Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

Piste verte 10 avril 2015  - Ecrit par  David Mumford Voir les commentaires (25)

Cet article a été écrit en partenariat avec Traductions

Le texte qui suit, traduit par Patrick Popescu-Pampu, est paru initialement sur le blog de David Mumford. On y trouve le récit des efforts de son auteur et de John Tate, éminents mathématiciens, pour transmettre au public scientifique de la revue Nature quelques idées des contributions de Grothendieck aux mathématiques, ainsi que des considérations sur le gouffre actuel entre mathématiciens et autres scientifiques. Le comité de rédaction d’Images des Maths précise que si l’article a été classé en piste verte, c’est parce qu’il est possible de le lire en s’intéressant uniquement aux aspects humains présentés, sans connaissance préalable des notions techniques qui y sont mentionnées.

La revue Nature nous a demandé, à John Tate et à moi, d’écrire un article nécrologique sur Alexander Grothendieck. C’est l’un de mes héros, la personne parmi celles que j’ai connues
qui mérite le plus l’adjectif de « génie ». Je l’ai rencontré pour
la première fois lorsqu’il visita Harvard et que John, Shurik
(comme il était appelé) et moi dirigions un séminaire sur les
« Théorèmes d’existence ». Son dévouement pour les maths,
son dédain du comportement formel et des conventions, son
ouverture et ce que John et d’autres appellent sa naïveté
entrèrent en résonance avec moi.

Ainsi, John et moi avons accepté d’écrire la notice nécrologique
ci-dessous. Comme le lectorat de Nature est constitué presque
exclusivement de non-mathématiciens, il nous sembla que notre
défi était de rendre certaines parties essentielles du travail de
Grothendieck accessibles à une telle audience. Évidemment, la
définition même d’un schéma est centrale dans son travail, et
nous voulions aussi dire quelque chose d’authentique sur les
catégories et la cohomologie. Voici ce à quoi nous avons
abouti :


Alexander Grothendieck

(texte de David Mumford et John Tate)

Les mathématiques devinrent de plus en plus abstraites et
générales au fil du 20e siècle, et Alexander Grothendieck
fut le plus grand maître de cette tendance. Son grand talent
était d’éliminer toutes les hypothèses inutiles et de creuser
un thème si profondément que sa structure interne la plus
abstraite se révèle – puis, tel un magicien, de montrer comment
la solution de vieux problèmes en découlait de manière
directe, maintenant que leur nature véritable avait été révélée.
Son endurance et son intensité étaient légendaires. Il travaillait
pendant de longues heures, transformant totalement le
domaine de la géométrie algébrique et ses relations avec la
théorie algébrique des nombres. Il était considéré par de
nombreuses personnes comme le plus grand mathématicien du 20e siècle.

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Alexander Grothendieck

Grothendieck naquit à Berlin le 28 Mars 1928 d’un couple
d’activistes politiques anarchistes – un père juif russe,
Alexander Shapiro et une mère allemande protestante,
Johanna (Hanka) Grothendieck, et il eut une enfance
turbulente en Allemagne et en France, en échappant à
l’holocauste dans le village français de Le Chambon, connu
pour sa protection des réfugiés.

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Hanka Grothendieck
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Alexander Shapiro

C’est là en pleine guerre,
au Collège Cévenol, que semble avoir surgi sa fascination pour les
mathématiques. Adulte, il vécut en France mais il resta
apatride (avec un « passeport Nansen ») pendant toute sa vie,
en accomplissant la plus grande partie de son travail
révolutionnaire pendant la période 1956-1970, à l’Institut
des Hautes Etudes Scientifiques
(IHÉS) dans une banlieue
de Paris, après sa fondation en 1958. Il reçut la Médaille Fields
en 1966.

Son premier travail, stimulé par Laurent Schwartz et Jean Dieudonné,
rajouta des idées majeures à la théorie des espaces de fonctions,
mais il trouva vraiment sa voie lorsqu’il aborda la géométrie
algébrique. Il s’agit du domaine où l’on étudie le lieu des solutions
d’ensembles d’équations polynomiales en combinant les propriétés
algébriques des anneaux de polynômes avec les propriétés
géométriques de ce lieu, connu sous le nom de variété. Traditionnellement,
il s’agissait des solutions complexes de polynômes
à coefficients complexes mais juste avant le travail de Grothendieck,
André Weil et Oscar Zariski avaient compris que l’on gagnait
considérablement en ampleur et profondeur en considérant des
solutions et des polynômes sur des corps arbitraires, par exemple
sur des corps finis ou sur des corps de nombres algébriques.

Les fondements adéquats de cette vision élargie de la géométrie algébrique
étaient néanmoins peu clairs et c’est là que Grothendieck fit sa première
innovation, immensément significative : il a inventé une classe de structures
géométriques généralisant les variétés qu’il appela des schémas. Dit de la
manière la plus simple, il proposa d’associer à tout anneau commutatif
(n’importe quel ensemble d’objets pour lesquels l’addition, la soustraction
et une multiplication commutative sont définies, comme l’ensemble des
entiers ou l’ensemble des polynômes en les variables $x,y,z$ à coefficients
complexes) un objet géométrique, appelé soit le Spec de l’anneau (raccourci
de spectre) soit son schéma affine, et de recoller de tels objets entre eux
pour former un schéma. L’anneau est pensé comme ensemble de
fonctions sur son schéma affine.

