Plaisir mathématique

Le 20 juillet 2015  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu Voir les commentaires (5)

Peut-on prendre du plaisir à faire des maths ? Que répondriez-vous à cela ?

Lorsque l’on fait la connaissance de quelqu’un et qu’on explique être mathématicien,
les réactions les plus courantes sont :

— Ah, je n’ai jamais rien compris aux maths !

— Y a-t-il encore quelque chose à découvrir en maths ?

— C’est très difficile les maths ...

Ou bien, depuis quelques années :

— Il y a un mathématicien qu’on voit partout dans les médias depuis un certain
temps, vous le connaissez ?

Mais l’autre soir, à une fête d’anniversaire, l’on me posa une question inattendue :

— Peut-on prendre du plaisir à faire des maths ?

— Oui, bien sûr, ai-je répondu.

Mais il me fallait, en mathématicien qui se respecte, essayer de le démontrer.

Et vous, comment vous y prendriez-vous pour démontrer cela ?


Je décidai d’essayer de faire ressentir le plaisir mathématique à mes interlocuteurs par un problème amusant que j’ai déjà mentionné dans cet autre billet [1]. Je leur ai expliqué le problème sur une serviette en papier, entre un bol de guacamole et un autre de chips. Alors, pour garder un peu ce style brouillon d’un soir de fête, j’accompagne aussi ce billet de dessins faits sur une serviette en papier.

Imaginons une pièce recouverte d’un carrelage $5 \times 5$, comme sur la figure suivante :

En chacun des carreaux — que l’on imagine suffisamment grands — se trouve une personne, comme sur ce dessin :

À un signal, chaque personne doit se déplacer sur l’un des carreaux voisins. Le dessin suivant indique les choix possibles pour trois personnes différentes :

Il s’agit maintenant de prouver qu’après cela on se retrouve avec au moins un carreau contenant plusieurs personnes. Ou bien, ce qui revient au même, avec au moins un carreau vide.

— Comment voulez-vous que je démontre cela, je n’ai plus fait de maths depuis le lycée, m’a-t-on répondu.

— Eh bien, dis-je, en premier lieu il faut oublier ce que l’on a fait ou pas, et se prendre au jeu comme un enfant. Manipuler le problème dans tous les sens, jusqu’à ce qu’une idée surgisse. Par exemple, pourquoi ne pas prendre un cas plus simple, avec un carrelage $2 \times 2$ ? Et là, regardez, les personnes peuvent bien se déplacer en se retrouvant ensuite à nouveau seules dans leurs carreaux :

— Alors c’est probablement important que dans notre problème on ait un nombre impair de carreaux le long de chaque côté !

Telle fut la phrase qui jaillit de l’un de mes interlocuteurs, à laquelle je répondis :

— Vous venez d’avoir une très bonne idée. Mais comment la faire fructifier ? Comment utiliser le fait que $5$ est impair ?

— ... (silence concentré).

Je repris :

— Je vais vous présenter maintenant un ingrédient fondamental du plaisir mathématique : le rêve. Arrivés à cet endroit il faut se mettre à rêver, afin de découvrir des analogies avec d’autres objets ou d’autres expériences de pensée. Si vous regardez les dessins que nous avons faits, à quoi vous font-ils penser ?

— ... À un échiquier ?

— Parfait, excellente réponse ! Et maintenant je vais vous dire l’une des raisons pour lesquelles les analogies sont importantes en maths. C’est parce qu’elles ne sont point parfaites ! On repère une analogie par le rêve — je ne sais pas si le terme est si bien choisi, mais je veux indiquer par là qu’il s’agit d’un processus qui n’est pas conscient — mais une fois l’analogie découverte, on peut appeler la conscience à la rescousse. Plus précisément, on peut se demander ce qui différencie les cas analogues. Ici, qu’est-ce qu’a un échiquier que l’on ne retrouve pas dans notre carrelage ?

— ... ses cases sont colorées en noir et blanc ?

— Magnifique ! me suis-je écrié, eh bien, là vous êtes tout près de la solution du problème. Colorions nos carreaux comme les cases d’un échiquier ... et pensez de nouveau à notre question ...

