El teorema de Pitágoras, enseñado en las escuelas de todo el mundo, afirma que en todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los lados pequeños (catetos) es igual al cuadrado del lado grande (hipotenusa). Este teorema puede ser demostrado de diversas maneras, y una de ellas fue dada en este artículo. Aquí veremos otra prueba, más compleja, que nos conducirá a una familia muy especial de curvas construidas por el matemático George Pólya en 1913. [1]

Pitágoras

Consideremos entonces un triángulo $T$ con un ángulo recto, y denotemos las longitudes $a$, $b$ y $c$ de los tres lados de ese triángulo, con $a \leq b< c$, de modo que $c$ corresponde a la hipotenusa. Trazando la altura con pie en esta última, el triángulo original queda cortado en dos triángulos pequeños, que denotaremos $T_P$ y $T_G$. Más precisamente, $T_P$ será el más pequeño, y $T_G$ el grande. El área cubierta por $T$ es entonces igual a la suma de las áreas de $T_P$ y $T_G$ :
\[ Área(T)= Área(T_P)+Área(T_G). \]

Notemos ahora que $T$, $T_P$ y $T_G$ son tres triángulos semejantes. En efecto, $T_P$ tiene un ángulo recto y comparte un ángulo común con $T$ ; como la suma de los ángulos de todo triángulo es igual a $180º$, su tercer ángulo debe ser igual al otro ángulo de $T$, de modo que $T$ y $T_P$ tienen los mismos ángulos, y por lo tanto son semejantes. El mismo argumento se aplica a $T$ y $T_G$.

Para pasar de $T$ a $T_G$, las longitudes se multiplican por un factor igual a $b/c$. En efecto, la hipotenusa de $T$, de longitud $c$, debe corresponderse con la de $T_G$, de longitud $b$. Esta homotecia multiplica las áreas por $(b/c)^2$. La razón entre las áreas de $T_G$ y $T$ es por tanto igual a
\[ \frac{Área(T_G)}{Área(T)}=\left(\frac{b}{c}\right)^2. \]
Análogamente,
\[ \frac{Área(T_P)}{Área(T)}=\left(\frac{a}{c}\right)^2. \]
Colocando estas dos relaciones en la igualdad
\[Área(T)= Área(T_P)+Área(T_G)\]
se deduce la relación del teorema de Pitágoras :
\[ c^2=a^2+b^2. \]
Esta demostración es compleja, pues ella requiere manejar a la vez las nociones de semejanza de triángulos y el concepto de área. Sin embargo, ¡el argumento es indiscutiblemente hermoso ! Y es, de hecho, el punto de partida de la construcción que sigue.

Repetición

A lo largo de la demostración precedente, hemos visto que un triángulo rectángulo se corta en dos triángulos semejantes al trazar la altura correspondiente a la hipotenusa :
— el triángulo pequeño $T_P$ : cuando se pasa de $T$ a $T_P$, las distancias se multiplican por la razón de homotecia
\[ p=a/c; \]
— el triángulo grande $T_G$ : cuando se pasa de $T$ a $T_G$, as distancias se multiplican por la razón de homotecia
\[ g=b/c. \]
Con nuestras convenciones, $ p \leq g < 1$. El caso $p=g$ corresponde a $a=b$ ; el triángulo $T$ es entonces isósceles, y $T_P$ y $T_G$ son congruentes.

Podemos ahora reproducir el procedimiento -bajar la altura a la hipotenusa correspondiente- en cada uno de los triángulos $T_P$ y $T_G$.

Y si proseguimos de este modo, esto es lo que obtenemos :

En cada iteración del algoritmo, el número de triángulos se duplica : el triángulo inicial $T$ da lugar a dos triángulos $T_P$ y $T_G$, y luego a $4$, $8$, $16$, ...

Numeración y tamaño de los triángulos

Se puede numerar los triángulos que aparecen de la manera siguiente. En lugar de escribir $P$ y $G$ por ’’Pequeño’’ y ’’Grande’’, usemos la notación $0$ para pequeño y $1$ para grande. Así, $T_P$ y $T_G$ serán respectivamente denotados $T(0)$ y $T(1)$. El triángulo $T(0)$ se divide luego en dos triángulos, uno más pequeño que denotamos $T(00)$, y otro más grande que denotamos $T(01)$. De la misma forma, $T(1)$ da lugar a $T(10)$ y $T(11)$.
La numeración se prosigue de esta forma. Así, una secuencia de $n$ términos entre $0$ y $1$ corresponde a un triángulo obtenido después de $n$ iteraciones del algoritmo.

