Pierre Fatou, matemático y astrónomo

Piste verte Le 5 août 2009  - Ecrit par  Michèle Audin
Le 27 février 2020  - Traduit par  Andrés Navas
Article original : Pierre Fatou, mathématicien et astronome Voir les commentaires
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Pierre Fatou murió hace alrededor de 90 años, el 9 de agosto de 1929.

Pierre Fatou murió hace alrededor de 90 años, el 9 de agosto de 1929, a la edad de 51 años. Tras haber sido durante casi toda su vida astrónomo adjunto del Observatorio de París, se había oficializado como astrónomo titular un año antes, el 7 de julio de 1928. Ninguna revista de matemáticas publicó una nota sobre su deceso [1].

Hoy en día, la mayoría de los matemáticos conocen de Pierre Fatou tan solo el lema de Fatou. Quienes trabajan en dinámica compleja saben también que fue uno de los creadores de su disciplina, y conocen (y propagan) el rumor de una rivalidad con Gaston Julia, cuyo nombre fue dado a los célebres conjuntos de Julia, ’’bellezas banales de los grabados de moda en matemáticas’’, ’’top-models de la matemática’’ [2]. Algunos de estos grabados de moda -pero solo algunos, por razón de sobriedad- aparecerán un poco más abajo en este artículo.

Sin embargo, su carrera fue increíblemente lenta y modesta. Él mismo parecía resignarse, y escribía a su amigo Paul Montel en 1920 :

En cuanto a mí, yo ya me he resignado a nunca llegar, y continuaré tranquilamente mi tarea en un bajo perfil [...] ; no es muy glorioso, pero mi filosofía se acomoda a esto, y en ningún caso me impedirá hacer matemáticas en la medida de lo posible.

Un científico activo

L'avenue de l'Observatoire, au fond l'Observatoire de Paris (photo MA).Pierre Fatou era, sin embargo, un científico activo y bien integrado al medio científico de su tiempo :

  • escribió numerosos artículos matemáticos muy originales sobre diversos temas de análisis y geometría ;
  • hizo observaciones astronómicas, especialmente aquellas orientadas a la teoría de las estrellas dobles, que lo llevaron a resultados importantes en mecánica celeste ;
  • fue un miembro activo de ambas comunidades ; por ejemplo, en 1911 fue presidente de la Asociación del personal científico de los observatorios franceses, y participó en diversas instancias de la Sociedad de Matemáticas de Francia (SMF) de 1907 hasta su muerte, siendo presidente en 1926.

Algo sobre su vida

Pierre Fatou nació en Lorient el 28 de febrero de 1878 en el seno de una familia de oficiales de marina [3]. Tras haber sido estudiante en el liceo de Lorient [4], realizó sus clases preparatorias en París en el Colegio Stalisnas, para luego ingresar a la Escuela Normal Superior en 1898. De esta último egresó en 1901, siendo inmediatamente contratado por el Observatorio de París.

Un paréntesis

Por ese tiempo se producía una mutación en el trabajo y las funciones de los astrónomos, quienes pasaban de ser personal científico a convertirse en verdaderos investigadores. La llegada de un matemático joven y brillante era parte, sin duda alguna, de este movimiento [5].

La tesis de Fatou

Fatou defendió su tesis Series trigonométricas y series de Taylor en 1907 [6]. Sin entrar en los detalles, digamos que Fatou era uno de quienes mejor conocía la integral de Lebesgue, la que era aún una novedad. Famoso es el lema de este trabajo que lleva su nombre, y cuya conclusión puede resumirse en la bella ’’fórmula’’ [7]
\[\int\liminf f_n\,d\mu\leq\liminf\int f_n\,d\mu.\]
Sin embargo, también nace de su tesis el nombre de fórmula de Parseval para la igualdad
\[\sum\vert{a_n}\vert^2=\frac{1}{2\pi}\int\vert{f(t)}\vert^2\,dt\]
donde $f$ es la función $f(t)=\sum a_n e^{2i\pi nt}$ [8].

Continuó trabajando en matemáticas, astronomía y mecánica celeste. Solo me referiré a una pequeña parte de su obra, aquella relacionada con la iteración. En cuanto al resto, un panorama completo aparece en el libro citado en las notas de este artículo.