Pour illustrer à quel point cette idée a été révolutionnaire, un anneau peut
être fabriqué en partant d’un corps, disons celui des nombres réels, et en
rajoutant une quantité $\epsilon$ qui satisfait $\epsilon^2 =0$. Pensez
à $\epsilon$ de la manière suivante : vos instruments peuvent vous
permettre de mesurer une petite quantité telle que $\epsilon = 0,001$
mais alors $\epsilon^2 = 0,000001$ pourrait être trop petit pour
être mesuré, donc il n’y a pas de mal à dire qu’il est égal à zéro. Les
nombres dans cet anneau sont de la forme $a + b \cdot \epsilon$ avec $a$ et $b$
réels. L’objet géométrique auquel correspond cet anneau est un vecteur
infiniment petit
, un point qui peut bouger de manière infinitésimale, mais
seulement au premier ordre. Grothendieck revint à Leibniz,
en concevant ainsi les infinitésimaux comme des objets qui peuvent
être manipulés. Une idée semblable a récemment été utilisée en physique,
pour les supercordes.

Pour relier les schémas à la théorie des nombres,
on prend l’anneau des entiers. Le Spec correspondant a un point pour chaque
nombre premier, en lequel les fonctions prennent des valeurs dans le corps
fini des entiers modulo $p$, et un point classique en lequel les fonctions
prennent des valeurs rationnelles, et qui est plus « gros », car il a tous les autres
points dans son adhérence.

Dès que cette construction devint familière,
peu nombreux furent ceux qui doutèrent qu’il avait trouvé les fondements
corrects pour la géométrie algébrique. Elle est à présent universellement acceptée.

En avançant dans l’abstraction, Grothendieck utilisa le réseau des applications
associées – appelées morphismes – allant d’un schéma variable à un schéma
fixe, pour décrire les schémas en tant que foncteurs. Il remarqua que de
nombreux foncteurs qui n’étaient pas des schémas apparaissaient en géométrie
algébrique. Ceci est semblable à la situation scientifique où on a de
nombreuses expériences mesurant un certain objet, à partir desquelles la chose
réelle inconnue est reconstituée, ou même à celle où on découvre quelque chose
d’inattendu à partir de son influence sur les choses connues. Il appliqua cette
méthode à la construction de nouveaux schémas, ce qui mena à de nouveaux
types d’objets appelés des champs, dont les foncteurs associés ont été ensuite
caractérisés avec précision par Michael Artin.

Son travail le plus connu est son attaque de la géométrie des schémas et des
variétés par la découverte de façons de calculer leurs invariants topologiques
les plus importants : leur cohomologie. Un exemple simple est la topologie d’un
plan privé de l’origine. En utilisant des coordonnées complexes $(z,w)$,
un plan a quatre dimensions réelles, et en enlevant un point, ce qui reste est
topologiquement une sphère de dimension trois [1]. En suivant les suggestions
inspirées de Grothendieck, Artin est parvenu à montrer que l’algèbre suffisait
à définir un certain groupe de cohomologie en dimension trois et à montrer
qu’il n’avait qu’un générateur, c’est-à-dire que la sphère vivait aussi
algébriquement. Ensemble ils développèrent ce qui est nommé cohomologie
étale
au fameux séminaire de l’IHES. Grothendieck continua en résolvant
plusieurs conjectures profondes de Weil, en développant la cohomologie
cristalline
et une métathéorie cohomologique appelée des motifs avec un groupe
brillant de collaborateurs qu’il avait attirés à cette époque.

En 1969, pour des raisons qui ne sont entièrement claires pour personne,
il quitta l’IHES où il avait fait tout ce travail et il plongea dans une campagne
écologico-politique qu’il appela Survivre. Avec un esprit étonnamment naïf (qui
lui a bien servi pour faire des maths), il a cru qu’il pouvait lancer un mouvement
qui change le monde. Mais lorsqu’il vit que cela n’arrivait pas, il revint aux
maths, en enseignant à l’Université de Montpellier. Il y formula des visions
remarquables de structures encore plus profondes connectant l’algèbre et la
géométrie, par exemple le groupe de symétrie de l’ensemble de tous les
nombres algébriques (connu sous le nom de groupe de Galois
$\mbox{Gal} (\overline{\mathbb{Q}} / \mathbb{Q})$) et des graphes
tracés sur des surfaces compactes, qu’il appela des « dessins d’enfants ». En dépit
du fait qu’il a écrit des traités de milliers de pages à ce sujet, pas encore
publiés, son programme de recherche a été pauvrement financé par le CNRS
(Centre National de la Recherche Scientifique) et il accusa le monde
mathématique d’être totalement corrompu. Pendant les deux dernières
décennies de sa vie il rompit avec le monde entier et il rechercha une totale
solitude dans le petit village de Lasserre, dans les contreforts des Pyrénées.
Il y vécut seul dans son monde mental et spirituel, en écrivant de remarquables
textes d’auto-analyse. Il mourut dans les environs du 13 Novembre 2014.

En tant qu’ami, Grothendieck pouvait être très chaleureux, pourtant les
cauchemars de son enfance avaient fait de lui une personnalité très complexe.
Il était unique de presque tous les points de vue. Son endurance et sa naïveté
lui ont permis de refaire les fondements d’une bonne partie des maths du
20e siècle en utilisant des intuitions uniques qui étonnent encore de nos
jours. La puissance et la beauté du travail de Grothendieck sur les schémas,
les foncteurs, la cohomologie, etc. sont tels que ces concepts sont devenus
les bases d’une bonne partie des maths contemporaines. Les rêves de ses
travaux ultérieurs demeurent des défis pour ses successeurs.


