Frédéric a écrit autant de nombres que Frédérique. En effet, à chaque nombre $A$ écrit par Frédérique, on peut associer le nombre $999 \; – A$. La somme des chiffres de $999 \; – A$ est égale à $27 – S(A)$, où $S(A)$ est la somme des chiffres du nombre $A$. Puisque le nombre $A$ a été écrit par Frédérique, la somme $S(A)$ est impaire. Par conséquent, $27 – S(A)$ est pair ; le nombre $999 \; – A$ a donc été écrit par Frédéric.

Inversement, chaque nombre écrit par Frédéric est de la forme $999 \; – A$, où $A$ est un nombre écrit par Frédérique. Par conséquent, Frédéric et Frédérique ont écrit autant de nombres chacun.

À chaque recouvrement $R$ de l’échiquier par des dominos,
on peut associer le recouvrement $s(R)$ symétrique à $R$
par rapport à la diagonale reliant les cases $\ a1$ et $\ h8$.
Si le recouvrement $R$ contient un domino $a1 - a2$,
alors le recouvrement $s(R)$ contient un domino $a1 - b1$
et inversement. Donc, le nombre de recouvrements ayant
un domino $a1 - a2$ est égal au nombre de recouvrements
ayant un domino $a1 - b1$.

Non, le nombre de collections de type 1 est égal au nombre de collections de type 2. Pour démontrer cette affirmation, associons à chaque collection de type 1 une collection de type 2 de la façon suivante.

Soit $X = \{x_1, x_2, \ldots, x_k\}$ une collection du type 1. On a
\[ k \leq 10 \; \text{et} \; x_1 + x_2 + \ldots + x_k = 1000. \]
En renumérotant, s’il le faut, les nombres de la collection, on peut supposer que
\[ x_1 \geq x_2 \geq \ldots \geq x_k. \]

Représentons chaque nombre $x_i$ sur une feuille quadrillée par une colonne de $x_i$ petits carrés. La collection sera ainsi représentée par une suite de $k$ colonnes rangées dans l’ordre de taille décroissante. Au total, les colonnes contiennent 1000 cases. Considérons la figure formée par ces colonnes et découpons-la maintenant en lignes horizontales. Comme il y a au plus 10 colonnes la longueur de chaque ligne ne dépassera pas 10. Notons $y_1, \dots, y_m$ les longueurs des lignes. Nous avons
\[ y_1 + \cdots + y_m = 1000, \]
car les lignes sont formées par les mêmes cases que les colonnes. Par conséquent $\{y_1, \dots, y_m \}$ est une collection de type 2.

Inversement, étant donné une collection de type 2 rangée dans l’ordre décroissant, on représente chaque nombre de la collection sur la feuille quadrillée par une ligne. On empile les lignes et on découpe la figure obtenue en colonnes. Les longueurs des colonnes formeront une collection de type 1.

Il y a donc autant de collections de type 1 que de type 2.

Pour décrire un polygone, il suffit de préciser ses sommets, c’est-à-dire, une collection formée d’au moins trois points marqués. À chaque collection de points bleus, on peut associer une collection contenant le point rouge tout simplement en rajoutant le point rouge à la collection. On obtient ainsi une application de l’ensemble des polygones à sommets bleus dans l’ensemble des polygones bicolores. Cependant, cette application n’est pas une bijection.

En effet, un polygone bicolore est obtenu par la procédure décrite ci-dessus d’une manière unique, mais seulement à condition qu’il ait au moins 4 sommets. Les triangles bicolores ne peuvent pas du tout être obtenus à l’aide de cette procédure.

Donc, le nombre de polygones bicolores est strictement supérieur au nombre de polygones bleus.

Tout recouvrement ayant un domino $b1 - b2$ contient obligatoirement
un domino $a1 - a2$. D’autre part, le recouvrement présenté sur le dessin ci-dessous contient un domino $a1 - a2$, mais pas $b1 - b2$. Donc, le nombre de recouvrements ayant un domino $a1 - a2$ est strictement supérieur au nombre de recouvrements ayant un domino $b1 - b2$.

Considérons un triplet triangulaire formé de nombres entiers strictement positifs $a$, $b$ et $c$ tels que
\[ a + b + c = 2010. \]
Les nombres $a$, $b$ et $c$ vérifient les inégalités triangulaires suivantes :
\[ \displaylines{ a + b > c, \cr a + c > b, \cr b + c > a. } \]
Considérons le triplet formé des nombres
\[ a + 1, b + 1 \; \text{et} \; c + 1. \]
Ces trois nombres sont des entiers strictement positifs et vérifient les inégalités triangulaires
\[ \displaylines{ (a + 1) + (b + 1) > c + 1, \cr (a + 1) + (c + 1) > b + 1, \cr (b + 1) + (c + 1) > a + 1. } \]
Donc, les nombres
$a + 1$, $b + 1$ et $c + 1$
forment un triplet triangulaire. De plus,
\[ (a + 1) + (b + 1) + (c + 1) = (a + b + c) + 3 = 2013. \]
On obtient ainsi une application de l’ensemble des triplets triangulaires de somme 2010 dans l’ensemble des triplets triangulaires de somme 2013. Cette application est clairement injective. Mais cette application n’est pas une bijection. En effet, le triplet triangulaire formé des nombres
\[ 1, 1006 \; \text{et} \; 1006 \]
ne peut pas être obtenu par la procédure décrite ci-dessus. Par conséquent, il y a moins de triplets triangulaires de somme 2010 que de triplets triangulaires de somme 2013.

Considérons un nombre $A$ à trois chiffres
dont le chiffre du milieu est strictement supérieur aux deux
autres chiffres. Le premier chiffre
de $A$ est strictement inférieur à $\ 9$,
donc le nombre $\ 999 - A$ est à trois chiffres.
De plus, le chiffre du milieu de $\ 999 - A$ est strictement inférieur aux deux autres chiffres de $\ 999 - A$.
On obtient une application de l’ensemble
des nombres à trois chiffres dont le chiffre du milieu
est strictement supérieur aux deux autres chiffres
dans l’ensemble des nombres à trois chiffres dont le chiffre du milieu
est strictement inférieur aux deux autres chiffres.
Cette application est clairement injective.
Mais cette application n’est pas une bijection, car aucun nombre
à trois chiffres commençant par $\ 9$, par exemple, $901$, ne peut être écrit comme $\ 999 - A$, où $A$ est un nombre à trois chiffres.
Donc, $N < M$.

À chaque équipe $E$ formée d’élèves de la classe et ayant un nombre non nul pair de membres, on peut associer l’équipe, que nous appellerons complémentaire, constituée des élèves qui ne font pas partie de $E$ ; cette équipe complémentaire a un nombre impair de membres. On obtient ainsi une application de l’ensemble des équipes ayant un nombre non nul pair de membres dans l’ensemble des équipes ayant chacune un nombre impair de membres. Cette application est injective, mais ce n’est pas une bijection. En effet, il existe exactement une équipe ayant un nombre impair de membres qui n’est pas complémentaire d’une équipe ayant un nombre non nul pair de membres : c’est l’équipe formée de tous les élèves de la classe. Donc,
$B = A + 1$.