Phileas Fogg et le mystère du jour gagné

Piste verte 10 avril 2016  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu Voir les commentaires (2)

Malgré une attention soutenue, Phileas Fogg s’est trompé d’un jour dans le décompte du temps pendant son périple autour du monde. Comment est-ce possible ? Il s’agit en fait d’une ambiguïté fondamentale dans la définition du jour. J’explique ici le phénomène géométriquement, à l’aide d’une spirale.

Dans « Le tour du monde en 80 jours », roman paru en 1873, le flegmatique gentleman Phileas Fogg parie que les moyens de transport modernes lui permettront de revenir à Londres avant l’écoulement de quatre-vingts jours, mais après avoir fait le tour du monde.

C’est vers l’est qu’il se dirige, par le canal de Suez. Il traverse l’Inde en train et à dos d’éléphant, son fidèle Passepartout sauvant au passage la charmante Mrs. Aouda. Il perd temporairement Passepartout, attiré dans un guet-apens par l’inspecteur de police Fix, convaincu que Phileas Fogg n’est autre qu’un grand cambrioleur. Il parvient au Japon, où il retrouve Passepartout faisant du cirque, et il traverse le Pacifique en bateau, puis l’Amérique en train. Il évite de justesse un duel à bord du train à cause d’une attaque d’Indiens, et il retarde son avancée en allant sauver Passepartout des mains de ces derniers. La suite est encore bien mouvementée, mais il arrive enfin sur le sol britannique, à Liverpool, au quatre-vingtième jour. Il croit pouvoir gagner son pari, mais c’est là que Fix l’arrête ... pour le libérer bientôt, tout déconfit après avoir appris que le voleur qu’il recherchait avait été attrapé peu de temps auparavant. Mais ce dernier contre-temps porte un coup mortel au pari : Phileas Fogg arrive trop tard à Londres.

C’est bien triste d’échouer si près du but, après cet impressionnant voyage représenté ainsi dans une gravure du XIX-ème siècle [1] :

Heureusement, une initiative de Mrs. Aouda pousse Phileas Fogg à la demander en mariage, ce qu’elle accepte ravie. Ils se mettent d’accord pour se marier si possible dès le lendemain. Passepartout part chercher un révérend, afin de lui demander de célébrer cette union, et il apprend une incroyable nouvelle :

Bref, il était huit heures trente-cinq quand il sortit de la maison du révérend. Mais dans quel état ! Les cheveux en désordre, sans chapeau, courant, courant, comme on n’a jamais vu courir de mémoire d’homme, renversant les passants, se précipitant comme une trombe sur les trottoirs !

En trois minutes, il était de retour à la maison de Saville-row, et il tombait, essoufflé, dans la chambre de Mr. Fogg.

Il ne pouvait parler .

« Qu’y a-t-il ? demanda Mr. Fogg.

[...]

— Vous vous êtes trompé d’un jour ! Nous sommes arrivés vingt-quatre heures en avance ... mais il ne reste plus que dix minutes !... »

C’est au tour de Phileas Fogg d’abandonner son flegme habituel, et de se précipiter vers son club, entraîné irrésistiblement par Passepartout. À la dernière seconde du quatre-vingtième jour, il gagnait son pari.

L’explication de Jules Verne

Mais que s’était-il passé, comment le méticuleux Phileas Fogg avait-il pu ainsi se tromper dans son décompte du temps ?

Voici l’explication de Jules Verne dans le dernier chapitre du roman :

En effet, en marchant vers l’est, Phileas Fogg allait au-devant du soleil, et, par conséquent, les jours diminuaient pour lui d’autant de fois quatre minutes qu’il franchissait de degrés dans cette direction. Or, on compte trois cent soixante degrés sur la circonférence terrestre, et ces trois cent soixante degrés, multipliés par quatre minutes, donnent précisément vingt-quatre heures, — c’est-à-dire ce jour inconsciemment gagné. En d’autres termes, pendant que Phileas Fogg, marchant vers l’est, voyait le soleil passer quatre-vingts fois au méridien, ses collègues restés à Londres ne le voyaient passer que soixante-dix-neuf fois.

