Peut-on dénouer l’icosaèdre ?

Rectangles d’or et tricoloriages de Fox

Piste rouge Le 10 mars 2013  - Ecrit par  Clément Caubel Voir les commentaires (4)

Vous connaissez l’icosaèdre ? Vous savez, ce solide régulier [1] à 20 faces triangulaires connu depuis l’antiquité [2]. On en a discuté ici, et on a évoqué ses grands cousins . En voici (presque ? [3]) un modèle gallo-romain en cristal de roche [4].

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Le « double décaèdre » du musée Jérôme Carcopino d’Aléria

Constructions réelles...

Le prendre en photo c’est bien, mais le construire c’est mieux. On peut le faire à la main à partir d’un patron plan (cf. par exemple ici), ou en utilisant des jeux de construction.

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Deux constructions possibles de l’icosaèdre

Construction virtuelle...

Mais si on veut le représenter virtuellement, c’est-à-dire qu’un ordinateur le dessine via un logiciel graphique, il faut pouvoir spécifier la position de ses sommets. Pour un ordinateur, la position d’un point $P$ est la donnée de ses trois coordonnées $(x,y,z)$. Une question se pose donc naturellement : y a-t-il un icosaèdre dont les sommets ont des coordonnées « simples » ?
Une réponse possible est la suivante : prenez trois rectangles d’or de même taille, c’est-à-dire des rectangles égaux dont le rapport de la longueur et de la largeur égale le nombre d’or $\tau={1+\sqrt{5}\over 2}\simeq 1,61$.

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Un rectangle d’or gris

Maintenant, placez-les de sorte qu’ils soient centrés en l’origine du repère, que leurs côtés soient parallèles aux axes de coordonnées, qu’ils soient dans trois plans différents et que leurs contours ne se rencontrent pas. Vous obtenez alors ceci :

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Trois rectangles d’or gris enchâssés

Quel rapport avec notre question ? Eh bien, si l’on s’est fatigué à prendre des rectangles d’or, c’est parce qu’alors les douze sommets de nos trois rectangles enchâssés sont les sommets d’un icosaèdre régulier [5].

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Trois rectangles d’or gris, enchâssés et emballés

Construction impossible ?

Ceci permet d’imaginer une autre construction à la main de l’icosaèdre : on découpe trois rectangles d’or de même taille dans du carton, on les fend en leur milieu, puis on les glisse les uns dans les autres perpendiculairement. Enfin, on peut tendre un tissu léger autour de ce « squelette » pour obtenir l’icosaèdre de la figure précédente.

Sauf que cette construction semble impossible ! S’il est facile de faire glisser l’un des rectangles fendus dans un autre, on ne peut apparemment pas le faire pour les trois à la fois, à moins de déchirer le bord de l’un d’eux.

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Comment prouver l’impossibilité avec de petits dessins ?

Imaginons que nous puissions construire notre squelette sans déchirer nos trois rectangles troués. Si l’on pouvait agrandir leur trou, on pourrait les déformer simultanément comme ceci...

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... pour arriver à cet enchâssement de cadres.

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À l’inverse, on pourrait séparer les trois cadres de cet enchâssement sans les couper : en quelque sorte nous dénouerions l’icosaèdre...

Pour prouver que c’est impossible, arrondissons l’enchâssement précédent ainsi :

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Ça ne vous rappelle rien ? C’est un entrelacs [6] qui a déjà été objet du mois sur ce site...

Pour le voir, commençons par marquer précisément quelle boucle passe au-dessus de quelle autre : nous obtenons ainsi un diagramme [7] de notre entrelacs.

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Maintenant, nous allons transformer ce diagramme, comme si les trois boucles fermées de notre entrelacs étaient en caoutchouc, et qu’on pouvait les déformer ou les étirer, sans jamais les couper. Nous allons procéder zone par zone. Commençons par cette zone bleue :

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Faisons passer le brin de dessus par dessus le croisement, comme ceci :

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Maintenant, attaquons cette zone rouge,

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et rétractons la boucle qui dépasse sur l’autre :

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On peut procéder maintenant de même avec les deux autres boucles,

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pour arriver à cette figure :

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Il ne reste plus qu’à tendre un peu les brins du milieu, comme ceci

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pour arriver, en arrondissant les boucles, aux anneaux borroméens :

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Ainsi, par de petites transformations élémentaires (dans les zones roses et bleues), on est passé d’un diagramme à un autre du même entrelacs. C’est un résultat général :

Deux diagrammes quelconques d’un même entrelacs se déduisent l’un de l’autre par une succession finie de transformations élémentaires.