$\ $

Ce qui est triste est que ce texte a été rejeté comme trop technique pour
les lecteurs [de Nature]. Les éditeurs m’ont écrit que « les polynômes
de degré supérieur », « les vecteurs infinitésimaux » et « les espaces complexes »
(même les nombres complexes) étaient des choses qu’au moins la moitié de
leurs lecteurs n’avaient jamais rencontrées. Le fossé entre le monde dans
lequel j’ai vécu et celui de la plus grande partie de la population, même s’il s’agit de scientifiques, ne m’a jamais semblé plus large. Je suis préparé à entendre
des avocats et des hommes d’affaires dire
qu’ils avaient détesté les maths et qu’ils en avaient tout oublié
à l’exception de l’arithmétique, mais pas à cette réaction ! Nature est lue uniquement
par des personnes qui appartiennent à l’acronyme « STEM » (=Science,
Technology, Engineering and Mathematics) et dans les standards
d’éducation communs, toutes ces personnes sont supposées avoir
étudié une très grande quantité de maths. Très déprimant.

Addendum du 28 Décembre 2014

En fait, la revue Nature avait vraiment envie de publier une notice
nécrologique sur Grothendieck et nous a tellement mis la pression que
nous nous sommes mis d’accord sur une version très abrégée.
Cette version paraîtra probablement dans le numéro daté du 15 Janvier [2],
et le copyright m’empêche de la placer ici. Le problème de combler
le fossé entre le monde du mathématicien et celui d’autres scientifiques
ou de gens de la rue est sérieux et je crois que les mathématiciens
devraient plus essayer de trouver des ponts. Un exemple est le travail de
Gowers sur les bases dans les espaces de Banach : lorsqu’il reçut la médaille
Fields, à ma connaissance personne n’utilisa l’exemple des notes de musique
pour expliquer au grand public les séries de Fourier et ainsi les bases
dans les espaces de fonctions.

Dans le cas de notre notice nécrologique, j’avais espéré que l’inclusion de
la sphère unité de dimension $3$ dans $\mathbb{C}^2 – (0,0)$ serait
suffisamment claire pour la plupart des scientifiques et qu’il pouvait
ainsi être utilisé pour expliquer la découverte capitale de Mike Artin,
que $H^3_{étale}(\mathbb{A}^2 – (0,0)) \neq (0)$. Non : éliminé par
Nature. J’avais espéré que le « réseau des applications » était une excellente
métaphore pour le foncteur représenté par un objet dans une catégorie
et que cette expression transmettait l’essentiel. Non : excisé par Nature.
Pour être juste, ils ont dû réduire la longueur et ils n’ont pas voulu
omettre les détails personnels.

Je pensais que le minimum essentiel à dire dans une notice nécrologique
sur Grothendieck était d’expliquer les schémas et de dire quelque chose
de général sur la cohomologie. Pour être honnête, le point d’achoppement
central pour expliquer les schémas a été le mot « anneau ». Si vous n’avez
pas suivi un cours d’introduction à l’algèbre abstraite, où commencer ? Dans notre version
finale nous avons décidé de mentionner en passant trois exemples - les
polynômes (en laissant de côté l’expression effrayante « degré
supérieur »), les nombres duaux [3] et les corps finis. Nous avons discuté
du Spec des nombres duaux jusqu’à ce que quelque chose qui s’approche
d’une description honnête émerge, en utilisant « très petit » et
« distance infinitésimale ». En ce qui concerne les corps finis, en dépit
de l’inconfort de John, j’ai pensé que les nombres sur l’horloge
constituaient une première présentation acceptable. D’accord,
$\mathbb{Z}/{12 \mathbb{Z}}$ n’est pas un corps, mais y a-t-il une
manière plus rapide d’introduire les anneaux finis que de dire
« une sorte de nombres qui sont additionnés comme les heures sur une
horloge – 7 heures après 9 heures n’est pas 16 heures, mais
$4$ heures » ? Nous décrivons ensuite la caractéristique $p$ comme
un monde « discret », en contraste avec le monde classique/continu
de la caractéristique $0$. Dans une autre direction, nous avons
aussi rajouté la clause « inspiré par les idées du mathématicien français
Jean-Pierre Serre », une reconnaissance de leur extraordinaire
collaboration.

Le tout est un compromis et je ne désire pas dire que la revue Nature est
folle ou stupide de ne pas permettre plus de maths. Le réel problème
est qu’un tel gouffre énorme et douloureux s’est ouvert entre les
mathématiciens et le reste du monde. Je pense que les programmes
de mathématiques des collèges et des lycées sont l’une des grandes
causes de celui-ci. Si les maths étaient introduites comme connectées
au reste du monde, plutôt qu’en tant qu’exercice isolé, si on les
montrait comme reliées à l’argent, à la physique, la chimie, la biologie,
à l’optimisation des décisions et à l’écriture des programmes
informatiques, moins d’élèves seraient rebutés. En fait, pourquoi
ne pas renoncer aux cours de maths séparés et enseigner les maths
au fur et à mesure des besoins en science, instruction civique ou
cours de commerce ? Si vous y pensez, je crois que vous serez d’accord avec
moi que cela ne serait pas une si mauvaise idée.


Note du traducteur : en consultant le texte original, le lecteur trouvera quelques commentaires de l’article précédent, ainsi que des réponses de Mumford.

Post-scriptum :

Patrick Popescu-Pampu remercie chaleureusement David Mumford pour avoir permis cette publication sur IdM et l’ajout de liens vers d’autres pages, ainsi que Bernard Teissier pour ses remarques sur une première version de la traduction.