Il y eut quelques secondes de concentration, puis l’un des interlocuteurs lança avec la joie de la compréhension dans les yeux :

— Il n’y a pas le même nombre de cases noires et de cases blanches ! Je ne sais pas lesquelles sont plus nombreuses, il faut compter [2], mais ça montre qu’après le déplacement des personnes il y aura forcément une case vide.

— Vous avez compris, bravo ! Mais vous n’avez pas dit le fait essentiel qui fait que votre argument marche ...

Et mon interlocuteur répondit, après quelques nouvelles secondes de réflexion :

— Je vois, une personne située sur un carreau blanc passe sur un carreau noir et vice-versa ...

— Alors là, c’est parfait, je vous félicite ! Et voilà, vous venez de voir quelques ingrédients du plaisir mathématique : rêver pour découvrir des analogies [3]. Puis travailler plus consciemment pour détecter les différences entre les objets analogues. Grâce à ces différences, habiller le contexte initial d’un tissu qui soit adapté au problème. Enfin, après un cheminement plus ou moins long dans le rêve et le travail conscient, ressentir l’éclair de la compréhension.

— Ah, pourquoi ne m’a-t-on pas expliqué les maths comme ça au lycée ?! J’ai été dégoûté par les calculs d’intégrales, je n’ai jamais compris à quoi cela servait ...

Cette dernière remarque m’a donné l’impression d’avoir réussi ma démonstration. Mais cela m’a posé aussi un nouveau problème : comment démontrer le plaisir mathématique par un calcul d’intégrales ?

Avez-vous une idée pour le résoudre ?

Notes

[1Merci à Sergiu Moroianu de m’avoir appris ce séduisant problème élémentaire !

[2En fait, on n’a pas besoin de compter de manière précise. Il suffit de remarquer - raisonnement valable pour n’importe quel carrelage $m \times n$ dans lequel $m$ et $n$ sont tous les deux impairs - que sur chaque ligne il y a un nombre impair de cases, donc la différence entre le nombre de cases noires et blanches qui s’y trouvent est impair (il vaut $\pm 1$, mais là aussi, cette précision est inutile). Comme il y a un nombre impair de lignes, en additionnant ces différences sur toutes les lignes, on obtient à nouveau un nombre impair, qui ne peut donc pas être nul. Mais ce nombre est précisément la différence entre le nombre total de cases noires et le nombre total de cases blanches ... Bien sûr, on peut être beaucoup plus précis, mais cela est inutile pour notre propos.

[3Au sujet des analogies, on pourra lire aussi mon billet « Vertus des analogies ».

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Pour citer cet article :

Patrick Popescu-Pampu — «Plaisir mathématique» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - L’image du logo a été prise par Nikodem Nijaki, elle provient de Wikimedia Commons : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Guacamole_IMGP1303.jpg

Commentaire sur l'article

  • Plaisir mathématique

    le 20 juillet 2015 à 13:42, par FDesnoyer

    Superbe !
    Pour l’utilisation d’intégrales, ne peut-on tourner autour du mouvement des planètes ?
    Blague rapportée par un policier : un homme ivre est assis dans la rue, incapable de conduire, il déclare à l’agent de police « Puisque la Terre tourne, ma maison finira bien par passer ».
    Merci pour ce court mais passionnant article !

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    • Plaisir mathématique

      le 20 juillet 2015 à 21:09, par FDesnoyer

      Bonsoir,

      ça y est j’ai un exemple : un rectangle est découpé (de façon mesurable) en plusieurs rectangles ayant tous un côté entier alors le grand rectangle a un côté entier. (J’ai perdu le nom de ce théorème célèbre pour ses 17 démonstrations.)

      Amicalement

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      • Décompositions de rectangles

        le 22 juillet 2015 à 07:38, par Patrick Popescu-Pampu

        Bonjour,

        Vous avez raison, c’est un bel exemple d’utilisation d’intégrales. Mais il existe aussi une preuve plus élémentaire passant par l’utilisation d’un échiquier, comme expliqué ici, lien auquel on accède par exemple à partir de cette page.

        La première collection de preuves du théorème que vous citez semble avoir été rassemblée par Stan Wagon, dans l’article d’American Math. Monthly de 1987 cité dans les références de la page précédente.