Précisions sur les transformations élémentaires.

Nos deux diagrammes, c’est à dire les bords arrondis des rectangles enchâssés et les anneaux borroméens, ainsi que tous les dessins intermédiaires, sont des diagrammes du même entrelacs, l’entrelacs borroméen. Dans la suite de transformations précédente, on est passé du premier diagramme au dernier en appliquant successivement à des zones précises des transformations élémentaires des deux types suivants (dits II et III, en rouge et bleu respectivement sur les figures précédentes) [8].

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Or, si l’on ajoute cette transformation (dite de type I)

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il s’avère que ces trois types de transformations élémentaires suffisent pour passer de n’importe quel diagramme d’un entrelacs fixé à un autre. Notre transformation est une illustration de ce résultat, dû à Reidemeister et Alexander & Briggs en 1927 [9] :

Deux diagrammes quelconques d’un même entrelacs se déduisent l’un de l’autre par une succession finie de transformations élémentaires de type I, II ou III.

Quel est le rapport avec notre problème ? Eh bien, si l’on pouvait construire un squelette d’icosaèdre à partir de trois rectangles troués sans les déchirer, on pourrait en suivant la transformation précédente enlacer sans les couper trois boucles bien séparées (les bords des rectangles) pour obtenir les anneaux borroméeens.
Autrement dit, on pourrait effectuer cette transformation de diagrammes :

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Donc, d’après le résultat cité précédemment, on pourrait passer de l’un à l’autre des diagrammes ci-dessus par une suite de transformations élémentaires. C’est l’impossibilité de ceci que nous allons prouver : on ne peut donc pas dénouer l’icosaèdre !

Tricoloriages de diagrammes

L’idée de ce qui suit est due à Ralph Fox [10] et date de la fin des années 1950.

Fixons un diagramme d’un entrelacs quelconque (par exemple du nœud de trèfle) :

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Ce diagramme est formé d’un certain nombre de morceaux (les arcs), dont les bouts éventuels se trouvent en ses croisements. Tricolorier le diagramme, c’est colorier chaque arc d’une couleur parmi trois fixées au départ (par exemple rouge, bleu et vert), de sorte qu’à chaque croisement :

  • soit les trois arcs concernés sont de la même couleur,
  • soit ils sont tous les trois de couleur différente.

Par exemple, parmi les trois figures ci-dessous, deux seulement sont des tricoloriages valables du diagramme précédent.

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Lesquelles ?

La figure du milieu n’est pas un tricoloriage valable : ses trois croisements n’impliquent que deux couleurs sur les trois.

Maintenant, comptons les tricoloriages valables de notre diagramme : il y en a 9.

Voulez-vous les voir tous ?

Il y en a trois monochromes, et six tricolores :

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On peut faire le même travail avec les deux diagrammes liés à notre problème initial :

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  • le diagramme de gauche formé de trois anneaux séparés compte trois arcs (les trois boucles) et aucun croisement. Il n’y a donc aucune contrainte de coloriage : chacune des trois boucles peut être coloriée d’une des trois couleurs sans restriction. Il y a donc $3\times 3\times 3=27$ tricoloriages valables de ce diagramme.
  • le diagramme de droite des anneaux borroméens, lui... eh bien je vous laisse [11] vérifier qu’on ne peut le tricolorier valablement que de trois façons : soit tout rouge, soit tout vert, soit tout bleu.

Or, et c’est là le point décisif,

on ne change pas le nombre de tricoloriages valables d’un diagramme en lui appliquant une transformation élémentaire.

Comment ça se montre ?