Notes

[1NDT. Cette formulation est un raccourci. En fait, le plan complexe privé d’un point peut se déformer continûment en une sphère tridimensionnelle, en contractant tout vers la sphère unité le long des rayons.

[2NDT. En effet, elle parut à la page 272 du no. 517 du 15 Janvier 2015 de la revue Nature.

[3NDT. Il s’agit des nombres de la forme $a + b \cdot \epsilon$ dont il a été question précédemment.

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Pour citer cet article :

David Mumford — «Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ? » — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Le logo provient de Wikimedia Commons. Il s’agit d’une photo de David Mumford prise en 2010. Les photos d’Alexander Grothendieck et de ses parents proviennent de la même source : d’ici, de et encore de .

Commentaire sur l'article

  • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

    le 10 avril 2015 à 10:13, par B !gre

    Sans être un spécialiste de géométrie algébrique (loin de là !), je sais ce qu’est un anneau, un polynôme, etc. Pourtant, je n’ai pas l’impression à la lecture de ce texte de Mumford (que j’avais déjà lu en anglais il y a quelques temps) d’avoir réussi à me faire une idée même vague de ce qu’est un schéma (notion que je ne maîtrise pas). Je trouve les réflexions de Mumford sur le fait que les scientifiques non-mathématiciens connaissent trop peu de maths peu convaincantes du coup. C’est bien sûr difficile de dire cela d’un texte cosigné de Mumford et Tate, mais je pense que ce texte n’est pas une bonne vulgarisation du travail de Grothendieck. Je le dis d’un point de vue extérieur, et non pas du point de vue de quelqu’un qui connaît ce travail. Je trouve l’explication donnée par Eric Zaslow à la suite de l’article original bien plus compréhensible, même si elle n’a pas l’air de convaincre Mumford.

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    • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

      le 11 avril 2015 à 14:33, par David Mumford

      First of all, I hate replying to faceless people : why do people commenting on blogs use pseudonyms and conceal themselves ?

      Anyway, Mr B !gre, I am sorry my metaphors did not enlighten you even vaguely on what a scheme is. BUT I want to recall the constraints on my explanations : Nature would not let me assume readers knew what rings or higher degree polynomials were and wanted the whole obituary to be less than (I think it was) 800 words. Since you know what rings are, a totally different tack would be needed. My criticism of Zaslow is not that his description doesn’t work better for people in your shoes, but rather that it wouldn’t work for biologists. Perhaps you are a graduate of the ENS which would explain the style of explanation you seek. What I chose was to use loose language to convey one of the key ideas in schemes, AG’s use of nilpotents.

      Répondre à ce message
      • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

        le 12 avril 2015 à 20:02, par B !gre

        Dear David Mumford,

        I am a graduate of the ENS, but not in maths. I’ve had some courses in maths, and I definitely use a lot of maths in my research. Of course, I have not the same background as the average Nature reader, and your text was not intended to me. I also understand the constraints you had !

        Nevertheless, I found your text hard to understand. And I doubt that an average biologist would have the impression that s/he got any clue on what schemes are. I may be totally wrong (and I would have to check that) but I feel like Zaslow’s text would make at least some sense to biologists.

        P.S. : I use a pseudonym on this website and others since I do not yet have a permanent position and I want to be free to write whatever I want without risking any kind of problem afterwards. I had once a remark during an interview on something I wrote with my real name on a blog, and this convince me to continue that way. Yet, I’ll be happy to give my real name once I get a position, and I have also no problem giving it privately to you if you want !

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    • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

      le 12 avril 2015 à 00:19, par Pierre Colmez

      Il est probable que l’on peut expliquer les schémas, de manière informelle, à un biologiste, mais je ne suis pas sûr que ce soit le cas avec un mathématicien qui est formaté pour ne rien comprendre s’il ne comprend pas tout. J’ai été frappé par les commentaires sur le livre de Villani ; certains des plus négatifs provenaient de gens avec une formation mathématique se plaignant de ne rien comprendre...

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  • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

    le 10 avril 2015 à 17:12, par Creux

    Je fais à peu près le même constat que B !gre : je connais les structures algébriques « de base » mais ne parviens pas vraiment à me représenter un schéma. Mais je ne pense pas non plus être le public de Nature. Pour ce que j’en sais, le rôle d’une « revue de référence » n’est pas de faire de la vulgarisation pour le grand public. Après, reste à savoir où placer le curseur pour qu’un chercheur non mathématicien puisse saisir l’essentiel des notions...

    Au passage, une petite remarque syntaxique : il faudrait écrire « le village français du Chambon » et non pas « de Le Chambon », de la même manière qu’on contracte l’article du nom de lieu dans « la place du Trocadéro » ou « les rillettes du Mans ».

    Répondre à ce message
    • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

      le 10 avril 2015 à 20:58, par TheBarber

      Ne dit-on pas « de Le Corbusier » ?

      Répondre à ce message
      • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

        le 11 avril 2015 à 09:06, par Creux

        Oui, mais parce que Le Corbusier est une personne, pas un lieu.

        Répondre à ce message
  • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

    le 10 avril 2015 à 23:13, par Karen Brandin

    Idem ; je suis très touchée par l’évidente sincérité de D. Mumford dont on devine les efforts consentis. On imagine à quel point il est convaincu d’être très clair dans ses explications et tentatives de métaphores et finalement combien il sort peiné de ne pas être parvenu à se faire comprendre car il faut en effet reconnaître que son résumé de l’oeuvre de Grothendieck n’est pas aussi limpide qu’il l’espérait sans doute.