Cette explication pourrait laisser penser qu’il faut savoir qu’un tour complet fait $360$ degrés et qu’il faut faire des calculs pour comprendre ce phénomène. Et d’où sortent ces $4$ minutes par degré, qui au bout du compte font précisément $24$ heures si on les multiplie par le nombre total de degrés ? Est-ce que les choses auraient été changées si, au lieu de faire le tour du monde en $80$ jours, il l’avait fait en $70$, ou bien en $100$ ?

Un diagramme à spirale

Eh bien non, et c’est ce que je me propose d’expliquer sans calculs grâce au diagramme suivant :

Voyez-vous de quoi il s’agit ? Oui ? Alors bravo ! Non ? Alors allons-y plus lentement.

Nous assimilerons la Terre à une sphère parfaite. Par chaque point $A$ sur Terre qui est différent des pôles, passe un seul arc de grand cercle qui relie les pôles entre eux. C’est ce que l’on appelle le méridien de ce point. Lorsque le Soleil est au plus haut dans le ciel vu du point $A$, c’est qu’il se trouve dans le demi-plan limité par l’axe des pôles qui contient $A$. Ce plan coupe la Terre précisément le long du méridien de $A$ :

Selon les mots de Jules Verne, à ce moment-là le Soleil passe au méridien.

Voici maintenant la Terre vue dans la direction de l’axe des pôles, en regardant le pôle Nord $N$ :

Le trait noté $L$ indique le méridien de Londres, point de départ et d’arrivée du périple circulaire, et la flèche indique le sens du parcours de Phileas Fogg, dirigé vers l’est.

Pour plus de simplicité, on va imaginer que Phileas Fogg démarre son voyage non pas le soir, mais à midi, avec le Soleil au méridien de Londres. Dessinons en même temps son parcours et celui apparent du Soleil par rapport à la Terre. Par exemple, le dessin suivant représente le parcours correspondant à l’intervalle de temps jusqu’à leur première rencontre sur un nouveau méridien, c’est-à-dire jusqu’au moment du premier midi du périple :

C’est au moment de ce premier midi que Phileas Fogg se dit qu’un jour est passé depuis son départ. Comme on va le voir, la source du mystère est là.

J’ai beaucoup exagéré l’avancée de Phileas Fogg, afin d’aboutir à un tour du monde en trois jours. Et cela pour simplifier le dessin final que j’ai montré plus haut : il ne comporte que deux spires, à la place des soixante-dix-neuf nécessaires si j’avais été fidèle au récit de Jules Verne. Mais cette simplification a comme avantage de montrer que le décalage d’un jour n’a rien à voir avec la durée du périple.

Je précise que l’arc représentant la marche de Phileas Fogg indique seulement sa traversée des méridiens. Son évolution en latitude, c’est-à-dire sa manière de traverser les parallèles, ne nous intéressera pas du tout.

Voici représentés les parcours de Phileas Fogg et du Soleil lors de leur deuxième rencontre au méridien :

Et voici à nouveau mon dessin initial, représentant la fin du voyage, ayant lieu ici lors de la troisième rencontre entre Phileas Fogg et le Soleil :

Les nombres écrits en violet, le long de la courbe représentant l’avancée du Britannique, indiquent son décompte des journées. En effet, pour lui une journée s’écoule entre deux passages du Soleil à son méridien.

Mais c’est la même chose à Londres : là aussi on compte les passages du Soleil au méridien, et c’est ce décompte que j’ai représenté avec les chiffres orange et rouges. On voit bien que là où Phileas Fogg compte $3$, à Londres on ne compte que $2$, ce qui correspond au nombre de spires de la spirale.

Dans mes dessins précédents, l’avancée angulaire de Phileas Fogg par rapport au centre du cercle représentant la Terre est plus ou moins constante. Cela produit un peu de symétrie dans le dessin final, mais n’a aucune influence sur le gain final d’un jour. On pourra s’en convaincre en refaisant ce dessin sans respecter cette constance de l’avancée angulaire quotidienne. Cela tombe bien, puisque lors de son voyage, Phileas Fogg n’a point avancé de la même manière chaque jour.