Fatou amaba la música (frecuentaba los conciertos), era fotógrafo aficionado, le encantaba pasear por París, caminar por la montaña, tomar vacaciones en Bretaña y... bailar (había tomado incluso clases de tango). Como todos los astrónomos que hacían observaciones nocturnas, vivía en el barrio del Observatorio, más precisamente en el boulevard Montparnasse, a un costado del Bal Bullier donde, al parecer, pasaba bastante tiempo [9]. Intentó varias veces conseguir un puesto como matemático (en el Collège de France, en la Sorbonne...), pero sin resultado [10].

Murió de una úlcera al estómago durante unas vacaciones en Pornichet. Acababa de escribir un libro sobre los grupos fuchsianos y las funciones automorfas que fue finalmente publicado... como el segundo tomo de un tratado de Appell y Goursat (el nombre de Pierre Fatou no aparece en la carátula del libro) [11].

El Gran Premio de 1918

Le monument aux morts, à l'Ecole normale supérieureDesde 1906, Fatou había comenzado a estudiar el problema de la iteración. Por una u otra razón (su tesis, problemas de salud, observaciones que consumían su tiempo, ...), y a pesar a la originalidad de su punto de vista y sus sorprendentes resultados, no había publicado nada más sobre el asunto. En 1915, la Académie des sciences anunciaba un Gran Premio de Ciencias Matemáticas sobre este tema para 1918. Fatou se reconcentró en el problema y, en 1917, comenzó a publicar sus resultados en forma de notas en la revista Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. En junio de dicho año, Montel también publicó una nota en dicha revista sobre otro tema, la cual contenía una idea de la cual Fatou se apodera : nacía así lo que, sesenta años más tarde, se llamarían conjuntos de Julia.

Paralelamente, Gaston Julia también había leído la nota de Montel, y había tenido ideas análogas. Se enfadó y reclamó su prioridad, la cual le fue acordada por la Academia de Ciencias. Mientras Fatou continuó trabajando tranquilamente en su rincón, Julia envió un dossier de candidatura el Gran Premio y... lo ganó...

Otro paréntesis

En esta polémica, las fechas no son inocentes [12]. En agosto de 1914, Gaston Julia era un joven de 21 años que recién había acabado una brillante escolaridad en la Escuela Normal Superior. Pero la Guerra comenzaba. En enero de 1915 fue gravemente herido en el rostro mientras ejercía como subcomandante de infantería. En ese tiempo, numerosos científicos jóvenes morían ; entre ellos, los hijos y nietos de los matemáticos de la generación precedente (Jordan, Picard, Borel, Hadamard...). Gaston Julia, un raro sobreviviente con el rostro deformado (por el resto de su vida debió llevar una máscara de cuero) no podía sino devenir un ícono glorioso de la comunidad matemática francesa...

Conjuntos de Fatou y de Julia

Lo anterior fue una de las razones por las que la Academia de Ciencias otorgó el premio a Julia, aunque con cierto remordimiento, pues Fatou (que no envió ningún trabajo para el Gran Premio) aparece mencionado en el informe que atribuye el premio a Julia... y la Academia atribuye otro premio a Fatou por sus trabajos sobre el mismo tema.

Sin embargo, esto no explica por qué Mandelbrot, hacia 1980, haya dado el nombre de Julia a esos ’’grabados de moda’’ [13].

Pero, de manera precisa, ¿qué son estos conjuntos ?

Para esta breve explicación usaré funciones y sucesiones... (a fin de cuentas, ya había una sucesión en el enunciado del lema de Fatou, pero ahora pretendo dar fórmulas de gran belleza). De todas formas, queda Ud. invitado tan solo a mirar las imágenes si la matemática se le hace demasiado compleja.

