 2 si chaque nombre de la collection est inférieur ou égal à 10. Boris affirme qu’il y a plus de collections de type 1 que de type 2. Boris a-t-il raison ?
Dans la solution du problème 3, on a associé à chaque collection de type 1 une collection de type 2. On dit que c’est une application de l’ensemble des collections de type 1 dans l’ensemble des collections de type 2. Cette application vérifie une propriété importante : chaque collection de type 2 est associée à exactement une collection de type 1, autrement dit, l’application regroupe par paires les collections de type 1 et les collections de type 2. Une telle application s’appelle une bijection. L’existence d’une bijection entre deux ensembles finis implique qu’ils ont le même nombre d’éléments.
Sur un cercle, on a marqué cent points bleus et un point rouge. Considérons tous les polygones convexes dont les sommets coïncident avec certains points marqués. Le nombre de polygones ayant un sommet rouge est-il plus grand que le nombre de polygones à sommets bleus ?

Dans la solution du problème 4, on a eu affaire à une application ayant la propriété suivante : chaque élément de l’ensemble d’arrivée est associé à au plus un élément de l’ensemble de départ. Une telle application est dite injective. S’il existe une application injective $f : X \to Y$ entre deux ensembles finis $X$ et $Y$, alors le nombre d’éléments de $X$ est inférieur ou égal au nombre d’éléments de $Y$. Si, de plus, l’application injective $f$ n’est pas une bijection, alors le nombre d’éléments de $X$ est strictement inférieur au nombre d’éléments de $Y$. Voici encore quelques problèmes où nous rencontrerons des applications injectives.
Considérons à nouveau les recouvrements d’un échiquier de 8 × 8 cases par des dominos. Comparez le nombre de recouvrements ayant un domino qui couvre les cases a1 et a2 et le nombre de recouvrements ayant un domino qui couvre les cases b1 et b2.
Nous dirons qu’un triplet de nombres entiers strictement positifs est triangulaire si les nombres du triplet sont les longueurs des côtés d’un triangle non aplati. Montrez qu’il y a moins de triplets triangulaires dont la somme des nombres vaut 2010 que de triplets triangulaires dont la somme des nombres vaut 2013.

Considérons les nombres entiers strictement positifs dont l’écriture décimale a exactement trois chiffres. Parmi ces nombres, il y a des nombres dont le chiffre du milieu est strictement plus grand que les deux autres chiffres (notons $N$ leur nombre), et des nombres dont le chiffre du milieu est strictement plus petit que les deux autres chiffres (notons $M$ leur nombre). Comparez $M$ et $N$.
Dans une classe de 31 élèves, l’enseignant de mathématiques doit choisir une équipe qui participera aux jeux mathématiques de l’école. Le nombre de membres de l’équipe n’est pas fixé, mais la classe doit être représentée aux jeux mathématiques par au moins un élève. Notons $A$ le nombre d’équipes possibles ayant un nombre pair de membres et $B$ le nombre d’équipes possibles ayant un nombre impair de membres. Montrez que $B = A + 1$.
Dans la solution du problème 8, nous avons utilisé implicitement l’observation suivante : si $f : X \to Y$ est une application injective entre deux ensembles finis $X$ et $Y$, alors le nombre d’éléments de $Y$ est égal au nombre d’éléments de $X$ augmenté du nombre d’éléments de $Y$ qui n’appartiennent pas à l’image de $f$.
Problèmes à résoudre par vous-mêmes
Problème 1. Deux cases enlevées
On a enlevé deux cases d’un échiquier de 8 × 8 cases : la case en bas à gauche et la case en haut à droite. Peut-on recouvrir le reste de l’échiquier par des dominos ? (Chaque domino doit couvrir deux cases et les dominos ne peuvent pas se chevaucher.)
Problème 2. Chevaliers et menteurs
Cinquante personnes sont assises autour d’une table ronde. Chaque personne est soit un chevalier qui dit toujours la vérité, soit un menteur qui ment toujours. Toute personne autour de la table a exactement un ami à cette table et, dans chaque paire d’amis, un des amis est un chevalier et l’autre est un menteur. A toutes les personnes assises autour de la table, on a posé la question suivante :
« Votre ami est-il assis à côté de vous ? »
Combien de personnes ont répondu « Oui » ?
Problème 3. Pions sur un damier
Vingt-cinq pions sont placés dans les cases d’un damier de 5 × 5 cases (un pion par case). Louis veut déplacer tous les pions de telle façon que chaque pion soit déplacé dans une case voisine (ayant un côté commun avec la case initiale) et chaque case contienne à nouveau exactement un pion. Peut-il y arriver ?
Problème 4. Le nombre de chiffres et le nombre de zéros
Montrez que le nombre total de chiffres dans l’écriture décimale des nombres entiers
\[
1, 2, \ldots, 10^5
\]
est égal au nombre total de zéros dans l’écriture décimale des nombres entiers
\[
1, 2, \ldots, 10^6.
\]
Problème 5. Mille nombres
Notons $P$ la somme des chiffres de tous les nombres pairs entre 1 et 1000. Notons $I$ la somme des chiffres de tous les nombres impairs entre 1 et 1000. Lequel des deux nombres $P$ et $I$ est le plus grand et de combien ?
Les lecteurs sont invités à nous proposer leurs solutions des «Problèmes à résoudre par vous-mêmes». Les solutions peuvent être rédigées comme commentaires sur l’article ou envoyées à l’adresse suivante :
ensortantdelecole images.math.cnrs.fr
Les meilleures solutions seront publiées dans la rubrique.
L’équipe de la rubrique remercie Nikita Itenberg pour les illustrations qu’il a faites pour cet article.
NDLR : Retrouvez les autres articles sur le sujet ici : I et III, et les autres articles de la rubrique : En sortant de l’école.
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Para citar este artículo:
Equipe de la rubrique «En sortant de l’école» — «Petits arrangements 2» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013
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