Por ejemplo, el triángulo $T(01101)$ aparece en la última figura : ¿puedes ubicarlo ?

Cuando uno divide un triángulo, los dos nuevos triángulos son más pequeños que el original : las proporciones respecto al original son $p=a/c$ y $g=b/c$, como ya vimos anteriormente. Así, cuando se considera el triángulo $T(01101)$, cinco reducciones sucesivas de tamaño han sido efectuadas, y estas corresponden a los factores de homotecia sucesivos $p$, $g$, $g$, $p$, $g$ (un $p$ por cada $0$, un $g$ por cada $1$). La longitud de la hipotenusa de $T(01101)$ es por consiguiente igual a
\[ p^2g^3c. \]
Así, después de $n$ iteraciones del algoritmo, contamos con $2^n$ triángulos, y las hipotenusas de estos son de la forma $p^rg^s$, con $r+s=n$ : $r$ es la cantidad de $0$ y $s$ la de $1$ que aparecen en la codificación del triángulo considerado ($r=2$ y $s=3$ para $T(01101)$). A medida que el número de iteraciones aumenta, los triángulos son por tanto más y más pequeños (su tamaño tiende a 0).

Podemos colorear los triángulos de acuerdo a su tamaño, lo cual nos da, después de seis iteraciones, la figura siguiente.

El color se va oscureciendo para los triángulos más pequeños. Así, el triángulo más oscuro es el codificado por $000000$, el cual aparece abajo a la izquierda en la figura. Luego vienen seis triángulos cuya codificación incluye solo un $1$, quince triángulos con dos $1$, etc.

Curvas de Pólya

Siguiendo una construcción de Pólya, construiremos una curva $R$ que llena el triángulo inicial $T$. Esta curva será parametrizada por el conjunto de los números reales $t$ comprendidos entre $0$ y $1$, Así, a cada instante $t$ corresponderá un punto $R(t)$ de la curva de Pólya. Para definir $R(t)$, usaremos el desarrollo diádico de $t$, es decir, su expresión en base 2.

Este desarrollo es similar a la expresión decimal (en base diez). Sin embargo, aquí se trabaja en base dos, y en lugar de las cifras de $0$ a $9$ se emplean solo $0$ y $1$. A cada $t$ corresponde entonces un desarrollo de la forma $t= 0,0111001010100011...$. La posición de $t$ sobre el intervalo $[0,1]$ y su desarrollo diádico están relacionados de la siguiente manera. Dividimos el segmento $[0,1]$ en su punto medio para obtener dos intervalos de longitud $1/2$. Si $t$ está en el intervalo de la izquierda (el que contiene $0$) su desarrollo comienza con $t=0,0...$ ; si $t$ está en el intervalo de la derecha, entonces $t=0,1...$. Cortamos nuevamente en dos partes iguales el intervalo en que se encuentra $t$, y nos fijamos en cuál de los nuevos dos intervalos está $t$... Por ejemplo, el desarrollo $t=0,0101...$ corresponde al de ciertos números reales comprendidos entre $0$ y $1/2$ (pues el primer término después de la coma es un $0$) ; más precisamente, a ciertos números entre $1/4$ et $1/2$ (debido a la segunda cifra 1) ; o más preciso aún, entre $1/4$ y $3/8$ (pues la tercera cifra es un $0$) ; o con toda precisión -dada la cuarta cifra 1-, entre $5/16$ y $3/8$.

La curva de Pólya asociada al triángulo $T$ es la curva continua $R$ determinada por la siguiente propiedad : si el desarrollo diádico de $t$ comienza con $0,t_1t_2t_3...t_n...$, entonces $R(t)$ pertenece al triángulo
$T(t_1t_2...t_n$). Así, si $t=0,01101011010011...$, entonces $R(t)$ pertenece al triángulo $T(011)$, o mejor a $T(0110101)$, o a $T(0110101101001)$, ...
Estos triángulos devienen sucesivamente más y más pequeños, de modo que al desarrollo diádico de $t$ le corresponde una sucesión de triángulos encajados : la intersección de todos estos triángulos coincide con el punto $R(t)$. [2]

Esta curva $R$ llena todo el triángulo $T$. Dicho de otra forma, todo punto $m$ del triángulo es alcanzado por la curva : existe un instante $t$ para el cual $R(t)=m$. En efecto, si $m$ es un punto del triángulo $T$, podemos considerar la sucesión de triángulos que contienen $m$ en cada etapa del proceso de corte. Pues bien, si $m$ está en $T(0)$, luego en $T(01)$, posteriormente en $T(011)$, etc, entonces $m$ corresponderá al punto $R(t)$ de la curva de Pólya para $t=0,011...$

El instante $t$ depende del punto $m$. Sin embargo, no está únicamente determinado por $m$, pues la curva $R$ posee puntos triples, es decir, puntos por los que pasa tres veces. Aún así, ella no posee puntos cuádruples. Por cierto, un teorema de Hurewicz implica que si uno traza una curva plana que llena el triángulo, necesariamente deben aparecer puntos múltiples.