Iterar. Tomaré la siguiente explicación de un artículo de Tan Lei. Imaginemos que, además de los botones habituales de nuestras calculadoras ($\sqrt{\phantom{2}}$, $\log$, etc) halla botones un poco más sofisticados, como por ejemplo uno que calcule
\[z^2+2\]
a partir de una entrada $z$. Así, Ud. ingresa un valor, presiona este ’’botón’’, presiona nuevamente, luego otra vez, etc. Lo que probó Fatou en 1906 es que, si uno comienza con un punto fuera de cierto conjunto $F$, esta operación nos vas a llevar necesariamente al mismo punto. Por otra parte, el conjunto $F$ tiene un aspecto particularmente sorprendente (se trata del ’’polvo’’ (poussière) engrosado de la figura). Esto al menos para el caso de la tecla

Une poussière

\[z^2+2,\]
porque si usamos la tecla
\[z^2+\frac{1}{8},\]
entonces el conjunto $F$ tiene una forma muy diferente : es el cuasi-círculo (quasi-cercle) que bordea la parte gris representada aquí.

Un quasi-cercle

Se requería entonces de una teoría general que englobara estos dos casos (había algo más que ejemplos en la nota de Fatou de 1906), y esto fue lo que nuestros dos matemáticos hicieron desde 1917.

Reproduzco aquí otro bello ejemplo de conjunto ’’de Julia’’, elaborado por Tan Lei, que ya ha aparecido en este sitio aquí y acá.

GIF - 2.8 ko

Se trata de uno de los primeros conjuntos de Julia que fueron ’’dibujados’’ :

  • una auténtica figura manuscrita muy precisa y parecida se halla en uno de los manuscritos que Julia había sometido a la Academia de Ciencias [14],
  • el propio Julia dibujó para una publicación una figura ’’sintética’’ en la que la aparenta al copo de nieve de de von Koch, que aparece aquí :
  • Fatou lo describió (en palabras) así :

    Uno puede hacerse una idea del conjunto $F$ mediante el siguiente ejemplo análogo : consideremos dos circunferencias tangentes exteriormente entre ellas ; tracemos otras dos circunferencias tangentes exteriormente a las dos primeras y completamente exteriores una a la otra ; tracemos enseguida cuatro circunferencias tangentes respectivamente a las cuatro circunferencias ya trazadas pero exteriores una de la otra, y así sucesivamente... Los radios de las circunferencias tienden entonces a cero, y cada punto de ellas es el límite de puntos de contacto. El conjunto de todas estas circunferencias y sus puntos límites forma una curva con una infinidad de puntos dobles, la que es análoga a nuestro conjunto $F$ ; las circunferencias deben tan solo ser reemplazadas por curvas de Jordan sin puntos dobles que, como veremos en el próximo Capítulo, no poseen tangentes en ningún punto.

En su libro Iteración Racional [15], Norbert Steinmetz fabricó una figura que asemeja muchísimo a la que Fatou había descrito.

Las distintas propiedades de estos conjuntos ’’de Julia’’ fueron estudiados en largos artículos escritos por nuestros dos autores [16]. Allí también pareciera que Fatou, que era un matemático bastante más maduro que Julia, había entendido mejor la situación y adquirido una perspectiva más amplia de las cosas. En particular, planteó preguntas que, en parte, fueron fuente de inspiración para teoremas de Douady (en los años 1990), así como de Xavier Buff y Arnaud Chéritat (más recientemente) [17], quienes investigan en el tema hasta el día de hoy...

Una pregunta interesante...

(aunque un poco alejada de lo expuesto aquí) sería saber por qué, después de un inicio tan glorioso, los trabajos sobre la iteración se ’’paralizaron’’ hasta su renacimiento en los años 1970-80, cuando los investigadores comenzaron a dibujar conjuntos de Julia por computador.

Sin embargo, no es verdad que nada haya sido hecho. Los mismos Fatou y Julia continuaron trabajando en el asunto, y hay otros trabajos, por ejemplo los de Cremer y, en especial, de Siegel, en los años 1930-1940...

Aquí, nuevamente, el contexto no es neutro. Tomaré solo un ejemplo, el del avance necesario de la ’’topología general’’ para la resolución de ciertas preguntas evocadas en este artículo. Pues bien, había un matemático, Felix Hausdorff, que hacia 1818 desarrollaba nociones que serían útiles varios años más tarde. Pero, por una parte, era alemán, por lo que sus trabajos -justo después de la Primera Guerra Mundial- fueron muy poco difundidos en Francia... Y por otra parte, era judío, por lo que fue poco el tiempo que transcurrió entre la normalización de las relaciones de las comunidades matemáticas francesa y alemana y el momento en que el régimen nazi le impidió de seguir trabajando [18].

