Peut-on faire un anneau de tétraèdres ?

Groupe libre et jeu de construction

Piste bleue Le 5 mars 2016  - Ecrit par  Clément Caubel Voir les commentaires (4)

Situation vécue : vous êtes invité dans une maison de vacances, il y a dans un coin un jeu de construction original à base de triangles clipsables tous identiques, et vous avez du temps et deux enfants en bas âge à surveiller...

Autant en profiter pour essayer de faire [1] des constructions originales ! Donc, muni d’un seau de triangles équilatéraux tous de même taille, que l’on peut assembler le long de leurs côtés, que faire ?

Vous pouvez bien sûr commencer par faire des mosaïques planes, comme ceci...

... mais si on néglige les couleurs des triangles, ce n’est pas très varié ! Vous pouvez donc passer à trois dimensions, et rapidement vous arrivez au tétraèdre suivant :

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Quatre tétraèdres réguliers.

C’est une pyramide à base triangulaire : quatre triangles sont nécessaires. Alors, bien sûr, enhardi, vous pouvez vous lancer dans la construction de solides plus élaborés à faces triangulaires : par exemple l’octaèdre, nécessitant huit triangles,

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Deux octaèdres réguliers.

et l’icosaèdre, qui en nécessite 20 :

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Deux icosaèdres réguliers.

Ces trois exemples sont des solides platoniciens, solides particulièrement réguliers. Ce sont les seuls à faces triangulaires. Ils sont très jolis bien sûr, mais vous avez encore du temps et des tuiles triangulaires disponibles...

Alors vous regardez le tétraèdre, l’octaèdre et l’icosaèdre, et vous remarquez qu’à déformation près, ils sont tous les trois identiques : s’ils étaient mous, en gonflant leur intérieur on obtiendrait une bulle bien sphérique.

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Les trois solides platoniciens à faces triangulaires (tétraèdre, octaèdre, icosaèdre) et leurs versions « gonflées ».

Peut-on alors créer une forme fermée à partir de triangles qui sorte de ce schéma ? Pas si clair : si on ne veut pas que cette forme soit, à déformation près, une sphère, il faut qu’elle ait des anses, comme des trous dans une bouée (voir cet article ou cet autre sur IdM). Une bouée à faces triangulaires...

Déjà, avant de faire une bouée, comment faire un tube à faces triangulaires ?
Une idée serait d’assembler deux à deux des tétraèdres. Après tout, les tétraèdres sont les analogues en 3D des triangles et la surface de cet assemblage serait bien une surface à faces toutes triangulaires. De plus, en les assemblant face contre face, vous obtiendrez une forme bien rigide [2].

Alors vous commencez : vous partez d’un tétraèdre, puis vous en ajoutez un autre dessus. Ça revient à enlever une face, puis à la remplacer par trois triangles en coin. Puis vous recommencez : à chaque fois vous enlevez une face, puis vous la remplacez par trois faces en coin clipsées le long des trois arêtes du trou.

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Étapes de fabrication d’un assemblage de trois tétraèdres
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Assemblage du bout d’une chaîne de quatre étraèdres.
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Une chaîne de sept tétraèdres.

Une bonne façon d’obtenir une bouée à faces triangulaires serait alors d’assembler deux à deux des tétraèdres pour en faire une chaîne qui se referme au bout d’un moment, un anneau de tétraèdres en somme.

Arriverez-vous à refermer la chaîne ? Vous essayez...

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Un premier essai d’anneau de tétraèdres.

vous essayez...

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Un autre...

vous essayez encore...

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... et encore un autre.

et vous n’y arrivez pas ! Se pose donc la question : peut-on faire un anneau de tétraèdres [3] ?

Un peu de recherches

Après avoir réfléchi un peu à la question, sans succès, vous vous lancez à la recherche d’un éventuel document évoquant ce problème : vive l’internet !

En fouillant un peu, vous arrivez à la notion d’hélice de Boerdijk-Coxeter, qui est une chaîne de tétraèdres « droite » [4],

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Un exemple de chaîne de Boerdijk-Coxeter, comptant 27 tétraèdres.

puis à celle de polyèdre toroïdal, qui répond à la question initiale (« fabriquer une surface fermée à un trou à partir de triangles équilatéraux ») : c’est possible, en voici deux exemples.