Deux diagrammes reliés par une transformation élémentaire sont les mêmes, à l’exception de la zone où s’effectue la transformation. Suivant le type de celle-ci, cette zone compte 2, 4 ou 6 arcs entrants. Or on remarque, en étudiant les différents cas possibles, que si on colorie ces arcs entrants et que ce coloriage peut se prolonger à l’intérieur de la zone en un tricoloriage valable, alors ce sera d’une seule façon possible, que ce soit avant ou après transformation. Illustrons différents cas [12] : dans chacune des figures suivantes, je vous laisse vérifier que la seule façon valable de prolonger le coloriage d’une moitié des arcs entrants dans chaque cas (ceux du haut pour les types I et II, les trois de gauche pour le type III) est celle prescrite par la figure.

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Ainsi, la zone étant donnée, un tricoloriage valable ne dépend que du coloriage des arcs entrants, et non de ce qui se passe dans la zone. Il y a donc autant de tricoloriages valables avant et après transformation.

Ceci implique que tout diagramme d’un entrelacs obtenu à partir de trois boucles séparées peut être tricolorié de 27 façons différentes, puisqu’on peut l’obtenir à partir du diagramme de gauche par une succession de transformations élémentaires. De même, tout diagramme de l’entrelacs borroméeen [13] peut-être tricolorié de seulement 3 façons différentes. Puisque $27\neq 3$, la transformation de diagrammes considérée est impossible.

Notre enchâssement de rectangles d’or troués est bien impossible, et, réciproquement, on ne peut pas dénouer l’icosaèdre.

Un petit exercice pour conclure

Le diagramme formé d’un seul cercle compte 3 tricoloriages, et celui du nœud de trèfle en compte 9, comme on l’a vu. Conclusion : on ne peut pas passer de l’un à l’autre de ces diagrammes par une suite de mouvements élémentaires et donc, on ne peut pas créer le nœud de trèfle à partir d’une boucle non nouée sans la couper.

De la même façon, je vous propose quelques nouages-dénouages (ou enlacements-désenlacements) envisageables. Saurez-vous prouver s’ils sont possibles ou non ?

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Pour en savoir plus

Le nombre de tricoloriages d’un diagramme ne dépend que de l’entrelacs qu’il représente : on l’appelle donc un invariant de cet entrelacs. On a ainsi prouvé que deux entrelacs étaient différents en prouvant que les valeurs correspondantes de cet invariant l’étaient ($9\neq 27$). Mais les exercices précédents montrent qu’il ne suffit apparemment pas que deux diagrammes aient le même nombre de tricoloriages pour que ce soient deux diagrammes d’un même entrelacs (premier et troisième exemples). Il existe une foule d’autres invariants, souvent très compliqués, calculables à partir d’un diagramme, permettant des distinctions plus fines [14]. Pour montrer qu’ils ne dépendent que de l’entrelacs, on vérifie comme plus haut qu’ils ne sont pas modifiés par transformations élémentaires.

Pour en savoir plus, je conseille la lecture du livre d’Alexei Sossinsky, Nœuds. Genèse d’une théorie mathématique.

Post-scriptum :

Je remercie Clémence Rigolet pour sa question à l’origine de cet article, et Carine Apparicio pour l’idée de la construction impossible en carton.

Je remercie de plus Patrick Popescu-Pampu pour ses remarques efficaces sur une première version de ce texte, Étienne Ghys pour sa remarque cristalline, ainsi que Laurent Bétermin, Nicolas Bedaride, Thierry Monteil et Paul Laurain pour leur relecture attentive et leurs suggestions.

Article édité par Patrick Popescu-Pampu

Notes

[1On pourrait aussi dire icosaèdre en pensant à un solide à 20 faces pas forcément égales (ni forcément triangulaires d’ailleurs), mais nous ne le ferons pas ici.

[2c’est en effet l’un des solides platoniciens

[3Étienne Ghys me fait remarquer que ce modèle, étant taillé dans du cristal de roche, ne peut être un icosaèdre régulier : les symétries possibles dans les cristaux n’incluent pas celle de celui-ci. C’est plus probablement un pseudoicosaèdre. Pour en savoir plus, cette page semble un bon point d’entrée...

[4exposé au Musée départemental Jérôme Carcopino d’Aléria, en Corse ; on pourra en trouver une meilleure photo en page 38 du catalogue.