        Voici en quelques mots la preuve par l’échiquier. On prend notre rectangle décomposé en plus petits rectangles ayant au moins un côté entier, et on le place sur un échiquier dont les carrés ont des côtés de longueur $1/2$, avec les côtés parallèles à ceux de ces derniers. On considère la différence entre l’aire noire et l’aire blanche comprise dans le rectangle. C’est la somme des différences analogues sur les rectangles de la décomposition (propriété d’additivité-clé qui montre que l’on fait dans l’esprit du calcul intégral). On passe alors par le lemme-clé suivant : dans un rectangle ayant ses côtés parallèles à ceux des carrés de l’échiquier, la différence entre l’aire noire et l’aire blanche est nulle si et seulement si au moins l’un de ses côtés est entier ...

        Merci pour votre idée !

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      • Plaisir mathématique

        le 22 juillet 2015 à 19:39, par Jean-Paul Allouche

        Bonjour

        Je n’ai pas réussi à poster mon commentaire hier soir, le site ne répondait plus. Je ne crois pas que ce théorème ait un nom universellement utilisé. Oui en effet l’article de Wagon fait un point sur la question. Il est disponible (gratuitement) ici. Il ne propose en fait « que » 14 démonstrations et pas 17. Il donne aussi quelques éléments sur l’histoire du problème. Une autre référence avec « seulement » une poignée de démonstrations est le livre de M. Aigner et G. M. Ziegler Raisonnements divins chez Springer, pages 195—199 ; ce livre est la traduction en français par N. Puech du fameux Proofs from THE BOOK. Pourtant, même s’il y a effectivement une des démonstrations qui utilise une intégrale double, ce n’est pas me semble-t-il un « calcul d’intégrale », ou à tout le moins ce n’est pas ainsi que j’avais compris la question de Patrick Popescu-Pampu : je tentais pour ma part de trouver une intégrale (ou l’aire d’une figure simple) dont le « calcul » soit inattendu et « amusant »...
        À propos des résultats avec de nombreuses démonstrations (dont un exemple célèbre est le théorème de réciprocité quadratique : Emma Lehmer indique qu’André Weil estimait à environ 150 le nombre de démonstrations de cette loi, voir le livre Reciprocity Laws. From Euler to Einsenstein par F. Lemmermeyer, chez Springer, qui a plus de 500 pages), même si j’admets bien volontiers que de nombreuses démonstrations sont toujours intéressantes voire très souvent éclairantes, je ne peux m’empêcher de penser à une remarque ironique de Didier Nordon qui demande « innocemment » si le fait de donner plusieurs démonstrations pour un même résultat ne serait pas une preuve qu’on est plus convaincu de la justesse d’un résultat lorsque l’on en accumule les preuves...

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        • Intégrales

          le 22 juillet 2015 à 23:10, par Patrick Popescu-Pampu

          Bonsoir,

          Et merci pour ces références détaillées et pour vos commentaires.

          Au sujet des intégrales, je n’avais pas un sens très précis en tête pour ma question. Il peut en effet s’agir de montrer une utilisation surprenante d’un calcul d’intégrale, ou bien une manière spéciale de faire un tel calcul ... Dans les deux cas, le plaisir viendrait de la surprise. Il y a aussi bien sûr le plaisir venant d’une sensation de prouesse à avoir réussi là où d’autres échouent, mais je pense que là on perd toute spécificité mathématique. Et c’est un plaisir plus difficile à faire partager. Dans mon billet j’ai essayé de dégager un certain type de plaisir lié vraiment à l’activité mathématique - ou de recherche - et qui soit en même temps facile à partager.

          En ce qui concerne la recherche d’une multiplicité des solutions, dans certains cas elle est motivée par la quête d’une telle solution qui puisse s’étendre à un contexte plus étendu. Je crois que c’est la raison pour laquelle Gauss, Eisenstein et à leur suite bien d’autres mathématiciens en cherchaient pour le théorème de réciprocité quadratique (le livre de Lemmermeyer que vous citez est une bonne source pour cela). Par exemple, Gauss lui-même en trouva au moins une qu’il réussit à étendre aux « résidus biquadratiques ».

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