  • Ci-dessous, un anneau formé de huit octaèdres réguliers (les repérez-vous ?)
  • Ci-dessous, un anneau formé de trois octaèdres reliés deux à deux par des chaînes de trois tétraèdres. John Conway (dont on peut apprécier les idées dans cet article d’IdM) a affirmé en 1997 que c’était le polyèdre toroïdal formé de triangles équilatéraux en nécessitant le moins possible (36 donc), répondant ainsi à une question de Martin Gardner.

Problème : aucun de ces deux exemples n’est formé que de tétraèdres réguliers ! En effet, l’octaèdre n’est pas formé de deux tétraèdres, mais de deux pyramides à base carrée. L’existence ou non d’anneaux formés uniquement de tétraèdres n’est donc pas assurée.

Supposons alors que vous soyez mathématicien, ou du moins affilié à un laboratoire de mathématiques. Vous disposez donc d’outils de recherche spécialisés : les bases de données bibliographiques [5]. Vous vous y plongez, et vous découvrez un article de 1959 [6] où l’on apprend

  • que la question a été posée le 29 février 1956 par Hugo Steinhaus, mathématicien polonais dont cet article d’IdM évoquait déjà la versatilité ;
  • que la réponse est négative : on ne peut pas faire d’anneau de tétraèdres. [7]

Vous avez trouvé la réponse et les enfants sont partis... Pourquoi ne pas tenter d’expliquer cette démonstration ?

Réduction aux extrémités

L’idée pour prouver cette impossibilité est de considérer une chaîne de tétraèdres en construction, et de comparer ses deux extrémités. En effet, si l’on pouvait refermer la chaîne en joignant celles-ci par une face commune, ça signifierait qu’en ajoutant un tétraèdre à la chaîne, les deux nouvelles extrémités se confondraient, comme le montre l’analogue en deux dimensions ci-dessous.

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Les deux extrémités ont un côté en commun...
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... puis se confondent après l’ajout d’un triangle.

Or la situation d’un tétraèdre dans l’espace est donnée par deux choses :

  • la position de son centre ;
  • son orientation par rapport à des directions fixes.

Voici encore un analogue en deux dimensions.

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De gauche à droite : Même orientation mais positions différentes ; même position mais orientations différentes ; positions et orientations différentes.

Ainsi, pour que les extrémités d’une chaîne de tétraèdres se confondent, il faut qu’elles aient la même position et la même orientation. Or nous allons voir qu’elles n’ont jamais la même orientation : ainsi, elles ne pourront jamais être confondues, et donc la chaîne ne pourra jamais se refermer en un anneau.

Comment comparer les orientations des extrémités ?

Pour pouvoir comparer les orientations des extrémités d’une chaîne de tétraèdres, nous allons d’abord différentier celles-ci : l’une sera la base (en rouge dans les figures qui suivent), et l’autre le bout (en bleu). Puis nous allons adopter un point de vue dynamique : construire la chaîne au fur et à mesure en ajoutant les tétraèdres à la base comme s’ils sortaient d’un même moule (comme le chapelet de saucisses dans un célèbre film de Jacques Tati). L’orientation de la base est ainsi fixe, seule celle du bout change.

Décrivons plus précisément le processus de construction. On commence d’abord par fixer l’espace occupé par le tétraèdre de base : on l’appellera le moule dans la suite. Alors, chaque ajout de tétraèdre compte deux phases :

  1. On déplace la chaîne construite jusqu’ici en poussant la base hors du moule de sorte qu’il soit vide et qu’elle ait une face en commun avec lui.
  2. On ajoute un tétraèdre à la place du moule : ce tétraèdre devient alors la nouvelle base.

Le moule compte quatre faces, et chacun des déplacements de la phase 1 de la base hors du moule est déterminé par celle sur laquelle elle s’appuie à la fin du déplacement : Haut, Bas, Gauche, Droite.
Remarquons tout de suite qu’un déplacement « Haut » ne peut pas succéder à un déplacement « Bas » et réciproquement, et de même pour les déplacements « Gauche » et « Droite » : ceci provient du fait que chaque déplacement de la phase 1 doit laisser le moule vide.