Quelques activités pour l’école

Mon fils de presque neuf ans a été convaincu par cette explication — et d’habitude il ne se prive pas de protester lorsqu’il ne comprend pas — ce qui me laisse penser que, même si je n’ai pas testé cette explication dans une classe, elle est tout à fait accessible à des enfants de l’école élémentaire. De plus, elle se prête à des exercices lors d’activités d’éveil scientifique partant de ce roman, comme j’en ai trouvé plusieurs sur la toile. Par exemple, on peut demander aux enfants :

— de varier le nombre de jours du tour du monde (par exemple $1$, $2$, $4$), et de faire les dessins correspondants ; on pourra ensuite les faire comparer leurs dessins avec ceux de cette application Geogebra proposée par Christian Mercat, comme celui-ci :

— d’être plus fidèles au récit, et de dessiner ce qui se passe si Phileas Fogg ne démarre pas avec le Soleil au méridien, mais qu’il revient à Londres à la même heure qu’au départ ;

— de dessiner ce qui se passe si Phileas Fogg voyage plutôt vers l’ouest ; on pourra considérer le cas où Phileas Fogg voyage plus lentement que le Soleil par rapport à la Terre, et celui, rendu possible par les technologies spatiales du XX-ème siècle, où il voyage plus rapidement ;

— de s’interroger sur la notion de jour ; que représente un jour pour Phileas Fogg ? et pour un habitant de Londres ? et pour quelqu’un qui mesure les journées avec sa montre ?

— de refaire les dessins en se plaçant dans un référentiel lié au Soleil, dans lequel la Terre tourne sur son axe et en même temps autour du Soleil ; cela est plus difficile, mais offre des échappées vers d’autres problèmes d’Astronomie.

On peut aussi les faire jouer en abrégé le roman autour d’un arbre, dans la cour de l’école. Un enfant resterait collé contre le tronc, il interpréterait un londonien. Un autre tournerait lentement autour du tronc, il interpréterait Phileas Fogg. Enfin un troisième tournerait beaucoup plus rapidement dans le sens contraire, il interpréterait le Soleil. À la fois le londonien et Phileas Fogg compteraient leurs rencontres avec le Soleil. Lorsque Phileas Fogg a fait un tour complet, ils compareraient leurs résultats, et ils constateraient une différence de $1$. On pourrait refaire l’expérience en faisant tourner le Soleil ou Phileas Fogg plus ou moins vite, et constater la permanence de cette différence d’une unité en faveur de Phileas Fogg ...

Mais je suis sûr que bien d’autres activités liées à ce thème sont envisageables. Pouvez-vous en proposer ?

Post-scriptum :

Je remercie Nathalie Cartier, fred, Himynameisarno, janpol3, Marie Lhuissier, Sébastien Martinez, Jérôme Pérez pour leurs remarques judicieuses. Et tout spécialement Christian Mercat pour son applet !

Article édité par Marie Lhuissier

Notes

[1Il s’agit d’une carte faite par Alphonse de Neuville et Léon Benett. Elle provient de Wikimedia Commons.

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Pour citer cet article :

Patrick Popescu-Pampu — «Phileas Fogg et le mystère du jour gagné» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Crédits image :

Image à la une - Le logo représente un dessin de l’auteur.

Commentaire sur l'article

  • Phileas Fogg et le mystère du jour gagné

    le 10 avril à 19:45, par Bruno Duchesne

    Merci pour ce joli billet !

    Actuellement, un avion de chasse est en théorie capable de faire le tour de la terre en moins de 24h. D’après ce qui précède, à chaque fois que l’on fait le tour de la terre, on gagne un jour. Peut-on dire en déduire qu’un pilote de chasse est capable d’arriver avant d’être parti ? Comment lever le paradoxe ?

    On peut aussi se poser la question de ce que signifie ligne de changement de date. Pourquoi a-t-on besoin d’une telle ligne ? A chaque fois qu’on la traverse d’ouest en est, on gagne un jour. Peut-on faire des tours de la terre pour voyager dans le temps ?

    Tout ça peut faire de petits ateliers de réflexion et d’expérience sur le papier ou en théâtre très sympa dans des ateliers type Maths en Jeans !

    Je serai aussi curieux de savoir comment Jules Verne a pu avoir l’idée du rebondissement final.

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  • Phileas Fogg et le mystère du jour gagné

    le 11 avril à 10:46, par Antoine Chambert-Loir

    Merci Patrick pour ce joli billet. Il me rappelle une phrase sublime du Tour du monde : « Dans ce singulier pays où les hommes ne sont certainement pas à la hauteur des institutions, tout est fait “carrément”, les villes, les maisons et les sottises. »

    Le hasard avait voulu que je lise ce passage le jour-même de la seconde Guerre du Golfe...

    Répondre à ce message

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