[5la lectrice qui s’y connait pourra s’en convaincre par le calcul à partir des coordonnées de ces sommets : elles sont de la forme $(\pm \tau,\pm 1,0)$, $(0,\pm\tau,\pm 1)$, $(\pm 1,0,\pm\tau)$

[6En général, un entrelacs est la donnée à déformation près d’une ou plusieurs boucles dans l’espace, nouées ou non, enlacées ou non. Une seule boucle forme un nœud.

[7c’est à dire une représentation plane de l’entrelacs obtenue en le projetant (lui ou l’une des ses déformations) sur un plan bien choisi et en marquant à chaque croisement lequel des deux brins concernés est le plus au-dessus (pour plus de précisions, se reporter par exemple à ceci).

[8et en appliquant des déformations ne modifiant pas les positions relatives des croisements, mais ça, on le sous-entendra dans la suite...

[9les transformations I, II et III précédentes sont d’ailleurs appelées mouvements de Reidemeister

[10cf. J.H. Przytycki, 3-coloring and other elementary invariants of knots pour plus de détails

[11si, si, j’insiste !

[12tous s’y ramènent par échange de couleurs

[13en particulier celui issu des cadres enchâssés, je vous laisse le vérifier !

[14un peu comme l’empreinte ADN, plus efficace pour distinguer deux individus que la couleur des yeux

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Pour citer cet article :

Clément Caubel — «Peut-on dénouer l’icosaèdre ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Commentaire sur l'article

  • Peut-on dénouer d’autres polyèdres ?

    le 12 mars 2013 à 23:58, par Quentin

    Merci pour ce bel et surprenant article, dont le titre est fort curieux.

    Je me demandais si il s’agit d’une perle isolé ou si des constructions similaire peuvent avoir lieu avec les autres polyèdres, voir leurs « grands cousins » ?

    Cordialement.

    Répondre à ce message
    • On ne dirait pas...

      le 14 mars 2013 à 00:54, par Clément Caubel

      Merci pour votre commentaire et votre question ! Je pense qu’il faut se mettre d’accord sur « construction similaire ». Pour moi (et peut être un peu arbitrairement), ce serait le fait que les sommets de l’icosaèdre se divisent en trois paquets égaux, chacun délimitant une composante plane et centrée en l’origine d’un entrelacs intéressant.

      Il me semble qu’en dimension 3 seul l’icosaèdre ait cette propriété : le seul autre à avoir un nombre de sommets divisible par 3 est l’octaèdre, mais 2 sommets, ça ne délimite pas une courbe fermée...

      En dimension $n\geq 4$, on diviserait les sommets en $n$ paquets d’au moins $n$ sommets (nombre minimal pour délimiter une composante d’entrelacs en dimension $n$). Ne restent alors que l’hypercube à $2^n$ sommets, si $n$ est une puissance de 2, et le 24, le 120 et le 600 en dimension 4. Pour ces deux derniers, il faudrait des paquets de 150 ou 30 sommets tous dans le même hyperplan, ce qui semble difficile ! Pour le 24 et les hypercubes, après quelques essais je n’y crois pas trop, mais je n’ai pas d’argument direct (y a-t-il un spécialiste dans la salle ?)

      Il semblerait donc bien que l’icosaèdre soit une perle de ce point de vue.

      Répondre à ce message
      • On ne dirait pas...

        le 16 mars 2013 à 12:52, par Quentin

        Merci de la réponse,

        je n’ai moi aussi pas trouvé d’autres constructions intéressantes mais en cherchant sur mathcurve.com je suis tombé sur ce dessin :

        http://www.mathcurve.com/polyedres/dodecaedre/dodectoit2.gif

        Il montre (grâce à la construction de l’article) qu’un dodécaèdre peut être vu comme un cube avec un icosaèdre (non régulier, mais pas très irrégulier). Cela m’a surpris et amusé, alors je le partage même si ce n’est pas trop en relation avec l’article :)

        Répondre à ce message
  • Peut-on dénouer l’icosaèdre ?

    le 13 mars 2013 à 15:17, par Rémi Peyre

    Très sympa, cet article ; j’ai beaucoup aimé ! :-D

    Répondre à ce message

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