    Je ne sais pas si la pédagogie relève d’un « don » mais ce qui est sûr, c’est que ce n’est pas un dû. On peut être un éminent spécialiste doublé d’ un grand technicien sans pour autant parvenir à être un « passeur » d’idées.

    En géométrie algébrique notamment, tous les raccourcis sont fatals à la compréhension ou presque. Est-ce qu’il faut renoncer à toute tentative de « vulgarisation » ?, évidemment non mais c’est une entreprise aussi salutaire que délicate.

    Je me souviens étudiante d’avoir été fascinée, soulagée, et profondément admirative à la lecture de l’ouvrage « Panorama des mathématiques pures » de Jean Dieudonné que je recommande chaudement même s’il a vieilli bien entendu et que les maths ont bien grandi depuis.

    En revanche, je suis très étonnée (même franchement déroutée) de la suggestion finale de découvrir les objets mathématiques au fur et à mesure qu’ils s’imposent d’eux-mêmes dans le processus de description de phénomènes « naturels » (au sens large).
    On pouvait facilement deviner que l’auteur de ces lignes ne connaît l’enseignement qu’au travers du filtre de l’excellence ! ;-)

    Dans un référentiel de très bons élèves
    et dans des conditions optimales d’apprentissage (très petits effectifs), cela fonctionnerait sans doute mais dans le cadre d’une classe hétérogène de 40 élèves environ où le but est finalement de sécuriser la majorité par des notions ciblées, je suis bien plus sceptique.

    Sans compter qu’il faudra un jour abandonner cette idée qui a décidément la vie dure selon laquelle les élèves seraient davantage motivés par les mathématiques s’ils étaient « mieux » confrontés à leurs applications. Je ne compte le nombre de terminales ES qui se décomposent littéralement lorsque l’étude de fonction contient une partie B subtilement intitulée : « Application économique. »

    En général, il faut être plutôt à l’aise avec les objets pour parvenir à les voir en action ailleurs que dans leur environnement « naturel » (il existe des élèves pour lesquels « concrétiser » simplifie mais ce n’est pas la majorité selon moi) sans compter qu’
    Il faudrait aussi que cela soit encore possible d’aimer pour rien ...

    Répondre à ce message
  • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes et aux physicien(ne)s ?

    le 11 avril 2015 à 11:43, par ROUX

    J’ai lu le texte de Mumford, et je n’ai strictement rien compris.

    Puis, j’ai lu le texte de Zaslow, et, déjà, j’ai mieux compris ce dont s’occupe la géométrie algébrique.

    Le commentaire de Mumford au commentaire de Zaslow utilise 100% comme pourcentage de précision du discours.

    Là est le problème.

    En sciences physiques, la vulgarisation répond à un principe simple : votre explication à un(e) interlocuteur(trice) doit être fausse à F% pour engendrer une idée juste à (100-F)% chez cet(te) interlocuteur(trice) .

    Je vais lire à nouveau, plusieurs fois, le commentaire de Zaslow et je vous soumettrai, ici-même, mon idée de ce qu’est un schéma ou, au moins ce qu’est la géométrie algébrique, à charge pour vous de déterminer la valeur de F, que par définition, je ne peux pas évaluer !!!

    Et je ne suis qu’un professeur de sciences physiques en lycée...

    Dans quelques jours, hein  ;-) !!!

    Répondre à ce message
    • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes et aux physicien(ne)s ?

      le 11 avril 2015 à 11:59, par ROUX

      Principe complet : votre explication à un(e) interlocuteur(trice) doit être fausse à F% pour engendrer une idée juste à (100-F)% chez cet(te) interlocuteur(trice) car la probabilité qu’il(elle) comprenne est égale à F%.

      Désolé pour la troncature malheureuse.

      Répondre à ce message
      • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes et aux physicien(ne)s ?

        le 13 avril 2015 à 23:25, par David Mumford

        Ah : you are « modelizing » the situation of making non-technical explanations, to use my favorite word in franglais. But one thing I find missing in the many comments saying, perfectly legitimately, that my obit did not really explain schemes and Grothendieck’s work, is what the nature of my text was.

        I tried two quite different things. On the one hand, I tried to find the simplest examples that contained some of his key ideas ; and on the other hand, I sought basically correct metaphors as a substitute for technical definitions. Thus I couldn’t talk of prime ideals but I felt that spec of the dual numbers and spec of Z were the two totally new examples that schemes allowed. I tried half a dozen ways to talk about infinitesimals to explain spec of the dual numbers. I liked the idea that 0.0001 meters is pretty small though visible but its square, 0.00000001 meters, can be assumed zero — unless you have an electron microscope. I also thought that the idea that the punctured plane has non-zero H^3 seemed the simplest unexpected fact about cohomology, an example that is clarified if you think of pairs of complex numbers being 4-dimensional and that a 3-sphere can then be wrapped around the origin. As for metaphors, I stand by « the web of associated maps » as a reasonable way to describe functors.

        I submit that key examples and metaphors get you halfway to true definitions and are a very useful complement especially when the definition is quite abstract.

        Répondre à ce message
    • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes et aux physicien(ne)s ?

      le 11 avril 2015 à 15:33, par Thomas Rataud

      Mais, lorsque David Mumford évoque les problèmes qui viennent de l’irrésistible tentation d’une précision parfaite, n’est-ce pas pour regretter justement que Zaslow y ait succombé ?