La chaîne obtenue au final est entièrement déterminée par la succession des déplacements effectués. Donnons deux exemples.

  • Ici on construit une chaîne de Boerdijk-Coxeter de 14 tétraèdres. La succession des déplacements correspondante est alors (vérifiez !) :
    \[G, G, B,B, G, G, B, B, G, G, B, B, G.\]
  • Voici un autre exemple où l’on construit virtuellement le troisième essai d’anneau photographié plus haut. La suite des mouvements est ici (vérifiez encore !) :
    \[H,G,G,B,D,D,B,B,B,D,D,B,G,G,H,H,G\]

Maintenant, concentrons-nous juste sur les changements d’orientation du bout bleu. À chaque déplacement de chaîne intermédiaire, si l’on néglige les changements de position [8], le bout subira un changement d’orientation élémentaire, parmi quatre possibilités :

Pour illustrer comment se composent tous ces changements d’orientation, reprenons le second exemple précédent en montrant juste les changements d’orientation successifs du bout. Rappelons que pour sa part, la base ne change pas d’orientation.

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Changements d’orientation successifs du bout, selon la suite $H,G,G,B,D,D,B,B,B,D,D,B,G,G,H,H,G$

Résumons : à la fin de la construction d’une chaîne de tétraèdres, l’orientation du bout est obtenue à partir de celle de la base par une succession de changements d’orientation élémentaires. Cette succession est déterminée par un mot, formé à partir des quatre lettres $H,B,G,D$ et soumis à la contrainte suivante, expliquée plus haut : les lettres $H$ et $B$ ne peuvent jamais être côte à côte, ainsi que les lettres $G$ et $D$. Un tel mot sera appelé mot réduit dans la suite. Par exemple, le mot réduit associé à la chaîne de Boerdijk-Coxeter du premier exemple précédent est $GGBBGGBBGGBBG$.

Nous pouvons maintenant énoncer dans ce langage le résultat qui prouve l’impossibilité de construire un anneau de tétraèdres :

Il n’y a pas de mot réduit qui donne au tétraèdre du bout l’orientation du tétraèdre de base.

Ainsi, il n’y a aucune chaîne de tétraèdres dont les extrémités peuvent être confondues (puisqu’elles n’ont jamais la même orientation), et donc aucune façon de construire un anneau de tétraèdres.

Là, vous pourriez dire : « Bon, d’accord, mais comment on prouve ce résultat ? ». Il s’avère que ce formalisme de mots réduits est très adapté au calcul : on peut calculer avec ces opérations élémentaires comme avec des nombres [9]. Pour cela, on se ramène à des objets mathématiques usuels (pour les praticiens) : rotations et groupes. On va terminer en expliquant comment. Attention : changement de couleur de piste !

Traduction en termes mathématiques : groupes libres de rotations.

Comme on peut le voir sur le premier film décrivant les quatre mouvements de la base hors du moule, chaque déplacement de chaîne intermédiaire est une rotation autour d’une arête « charnière » du moule, d’un angle égal à celui séparant deux faces de celui-ci, angle que l’on notera $\alpha$ dans la suite [10]. Ainsi, puisqu’on néglige la position, les quatre changements d’orientation élémentaires $H, B, G, D$ du bout sont les rotations d’angle $\pm\alpha$ autour des deux axes centrés orthogonaux parallèles aux deux arêtes charnières. Ces rotations se composent entre elles, comme on l’a vu dans le film montrant les changements d’orientation successifs des bouts. De plus, les rotations $H$ et $B$ sont inverses l’une de l’autre, ainsi que les rotations $G$ et $D$. Ainsi tout mot réduit en les quatre lettres $H$, $B$, $G$ et $D$ détermine un élément du sous-groupe de $SO(3)$ (ensemble des rotations centrées de l’espace) engendré par $G$ et $H$ (pour la notion de groupe et bien plus, on pourra consulter ce bel article d’IdM). Or l’énoncé précis du théorème de Świerczkowski de 1959 est le suivant :

Un sous-groupe de $SO(3)$ engendré par deux rotations d’axes orthogonaux et de même angle $\phi$ de cosinus rationnel est libre si et seulement si $\cos\phi\notin\{0,\pm 1,\pm1/2\}$.