El análisis de Lax

La curva de Pólya depende de la forma del triángulo inicial $T$. Dado que $T$ posee un ángulo recto, la forma global de $T$ está determinada por el ángulo más pequeño (y sus dimensiones por dicho ángulo y la longitud de la hipotenusa). Denotemos dicho ángulo $\theta$. Entonces $p$ y $g$ son respectivamente el seno y el coseno de $\theta$.

En 1973, Peter Lax analizó las propiedades de $R$ de acuerdo a los valores de $\theta$. En particular, investigó los valores de $t$ en los cuales la curva $R$ es diferenciable. En otras palabras, si escribimos $R(t)=(x(t),y(t))$ en coordenadas cartesianas, indagó por los puntos en que las funciones $x(t)$ e $y(t)$ son ambas diferenciables.

El resultado : tres regímenes diferentes pueden presentarse. Para describirlos, diremos que un números $t$ es normal si su desarrollo diádico posee tantos valores $0$ como $1$. De manera más precisa, para $t$ fijo, se cuenta el número $Z(n)$ de $0$ que aparecen entre los $n$ primeros términos del desarrollo diádico de $t$. Si el cuociente $Z(n)/n$ tiende a $1/2$ cuando $n$ se hace más y más grande, se dice que $t$ es normal.

Un teorema clásico de Borel establece que casi todo número real $t$ es normal. Con este vocabulario, Lax demuestra que :

• Si $\, 30^°<\theta < 45^°$, entonces $R$ no es derivable en ningún punto.
• Si $\, 15^°<\theta< 30^°$, entonces $R$ no es derivable en los puntos $t$ que son números reales normales, pero es derivable y con derivada nula en una infinidad de puntos.
• Si $\, 0^°<\theta< 15^°$, $R$ es derivable y de derivada nula en todo número real $t$ que es normal (pero no es derivable en todo punto).

Así, las propiedades de la curva $R$ dependen del ángulo $\theta$, y por tanto del punto inicial $T$. Estas están ligadas al coloreado precedente, pues cuando $R$ entra en un instante $t$ dentro de una zona oscura, $R$ envía el intervalo diádico que contiene a $t$ en un triángulo pequeño.

Análisis multifractal

La historia no se detiene aquí. Se puede describir de manera más fina el coloreado explicado arriba (al cortar en triángulos arbitrariamente pequeños) y su relación con la curva de Pólya. Se puede cambiar la parametrización de la curva $R$ para establecer resultados de geometría elemental [3] ; ¡y se puede empezar con esta curva de Pólya para introducir el movimiento browniano en el plano ! Todo esto aparece explicado de manera notable en un texto de Jean-Pierre Kahane que yo recomiendo con fuerza a los lectores que no tienen temor de leer algo más elaborado. [4] Las últimas frases han sido directamente extraídas desde allí.

Epílogo

En septiembre de 2017, Patrice Debrabant me contactó tras haber leído este artículo. Su correo tenía el formato de un regalo ; dentro, hallé un enlace simpático hacia una hoja ’’dgpad’’. He aquí lo que contenía :

Esta figura dinámica fue creada por Yves Martin, con la participación de Patrice Debrabant. El punto $A$ queda forzado a permanecer en la circunferencia de diámetro $[BC]$, pudiendo desplazarse a lo largo de ella. Tres puntos aparecen marcados en verde ; el punto central representa el caso del triángulo (rectángulo) isósceles. Al cambiar los parámetros (la posición de $A$, el número de segmentos trazados, la presencia de triángulos o solo de la curva de Pólya), la familia de curvas va cobrando vida. En particular, le aconsejo observar la construcción con un triángulo fino (es decir, con el punto $A$ próximo a $B$ o a $C$), o con un gran número de segmentos y el punto $A$ próximo de los tres puntos verdes (observará entonces un juego de reflejos, como si el triángulo fuese doblado y desdoblado). ¡Buena suerte con los experimentos !