      Et il ne me semble pas que Mumford et Tate aient voulu écrire une présentation de la géométrie algébrique. La fin du paragraphe où sont mentionnés Weil et Zariski est assez captivante, je trouve : ces deux-là avaient introduit de nouvelles bestioles dans le domaine, on voyait bien que ça donnait des choses fertiles, mais on ne comprenait pas pourquoi. Là-dessus est arrivé Grothendieck qui a édifié le cadre où les choses prendraient un aspect naturel. Cadre où, nous disent les deux auteurs, ont su travailler des gens comme M. Artin. Si je ne m’égare pas trop en comprenant ainsi le mouvement de leur texte, indépendamment des contraintes éditoriales, ce qu’ils ont cherché à faire me parait mieux convenir à la demande de Nature que le texte de Zaslow.

      Comment agissent en nous, à long terme, des exposés dont nous ne comprenons pas le détail, est-ce que les ingrédients choisis pour donner la saveur des schémas sont appropriés ? c’est une question qu’il ne faut peut-être pas traiter trop rapidement. A vouloir comprendre au fil du texte, sentirait-on ce qu’ils veulent nous faire entrevoir de l’originalité de Grothendieck ?
      Après cela, reste à savoir comment on se débrouille avec de telles impressions, de telles images, mais un truc qui insiste dans la tête n’est pas forcément sans vertus.

      Pour la question du rapport entre la frilosité manifestée par Nature, la perception des maths dans la société et leur enseignement, on n’oubliera pas le débat d’il y a quelques années né de l’article de D. Mumford et S. Garfunkel. N’avait-on pas lu ça ici (sur Images des Maths) ?

      Ceci dit, M. Roux, je lirai avec plaisir la suite de vos cogitations.

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  • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

    le 11 avril 2015 à 20:09, par Karen Brandin

    C’était sans doute à la revue « Nature » de mieux circonscrire sa requête ; lorsque l’on demande à un spécialiste de « géométries » (au pluriel donc) de donner une intuition des travaux de Grothendieck, il y a
    tout de même un fort risque de voir apparaître des notions de mathématiques avancées car tout ne peut pas être traduit en termes courants. C’est sans espoir.

    Peut-être aussi que dans certains cas, il est plus judicieux de s’adresser aux Saints qu’à Dieu car ils sont un peu plus près du sol si l’on peut dire ;-) ; lorsqu’il s’agit de présenter des objets qui sont votre quotidien depuis plusieurs dizaines d’années, ce n’est pas toujours évident de les repenser avec l’oeil du profane ni d’avoir une juste appréciation de ce qui est simple et de ce qui ne l’est pas.

    Sans doute « Nature » souhaitait finalement une histoire des idées de Grothendieck vu comme « effeuilleur » de structures au sens où là où nous voyons un produit fini, compact et insécable, lui semblait parvenir à l’effeuiller couche par par couche jusqu’à atteindre le coeur et donc l’essence même de l’objet.
    Il semblait hors du temps, indépendant du temps même, au sens « capable de le remonter mentalement. »

    C’est très étrange au point que cela se ressent plus que cela ne s’explique.

    En revanche, ce travail effectué par ses soins, d’autres ont pu, ont su éduquer leur regard pour pouvoir utiliser ces objets et leur donner toute leur ampleur.
    Je ne me souviens pas exactement de la métaphore utilisée par Jean Dieudonné mais « moralement », tout le monde est important de celui qui est à l’origine du son à ceux qui se chargent de le propager, voire de l’amplifier et de le rendre intelligible.

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  • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

    le 13 avril 2015 à 16:36, par bayéma

    professionnalisme ou bricolage ? tel est l’alternative fondamentale de toute activité humaine, qu’elle soit matérielle ou spirituelle. c’est dans cet entre-deux que se situe, assez maladroitement à mon avis, le texte de mumford et tate. leur problème, et c’est pourquoi il me semble qu’ils l’ont raté, est celui du bon journaliste scientifique.

    lorsqu’on s’adresse à un public de bricoleu.r.se.s (même averti.e.s) on sait qu’ils ne faut pas les confondre avec des étudiant.e.s filière maths. ici il faut des instruments pointus et un langage serré, des méthodes éprouvées (laissant tout de même la place à la souplesse), là, surtout des recettes et des « fictions » pouvant faire rêver, cette capacité à laquelle tenait tant grothendieck, avec l’esprit « enfant » et le féminin qui lui paraissaient expliquer sa créativité (récoltes et semailles).

    je note d’ailleurs que ce texte n’est pas nommé, même s’il est abordé par la bande par nos deux auteurs (mais on sait que le public anglo-saxon est peu porté à l’introspection), et je note aussi qu’ils ne nomment pas les topos, qui fait trilogie, crois-je, avec les schémas et les motifs.

    tout propos, tout discours, doit d’abord définir son adresse, le genre de public concerné. il est fallacieux de penser qu’on peut s’adresser aux bricoleu.r.se.s en ayant toujours à l’esprit et dans la méthode la « surveillance » (le « surmoi » comme dirait freud) de la communauté tout entière prête à vous sauter dessus à la moindre légèreté qui ne serait pas de rigueur chez les pros. pour un public bricoleur, le savoir peut passer par des suites d’analogies de moins en moins grossières, jusqu’à atteindre les premiers contreforts de l’abstraction, puis de la formalisation. à lui, ce public, ensuite de se métamorphoser.

    josef bayéma, plasticien, guadeloupe.