Un groupe libre engendré par deux éléments $a$ et $b$ est exactement un groupe dont chaque élément est donné de façon unique par un mot réduit en les lettres $a$, $a^{-1}$, $b$, $b^{-1}$. Puisque les axes de $H$ et $G$ sont orthogonaux et que leur angle $\alpha$ vérifie $\cos\alpha=1/3$, on est bien dans les conditions d’application du théorème : le groupe engendré par $H$ et $G$ est libre, ce qui signifie exactement que deux mots réduits distincts en les lettres $H$, $B$, $G$ et $D$ déterminent deux éléments distincts du groupe, donc deux rotations différentes. Or il y a un élément particulier dans ce groupe : c’est la rotation « immobile », qui correspond au mot vide (à 0 lettres). Aucun mot réduit non vide ne détermine donc cette rotation, ce qui est exactement le résultat voulu : l’orientation du bout sera toujours différente de celle de la base [11].

Pour conclure...

« Mais il n’y a pas que la rotation immobile (l’identité) qui ne change pas l’orientation d’un tétraèdre !
— Non, c’est vrai : par exemple, tout demi-tour autour d’un axe passant par le milieu de deux arêtes opposées ne change pas au final l’orientation.
— Mais du coup, qu’est-ce qui garantit qu’un mot réduit non vide en $H$ et $G$ ne donne pas l’une de ces rotations ?
— C’est qu’il n’y en a qu’un nombre fini [12].
— Et alors ?
— Alors, puisque ces rotations forment aussi un groupe (le groupe des symétries directes du tétraèdre), ça implique qu’elles sont d’ordre fini : dès qu’on en prend une et qu’on la compose avec elle-même plusieurs fois (6 marche toujours), on tombe à un moment sur l’identité.
— OK, et alors ?
— Eh bien si un mot réduit non vide donnait l’une de ces rotations, le mot réduit obtenu en le collant 6 fois donnerait l’identité. Or on sait qu’aucun mot réduit non vide ne donne l’identité.
— D’accord... Mais qu’est-ce qui te prouve que le mot collé, une fois réduit, n’est pas vide ?
— Pff... Tu veux pas plutôt jouer avec les triangles ? »

Post-scriptum :

Merci à Julia et Damian pour l’invitation amicale fortuitement à l’origine de cet article, et à Patrick Popescu-Pampu pour accueillir celui-ci dans sa rubrique.

Je remercie de plus Maxime Bourrigan, Serma, Christophe Boilley, M. Ponchant, rgugliel, Jimmy Dillies et Robin Jamet pour l’avoir relu attentivement et pour les remarques ayant permis de l’améliorer.

Article édité par Patrick Popescu-Pampu

Notes

[1de préférence en collaboration avec les enfants...

[2contrairement par exemple aux kaleïdocycles, colliers de tétraèdres assemblés deux à deux le long d’arêtes communes (et non de faces), qui ne sont donc pas considérés ici

[3réguliers (c’est-à-dire à faces équilatérales) et de même taille, comme on le supposera dans toute la suite

[4l’article cité évoque bien des anneaux obtenus de cette façon, mais c’est en dimension 4...

[5Il y en a deux principales : MathSciNet (proposée par l’AMS, c-à-d. société mathématique étatsunienne : accès réservé), et Zentralblatt MATH (pendant européen, antérieur ; accès libre limité à trois réponses : essayez !)

[6Świerczkowski, S.. « On chains of regular tetrahedra. » Colloquium Mathematicae 7.1 (1959) : 9-10. Article disponible ici.

[7Il est amusant de constater que l’auteur s’appuie sur un article précédent publié en 1958 alors qu’il était en poste à Wroclaw (Pologne) et dont il a publié une version complète... 35 ans plus tard, alors qu’il était en poste à Mascate (Oman) !

[8la lectrice qui s’y connait dirait « à translation près »

[9des produits de matrices $3\times 3$ pour ceux qui connaissent : voir l’énoncé suivant détaillant la preuve, qui nécessite d’avoir lu l’article jusqu’au bout.