¿Un retrato ?

Tras este breve retrato de Pierre Fatou se esconden matemáticas y problemas muy profundos. Que sea esto un buen motivo para no olvidar a este matemático...

Post-scriptum :

Todos mis agradecimientos :

  • a la familia de Pierre Fatou, por su ayuda generosa en este trabajo de búsqueda que permitió recopilar buena parte de la información contenida en este artículo ;
  • al servicio de archivos de la Academia de Ciencias ;
  • a los autores de las figuras reproducidas aquí (Arnaud Chéritat, Norbert Steinmetz y Tan Lei).

Derechos reservados para todas las imágenes, en especial :

  • la fotografía de Pierre Fatou utilizada como logo de este artículo, la cual pertenece a la familia Fatou ;
  • las fotografías del Observatorio y del Monumento a los Muertos del ENS, que pertenecen al autor.
Article original édité par Michèle Audin

Notes

[1El Boletín astronómico publicó una, firmada por Jean Chazy, en 1932. La Asociación de ex-alumos de la École Normale Supérieure también, lo cual muestra una imagen muy entrañable de este matemático.

[2Como dice Jacques Roubaud (en su relato Mathématiques :).

[3Resulta notable que, aunque no haya dejado descendencia, haya sido un personaje singular en una gran familia en la que es recordado como ’’Pierre Fatou el astrónomo’’ o ’’Pierre Fatou el matemático’’.

[4Allí siguió cursos de filosofía de un joven profesor conocido como Alain.

[5Sobre los astrónomos de la época, vea la fascinante tesis de historia y sociología de Arnaud Saint-Martin (2008) : L’Office et le télescope. Une sociologie historique de l’astronomie française, 1900-1940.

[6El artículo fue publicado por la revista sueca Acta Mathematica en 1906.

[7Sería una falta profesional grave no dar las hipótesis : suponemos que $(f_n)$ es una sucesión de funciones medibles a valores en $[0,+\infty[$.

[8Aquí, la hipótesis de Fatou es que la función $f$ es de cuadrado integrable. Lebesgue solo había tratado el caso (más simple) de una función acotada. El resultado de Fatou impresionó de sobremanera a Lebesgue.

[9En una carta a Montel, en 1920, le explica matemáticas y le señala lo siguiente :

Nota para la historia de las matemáticas : el párrafo III fue encontrado en Bullier.

[10El peso de la opinión de Picard contra sus candidaturas parece haber jugado un rol no despreciable. Ver, por ejemplo, lo que André Weil dice al respecto en sus Souvenirs d’apprentissage.

[11Fatou debía, en efecto, escribir un capítulo sobre grupos fuchsianos para la nueva edición del tratado de Appell y Goursat. Actualizó el primer tomo incluyendo los resultados de análisis necesarios para el estudio de dichos grupos, y este estudio tomó un valor en sí mismo. Apareció con el nombre de los autores del primer tomo (el nombre de Fatou no aparece en la carátula, pero ciertamente figura como autor en la primera página).

[12El contexto nunca es inocente.

[13Él le dio el nombre de Fatou al complemento del conjunto de Julia.

[15Publicado por de Gruyter en 1993.

[16Los artículos de Pierre Fatou y Gaston Julia sobre la iteración aparecieron en 1919-1920, en la forma de tres artículos del Boletín de la Sociedad de Matemática de Francia para el primero, y en la Revista de Matemáticas Puras y Aplicadas para el segundo.

[17Adrien Douady estudió la dependencia del conjunto de Julia cuando se modifica la función que se itera (para el caso de polinomios cuadritos se puede hallar información al respecto en un libro abordable para iniciados en matemáticas. Xavier Buff y Arnaud Chéritat construyeron un conjunto de Julia de medida positiva, Comptes rendus de l’Académie des sciences, vol. 341 (2005).

[18Felix Hausdorff, nacido en 1868, era un matemático a la vez que filósofo (con el seudónimo de Paul Mongré) ; se suicidó en enero de 1942, junto con su esposa y su cuñada, para evitar la deportación.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «Pierre Fatou, matemático y astrónomo» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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