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    • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

      le 13 avril 2015 à 23:43, par David Mumford

      I don’t feel this comment addresses a key point. Grothendieck indeed cherished an idea of simplicity (dessin d’enfants) but, for him, only the most abstract formulation was the right one. In my correspondence with me, I was someone who could cook up examples so he could refine his conjectures. I believe that for most people, first seeing the key examples is needed before seeing the abstract formulation. It is not an issue of amateurs vs. professionals but rather an issue of two types of mind. One type is more comfortable with generalities, one with specifics. I believe French « formation » strengthens the former, Anglo-saxon culture often the latter.

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  • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

    le 14 avril 2015 à 03:26, par bayéma

    votre réponse me conforte dans l’idée de la difficulté du dialogue entre non mathématicien.ne.s et mathématicien.ne.s professionnel.le.s, dont une raison est, à mon avis, que les mathématicien.ne.s trempent en permanence dans un réel exclusivement symbolique dont elles et ils sont les seul.e.s à pouvoir apprécier les théorèmes et démonstrations car le public n’a pas la possibilité d’en tester avec ses cinq sens la validité.

    aussi je souhaite sincèrement que vous ne vous offusquiez pas de mon propos.

    je suis en total désaccord avec votre assertion concernant les deux sortes d’esprits : les « généralistes » et les « concrétistes » (je tasse). mais je n’en dirai pas plus ici car cela m’entraînerait trop loin.

    hors mathématiques, tout.e être humain.e est les deux à la fois (d’ailleurs c’est aussi l’idée de grothendieck, bien affirmée et insistante dans « récoltes et semailles »). seule la vie psychosociale de chacun.e fera apparaître et dominer telle tendance plutôt que l’autre, et encore, ça peut changer, pensez à un faraday ou à un rimbaud, par exemple. mais je veux juste aller un petit peu plus loin (je vous rassure, pas trop ici !) cette classification des esprits laisse de côté, parce que rationalisée-rationalisatrice (ça se trouve très bien illustré par penrose : shadows of the mind), la part d’impondérable dans l’« accroche » aux mathématiques, ce « foncteur mystérieux » qui met l’esprit en branle, « foncteur » à ce point méconnu dans l’enseignement qu’il « abandonne » les élèves à la prévert. je rejoins ici la jolie formule de karen brandin sur la pédagogie et la « passe ». je n’irai pas plus loin, là-aussi, sur cette question importante du transfert dans la transmission.

    vous dites que grothendieck et vous avez la même éthique de la simplicité, que vous associez à la formulation mathématique (si j’ai bien compris). il n’y a rien de moins simple, pour le vulgum pecus, qu’une formulation mathématique (on parle de « couper les cheveux en quatre » -to split hairs-, pourquoi ? parce que, tout simplement, il n’y a pas beaucoup d’usager.e.s des maths, ès qualité), ça fait toute la différence.

    parlons des « dessins d’enfants ». vous savez très bien que ce ne sont pas des dessins d’enfant.e.s, dessinés réellement par de vrai.e.s enfant.e.s, mais des épures de graphes, voire des épures d’épures. mais il a tout de même raison parce que quand il en parle c’est en tant que cohomologiste et quiconque a le droit de voir ce qu’il voit et de l’appeler « chaise », « table » ou « bière », comme disait hilbert, sauf que ce n’est quand même pas la même chose car enfin, si « dessins d’enfants » il y a, alors pourquoi ne pas exhiber de vrais dessins d’enfant.e.s et nous expliquer toutes vos choses de cohomologie étale, de motifs, etc ? afin de nous faire pénétrer, tout.e un.e chacun.e dans cette merveilleuse « vision » dont grothendieck n’a cessé de parler.

    l’accès à la symbolisation est, peut-être, l’un de ces « foncteurs mystérieux » qui agissent dans l’ombre et sculptent la personnalité, un autre étant l’accès à l’imaginaire (pas celui des complexes).

    josef bayéma.

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    • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

      le 15 avril 2015 à 22:25, par verdurin

      @ josef bayéma.

      Je suis assez choqué par le langage employé.

      Je comprend bien que tout le monde ne parle pas le français couramment.

      Si c’est votre cas, une réponse en globish aurait été préférable.

      Sinon un respect minimum des règles courantes de la typographie et de l’orthographe aurait rendu votre message plus lisible.

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      • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

        le 16 avril 2015 à 18:04, par ROUX

        Vous devriez demander à IdM de retirer votre commentaire très unfair.

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  • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

    le 16 avril 2015 à 00:57, par bayéma

    @verdurin.

    je serais sincèrement enchanté que vous me précisiez sur quoi porte(nt) votre (vos) critique(s).

    comme le débat ne porte pas sur la langue française, je puis admettre qu’un certain relachement ait lieu, ici ou là, et pour ma part je suis toujours reconnaissant à tout.e un.e chacun.e. de me permettre d’améliorer mon langage (j’exprimais cela même à des ami.e.s, il y a peu, chinois.e.s, russes, israélien.ne.s et japonais.e.s qui viennent me visiter en guadeloupe).

    si j’intuite qu’une partie de vos critiques porte sur mon écriture féminisée , ou plutôt la typographie, je dois dire que vous me rassurez illico presto en parlant, je vous cite : « ...des règles courantes... » ce qui, selon le sens commun, montre une possibilité d’un usage mallarméen, apollinérien, voire « isidore-isolien » de la typographie, etc. de plus la globalisation (« internet-ionale) génère déjà des usages qui tendent à devenir courants dans d’autres référentiels de langages. mais grothendick en a certainement reconnu les »motifs« , à charge à chaque »topos" d’en exprimer le sien.

    par contre, vous dites que vous avez été choqué ; alors là, merci du compliment !

    josef bayéma.