PDF - 89.4 ko

[10On peut calculer que $\alpha=\arccos(1/3)\simeq 70,53^\circ$

[11Remarquons que ceci prouve plus généralement qu’on ne peut pas construire de chaîne de tétraèdres périodique, c’est-à-dire formée de plusieurs tronçons identiques à position près : par exemple tous les tétraèdres d’une chaîne de Boerdijk-Coxeter, aussi longue soit-elle, seront orientés différemment

[1212 exactement en comptant l’identité

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Pour citer cet article :

Clément Caubel — «Peut-on faire un anneau de tétraèdres ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Crédits image :

img_15175 - Wikipedia
img_15176 - Extrait d’une figure d’un article de International Journal of Geo-Information

Commentaire sur l'article

  • Peut-on faire un anneau de tétraèdres ?

    le 9 mars à 13:35, par Quentin

    Bravo et merci pour ce superbe article !

    On se demande quand il y aura de ces triangles, des kapla... dans les salles de math à l’école et au collège !

    Répondre à ce message
    • Polyèdres à l’école

      le 7 septembre à 18:00, par François Sauvageot

      Mais on trouve ce matériel dans beaucoup d’écoles, et aussi au collège !!

      La question est, pour moi, pourquoi n’y en a-t-il pas au lycée, en CPGE ou à la fac ?! J’avais fait acheter ça au labo de math de Jussieu et on m’avait regardé de travers ... A l’époque j’avais rencontré ce matériel à l’IUFM (on dit ESPE maintenant) et l’avait trouvé génial. Il servait à la formation des professeur(e)s des écoles et des professeur(e)s de lycées et collèges.

      On peut l’acheter chez Didacto, par exemple (je n’ai pas d’actions, mais cet endroit est assez magique et on y trouve plein de matériel pédagogique, mathématique ou pas). Il y a plusieurs marques, certaines ajourées d’autres pleines. Celle illustrée ici est Polydron, et je trouve que c’est la meilleure. Une autre est Lokon. On peut aussi jouer avec le matériel Zome, que j’utilise personnellement pour faire des animations avec des bulles de savon. Il est plus difficile à trouver (principalement il faut passer par une commande aux USA). On peut aussi le trouver au salon du CIJM.

      En recherchant ces termes sur le net, on trouve plein de projets de classe utilisant ce matériel. OK, ce n’est pas dans toutes les classes, mais quand même ... on le trouve souvent. Les professeur(e)s des écoles sont des gens formidables et leurs classes font souvent rêver. Je trouve dommage qu’au fur et à mesure que les classes s’adressent à des enfants/ados/adultes plus vieux, elles perdent de leur magie et de ces incroyables matériels ....

      Juste un commentaire : pourquoi se restreindre aux triangles ? Dans la boîte on trouve d’autres formes.
      Ah si, encore un autre commentaire : ce matériel est vraiment bien. Robuste, joli, solide mais assez facilement démontable etc. Mais le point pédagogique le plus important : il n’y a pas redondance de l’information. De nombreux jeux de constructions doublent l’information en ne proposant que des triangles rouges, des carrés bleus et des hexagones jaunes. Du coup quand on demande à des enfants de trier les carrés on ne sait pas s’ils ont trié les carrés effectivement ou juste trié le bleu ... C’est la raison principale pour laquelle il faut choisir ce type de matériel pédagogique à mon sens !

      Répondre à ce message
  • Peut-on faire un anneau de tétraèdres ?

    le 10 mars à 12:07, par Thomas Fernique

    C’est cuit pour les anneaux. Par contre la question suivante (tirée de cette liste établie par Richard Kenyon) permet de prolonger le jeu :

    Etant donnée une chemin polygonal fermé dans R^3 formé de segments unités, peut-on le « fermer » par des triangles équilatéraux, c’est-à-dire trouver une surface formée de ces triangles dont le chemin soit le bord ?

    Répondre à ce message
    • Jolie question !

      le 10 mars à 17:48, par Clément Caubel

      Déjà pour une chaine de 4 segments ça ne semble pas si clair... Merci pour ce prétexte pour replonger dans le seau de triangles !

      Répondre à ce message

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