    (je reste entièrement disponible pour développer mes idées dans un débat ad hoc).

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  • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

    le 16 avril 2015 à 01:03, par bayéma

    excuse ! j’ai oublié le « e », marque du féminin en français, dans le nom de grothendieck. un comble !.

    josef bayéma.

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  • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

    le 17 avril 2015 à 19:10, par Quentin

    Bonjour monsieur Mumford,

    Apparemment, l’explication ne semble pas être du goût des lecteurs d’IDM. Mais je ne pense pas que nous sommes des biologistes (dans notre majorité).

    J’aurais aimé savoir si vous avez des retours (positifs ou négatifs) de biologistes depuis la parution de votre texte. Il est possible que vos images leur soient plus parlantes !

    Cordialement.

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    • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

      le 18 avril 2015 à 17:15, par David Mumford

      I’d also be happy to know if the obit made sense to any biologists, but I haven’t heard any reactions. Obviously, the magazine format isn’t designed to encourage comments !

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  • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

    le 20 avril 2015 à 11:24, par Arnaud Lionnet

    Je n’ai moi non plus pas compris un grand nombre de choses dans la version initiale du texte de Mumford et Tate. Et je suis mathématicien (clairement ni algébriste ni géomètre cependant).
    Je pense que, entre autres choses probablement, ce texte essayait de faire trop de choses à la fois : parler de l’histoire de Grothendieck, sa contribution mathématique, ce qu’est la géométrie algébrique, et ce que sont les schémas.

    J’ai assez bien compris le texte d’Eric Zaslow. Mais il se focalise uniquement sur donner une idée de ce qu’est la géométrie algébrique. Il est plus long, et marche peut-être mieux sur des mathématiciens.
    J’ai en tête un texte de Poincaré, « l’épisode du marche-pied », où il s’attache uniquement à décrire sa façon de travailler et l’arrivée des idées. Il dit même (je crois) qu’il vaut mieux qu’il n’explique pas du tout les termes techniques, ça gênerait la compréhension plus que ça n’aiderait.

    Dans la première version du texte de Mumford et Tate, il y avait à la fois l’ambition de faire sentir ce que sont les schémas, et comment Grothendieck a transformé la géométrie algébrique, avec une limite en terme de taille. Je pense qu’il était très délicat de trouver le bon équilibre. Le texte final dans Nature se focalise principalement sur la vie de Grothendieck et sa contribution sans trop chercher à expliquer les mots techniques présent, et globalement il marche mieux je trouve.

    Répondre à ce message
  • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

    le 21 avril 2015 à 05:30, par bayéma

    oui mais quand même ! pourquoi ne se trouve t’il aucun.e mathématicien.ne pour faire l’effort de trouver une manière, quelle qu’elle soit, de tenter de faire approcher (fiou ! quelle phrase !) les notions de schéma, motif, topos ? comme on voit dans d’autres domaines des mathématiques dans des revues de vulgarisation, et pourquoi pas, genre junior. on sait tout sur les invariants de ceci, les exoplanètes, le graphène, les groupes de Galois, les fractales, etc. et rien, ce qui s’appelle rien sur les « dessins d’enfants » des nouvelles géomètries-arithmétiques. l’article sur idm concernant les notations nous envoie sur des textes effaramment illisibles (allez-y voir !) hormis les quelques happy few du sérail catégorique dont font partie mumford et tâte, je pense. il y a là un véritable problème de « courroies de transmission » qui mesure l’abîme entre les différentes « classes sociales » distinguées par l’accès aux concepts mathématiques.

    il ne s’agit pas de geindre, mais de constater non pas une « fêlure », mais une véritable faille socio-cognitive.

    et je regrette de le dire, mais il ne suffit pas d’une bonne intention mais d’un réel désir de faire savoir.

    josef bayéma.

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    • Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?

      le 12 juillet 2015 à 17:10, par Jacques Lafontaine

      en marge de cette discussion, je ne résiste pas à l’envie de raconter l’anecdote suivante,
      C’était il y a une dizaine d’années. L’ENS de Lyon organisait alors des « journées mathématiques » (je ne me souviens plus du nom officiel). Il y avait, sur trois demi-journées,
      une série d’exposés sur un thème précis, avec un cahier des charges séduisant : il était permis d’aller loin mais le point de départ devait être accessible aux élèves.

      j’ai vécu là, avec beaucoup d’autres, de grands moments de plaisir mathématique, pour lesquels je remercie chaleureusement les organisateurs (jamais trop tard pour bien faire).

      Mais venons en à mon anecdote. Je suivais une session dont l’orateur principal était Christophe Soulé. J’avoue ne pas me souvenir du thème officiel. Toujours est-il qu"à un
      moment donné, C.S demanda à la salle
      « Qui sait ce que c’est qu’un schéma ? »
      Trois ou quatre personnes levèrent la main.
      Sans se démonter, l’orateur poursuit :
      « et qui a envie de savoir ce que c’est ? »
      Dans le grand amphi de l’ENS presque plein, MOINS DE QUINZE PERSONNES lèvent la main.

      J’avoue avoir été surpris et deçu. Cela montre que les mathématiques de Grothendieck
      effraient autant une bonne part de la communauté mathématique
      que les mathématiques de tous les jours effraient les biologistes.

      D’ailleurs, sans bien sur définir formellement les schémas, Christophe Soulé a prononcé
      quelques phrases que j’ai trouvées lumineuses, mais qui n’auraient certainement pas satisfait les biologistes !

      Pour conclure : David Mumford et John Tate ne se sont pas si mal tirés d’une mission impossible.

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